第三節(jié)動(dòng)點(diǎn)--二次函數(shù)與等腰三角形存在性問(wèn)題

1、不積跬步無(wú)以至千里動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題二次函數(shù)中等腰三角形存在性問(wèn)題方法總結(jié)： 假設(shè)結(jié)論成立； 當(dāng)所給條件中沒(méi)有說(shuō)明哪條邊是等腰三角形的底、哪條是腰時(shí)，要對(duì)其進(jìn)行分類討論，假設(shè)某兩條邊相等，等到三種情況； 設(shè)未知量，求邊長(zhǎng)，在每種情況下，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，并用所設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示出假設(shè)相等的兩條邊的長(zhǎng)或第三邊的長(zhǎng)； 計(jì)算求解，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或利用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列等量關(guān)系式，根據(jù)等量關(guān)系式求解即可。典型例題：例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（1，0），B（4，0），C（0，4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P

2、，使POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和PBC的最大面積例2.如圖，拋物線y=+與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)例

3、3如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(2，0)，B(0，6)兩點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，連接BA，BC，求ABC的面積（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使ABP為等腰三角形，若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.例4. （2014綿陽(yáng)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使QBM的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例5. (

4、2014年四川資陽(yáng))如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x=1（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；例6如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)OP為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C（1）求出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長(zhǎng)，并求線段PC的最大值；（3）當(dāng)m0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請(qǐng)直接寫出所有P的坐標(biāo)

5、；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例7（2014年浙江義烏12分）如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BCx軸，OA=OC=4，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)A，B，C三點(diǎn).（1）求該拋物線線的函數(shù)解析式.（2）已知直線l的解析式為，它與x軸的交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH直線l于點(diǎn)H，連結(jié)OP，試求OPH的面積.當(dāng)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn). 是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例8如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，將

6、線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200至OB的位置.（1）點(diǎn)B在拋物線上;（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由例9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx4（a0）的圖象與x軸交于A（2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m0，n0），連結(jié)PB，PD

7、，BD，求BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)例10.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且（1）求拋物線的對(duì)稱軸；（2）求拋物線的解析式；（3）探究：若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上且在軸下方的動(dòng)點(diǎn)，是否存在是等腰三角形若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ACByx011例11.如圖11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直線為軸，過(guò)D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求DAB的度數(shù)及A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式及其對(duì)稱軸L（3）若P是拋物線的對(duì)稱軸L上的點(diǎn)，那么使PDB為等腰三角形的點(diǎn)P有幾個(gè)?（不必求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只需說(shuō)明理由）例12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax2+bx過(guò)A、C兩點(diǎn). (1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式； (2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度均為每