概率論大數(shù)定律及其應(yīng)用

1、概率論基礎(chǔ)結(jié)課論文題目：獨立隨機序列的大數(shù)事件的定理與應(yīng)用作者：信計1301班 王彩云 130350119摘要：概率論歷史上第一個極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律之一，又稱弱大數(shù)理論。大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)平均結(jié)果的穩(wěn)定性，它是概率論中一個非常重要的定律，是隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的具體表現(xiàn)，應(yīng)用很廣泛。本文介紹了幾種常用的大數(shù)定律，并分析了它們在理論與實際中的應(yīng)用 。關(guān)鍵詞：弱大數(shù)定理 伯努利大數(shù)定理 隨機變量 數(shù)學(xué)期望 概率引言：“大數(shù)定律”本來是一個數(shù)學(xué)概念，又叫

2、做“平均法則”。在隨機事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個規(guī)律就是大數(shù)定律，通俗的說，這個定律就是在試驗不變的條件下，重復(fù)試驗多次，隨機事件的頻率以概率為穩(wěn)定值。比如，我們向上拋一枚硬幣，硬幣落下時哪一面朝上本身是偶然的，但當我們向上拋的硬幣的次數(shù)足夠多時，達到上萬次甚至幾十萬幾百萬時之后，我們就會發(fā)現(xiàn)，硬幣朝上的次數(shù)大約占總數(shù)的二分之一。偶然之中包含著必然。從概率的統(tǒng)計定義中可以看出：一個事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗次數(shù)的增多，事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，人們在實踐中觀察其他的一些隨機現(xiàn)象時，也常常會發(fā)現(xiàn)大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性。這就是說，無論個別隨機個體以

3、及它們在試驗進行過程中的個別特征如何，大量隨機個體的平均效果與每一個體的個別特征無關(guān)，而且結(jié)果也不再是隨機的。深入考慮后，人們會提出這樣的問題：穩(wěn)定性的確切含義是什么？在什么條件下具有穩(wěn)定性？這就是我們大數(shù)要研究的問題。概率與統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科，而隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復(fù)試驗或觀察才呈現(xiàn)出來。然而，在大量重復(fù)試驗或觀察中，我們會發(fā)現(xiàn)，一個事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，它的穩(wěn)定性會隨著試驗次數(shù)的增多表現(xiàn)得越來越明顯。這種穩(wěn)定性與它在在實驗進行中的個別特征無關(guān)，且不再是隨機的。大數(shù)定律給出了穩(wěn)定性的確切含義，并且給出了什么條件下才具有穩(wěn)定性。那么，這對于我們解決

4、理論與實際問題有哪些實際意義呢？這就是我們在下面將要了解到的，大數(shù)定律的某些應(yīng)用。 即，大數(shù)定律及其在理論與實際生活中的一些應(yīng)用。 一方面，在理論上，大數(shù)定律可以看作是求解極限、重積分以及級數(shù)的一種新思路，另一方面，在實際生活中，保險動機的產(chǎn)生、保險公司財政穩(wěn)定和保費的確定，我們都將看到大數(shù)定律的重要作用。正文：發(fā)展歷史：概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的科學(xué), 而隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在相同條件下進行大量重復(fù)試驗或觀察才呈現(xiàn)出來. 從概率的統(tǒng)計定義中可以看出: 一個事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性, 即隨著試驗次數(shù)的增多,

5、0;事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個常數(shù)附近. 人們在實踐中觀察其他一些隨機現(xiàn)象時, 也常常會發(fā)現(xiàn)大量隨機個體的平均效果的穩(wěn)定性. 這就是說, 無論個別隨機個體以及它們在試驗進行過程中的個別特征如何, 大量隨機個體的平均效果與每一個體的特征無關(guān), 且不再是隨機的. 深入考慮后, 人們會提出這樣的問題: 穩(wěn)定性的確切含義是什么? 在什么條件下具有穩(wěn)定性? 這就是大數(shù)定律要研究的問題. 1733年，德莫佛拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項分布的極限分布是正態(tài)分布。

6、拉普拉斯改進了他的證明并把二項分布推廣為更一般的分布。1900年，李雅普諾夫進一步推廣了他們的結(jié)論，并創(chuàng)立了特征函數(shù)法。這類分布極限問題是當時概率論研究的中心問題，卜里耶為之命名“中心極限定理”。20世紀初，主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件，二三十年代的林德貝爾格條件和費勒條件是獨立隨機變量序列情形下的顯著進展。  伯努利是第一個研究這一問題的數(shù)學(xué)家，他于1713年首先提出后人稱之為“大數(shù)定律”的極限定理。因此概率論歷史上第一個極限定理屬于伯努利。它是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律之一，屬于弱大數(shù)定律之一，當然也稱為伯努利大數(shù)定律。  它可以通俗的

7、理解，有些隨機事件無規(guī)律可循，但不少卻是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機事件”中在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計特性，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說，這個定理就是，在試驗不變的條件下，重復(fù)試驗多次，隨機事件的頻率近似于它的概率。 例如：在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的次試驗，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同，但當試驗的次數(shù)越來越大時，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于。  頻率靠近概率的一種客觀存在的，可以直接觀察到的現(xiàn)象。而伯努利給這種現(xiàn)象給予了一種確切的含義。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，隨機變量序列服從大數(shù)定律

8、的證明，出現(xiàn)了更多更廣泛的大數(shù)定律，例如切比雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律就是切比雪夫大數(shù)定律的一個特例。再到后面，出現(xiàn)獨立同分布的辛欽大數(shù)定律等常用的大數(shù)定律。主要含義：大數(shù)定律(law of large numbers)，又稱大數(shù)定理，是一種描述當試驗次數(shù)很大時所呈現(xiàn)的概率性質(zhì)的定律。但是注意到，雖然通常最常見的稱呼是大數(shù)“定律”，但是大數(shù)定律并不是經(jīng)驗規(guī)律，而是嚴格證明了的定理。有些隨機事件無規(guī)律可循，但不少是有規(guī)律的，這些“有規(guī)律的隨機事件”  數(shù)學(xué)家伯努利在大量重復(fù)出現(xiàn)的條件下，往往呈現(xiàn)幾乎必然的統(tǒng)計特性，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。確切的說大數(shù)定律是以確切的數(shù)學(xué)形式表達了大量重復(fù)

9、出現(xiàn)的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，即頻率的穩(wěn)定性和平均結(jié)果的穩(wěn)定性，并討論了它們成立的條件。簡單地說，大數(shù)定理就是“當試驗次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率無窮接近于該事件發(fā)生的概率”。該描述即伯努利大數(shù)定律。舉例說明：例如，在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲了次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的次試驗，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與之比）可能不同，但當試驗的次數(shù)越來越大時，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統(tǒng)偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重復(fù)稱量多次，可能得到多個不同的重量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值一般來說將隨稱量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實重

10、量。相關(guān)數(shù)學(xué)家：拉普拉斯 拉普拉斯,1749年3月23日生于法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授，1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授。1799年他還擔任過法國經(jīng)度局局長，并在拿破侖政府中任過6個星期的內(nèi)政部長，1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長，1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。德莫佛 英國倫敦），法國數(shù)學(xué)家。德莫佛對數(shù)學(xué)最著名的貢獻是德莫佛公式（de Moivre Formula）和

11、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理，以及他對正態(tài)分布和概率理論的研究。德莫佛還寫了一本概率理論的教科書，The Doctrine of Chances，據(jù)說這本書被投機主義者（gambler）高度贊揚。德莫佛是解析幾何和概率理論的先驅(qū)之一；他還最早發(fā)現(xiàn)了一個二項分布的近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。 大數(shù)定理的意義：在一個隨機事件中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定值；同時，在對物理量的測量實踐中，大量測定值的算術(shù)平均也具有穩(wěn)定性。 在數(shù)理統(tǒng)計中，一般有三個定理，貝努利定理和辛欽定理，如：反映算術(shù)平均值和頻率的穩(wěn)定性。當很大時，算術(shù)平均值接近數(shù)學(xué)期望；頻率以概率收斂于事件

12、的概率。大數(shù)定律表表明：事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件的概率，這個定理以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了頻率的穩(wěn)定性。就是說當很大時，事件發(fā)生的頻率于概率有較大偏差的可能性很小。由實際推斷原理，在實際應(yīng)用中，當試驗次數(shù)很大時，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。大數(shù)定律的表現(xiàn)形式：由于隨機變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率1收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。 定義 設(shè)有一列隨機變量，如果對于任意的，有則稱隨機變量序列依概率收斂于，記作。定義 設(shè)有隨機變量和一列隨機變量 ，.，若成立，則稱幾乎處處收斂于，記作 定義 若是隨機變量序列,如果存在常數(shù)

13、列,使得對任意的,有 （8）成立，則稱隨機變量序列滿足大數(shù)定律。 定義設(shè)有隨機變量和隨機變量序列的r階原點矩、（n=1,2）存在，其中r>0，若則稱r次平均收斂到。記作 。此時必有。當r=2時是常用的二階矩，稱為均方收斂。定義 若是隨機變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望存在，有則稱隨機變量序列服從弱大數(shù)定律。定義 若是隨機變量序列，它們的數(shù)學(xué)期望存在，有 或等價地，則稱服從強大數(shù)定律。上述兩個大數(shù)定律要注意，強大數(shù)定律和弱大數(shù)定律區(qū)別不僅僅是一個法則的不同，不能簡單的把極限符號從概率號P（）中移出來，弱大數(shù)定律描述的是一列概率的收斂性，而強大數(shù)定律說的是一列隨機變量收斂到一個常數(shù)，也正是這點，保證

14、了用事件出現(xiàn)的頻率來作為事件概率的估計的正確性。定理 對任意的隨機變量，若，又存在，則對任意的正常數(shù)，有， 則稱此式子為切比雪夫不等式。粗糙地說，如果越大，那么也會大一些。大數(shù)定律形式有很多種，我們僅介紹幾種最常用的大數(shù)定律。定理（伯努利大數(shù)定律）設(shè)是n重伯努利實驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,則，有 （5）此定理表明：當n很大時，n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，這個定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式刻畫了頻率的穩(wěn)定性，因此，在實際應(yīng)用中，當試驗次數(shù)很大時，便可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。 定理（切比雪夫大數(shù)定律）

15、 設(shè)是一列兩兩不相關(guān)的隨機變量,又設(shè)它們的方差有界,即存在常數(shù),使有，則對于任意的,有 （9）在上述的定理中，因為用到切比雪夫不等式，都有對方差的要求，其實方差這個條件并不是必要的。例如獨立同分布時的辛欽大數(shù)定律。 該定律的含義是：當n很大，服從同一分布的隨機變量的算術(shù)平均數(shù)將依概率接近于這些隨機變量的數(shù)學(xué)期望。將該定律應(yīng)用于抽樣調(diào)查，就會有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。貝努里大數(shù)定律設(shè)是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗中發(fā)生的概率為P，則對任意正數(shù)，有：該定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例

16、，其含義是，當n足夠大時，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。在抽樣調(diào)查中，用樣本成數(shù)去估計總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。定理（辛欽大數(shù)定律） 設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列,且有有限的數(shù)學(xué)期望,則對于任意的,有 （10）上式也可表示為或,并且稱依概率收斂于.定理（泊松大數(shù)定律）設(shè)是相互獨立的隨機變量序列, ，其中，則服從泊松大數(shù)定律。泊松大數(shù)定律是伯努利大數(shù)定律的推廣，伯努利大數(shù)定律證明了事件在完全相同的條件下重復(fù)進行的隨機試驗中頻率的穩(wěn)定性；而泊松定理表明，當獨立進行的隨機試驗的條件變化時，頻率仍然具有穩(wěn)定性：隨著n的無限增大，在n次獨立試驗中，事件A的頻率趨于穩(wěn)定在各

17、次試驗中事件A出現(xiàn)概率的算術(shù)平均值附近。定理（馬爾科夫大數(shù)定律）對于隨機變量序列,若有則有大數(shù)定律的一些應(yīng)用大數(shù)定律本身便是概率論中非常重要的定理之一，而它與其他數(shù)學(xué)理論也有密不可分的聯(lián)系，而且對這些數(shù)學(xué)理論分支有不可或缺的作用。大數(shù)定律本身便是頻率靠近概率的極限理論，是大量隨機現(xiàn)象的平均結(jié)果穩(wěn)定于平均值的極限理論。可以說大數(shù)定律是利用極限才得出的，同時利用大數(shù)定律可以來求解極限，這當然只是眾多求極限方法之一，但也有它獨特的簡潔和巧妙。就以大數(shù)定律和極限這個概念的關(guān)系為例子，用它來對我們要求的重積分和極限相關(guān)的問題進行另一種方式的求解。極限伴隨重積分出現(xiàn)的類型在高數(shù)中是常見的，在利用大數(shù)定律來

18、求解這類重積分的極限的題目前，先介紹一個相關(guān)定理。定理7（勒貝格控制收斂定理） 設(shè)（1）是可測集上的可測函數(shù)列； （2）于（n=1，2，.，）且在上可積分（稱 為所控制，而叫控制函數(shù)）； （3）；則在上可積分且；例1：已知，求的值。解：設(shè)，為獨立同分布的隨機變量序列，服從（0，1）上的均勻分布，為獨立同分布，為獨立同分布。且 又 由切比雪夫大數(shù)定律可知：當是獨立的同分布的隨機變量序列，且，由前面知道是強大數(shù)定律可知，；由此可知 即 又因為且故有，因此。由此，有根據(jù)勒貝格控制收斂定理可知：=即。可以看出，利用大數(shù)定律求解數(shù)學(xué)分析中的重積分和極限收斂問題有它簡潔的一面，也體現(xiàn)了大數(shù)定律等概率論等知

19、識的廣泛聯(lián)系和應(yīng)用。1、大數(shù)定律在級數(shù)上的應(yīng)用大數(shù)定律在求解無窮級數(shù)上也有很大的作用，它為一些定理和固定公式的理論證明提供另一種有趣而且也有用的辦法。下面我們就引用一個很著名的問題來展現(xiàn)大數(shù)定律在級數(shù)中的應(yīng)用：伯努利是一位偉大而且著名的數(shù)學(xué)家，但是他也被一個在現(xiàn)在已經(jīng)解決的問題難住了：一個求級數(shù)和的問題。求自然數(shù)倒數(shù)平方的級數(shù)和： 。伯努利公開征求這個問題的求解方法。三十年過后，先是歐拉利用猜度術(shù)的方法找出了它的結(jié)果，他是第一個找出答案的，但是卻不能證明，只能是數(shù)據(jù)驗證，當然，到現(xiàn)在為止，有了很多種證明的方法，其中一種便是利用了大數(shù)定律的原理來完成的。下面先來看其他方法之一是如何證明的設(shè)所有的

20、排列為2<3<5<7<<q<.，在此數(shù)列中，有放回的取出兩數(shù)和，只可能出現(xiàn)下面的情況：；的公因子有2；有公因子3；.有公因子q；.因此是必然事件，且知是相互獨立的，設(shè)中有因子q，那么必定是q的倍數(shù)，那也可知。同理也有，那么。由對立事件知道。根據(jù)對偶規(guī)律,根據(jù)他們的獨立性，可知 根據(jù)歐拉的變換無窮乘積為級數(shù)的方法.下面我們就用大數(shù)定律的辦法來求解這個級數(shù)的和。從自然數(shù)中有放回任意取出兩個數(shù)，設(shè)他們的最大公因子是n,事件數(shù)為，表示第i次取出n的倍數(shù)事件（i=2，3，4，.）。根據(jù)第一次和第二次從自然數(shù)序列中有放回的隨機取出兩數(shù)是n的倍數(shù)的條件下，這兩數(shù)的最大公因

21、子是n的條件概率等于從自然數(shù)序列隨機取出兩數(shù)互素的概率。于是有 顯然是互不相容的，且有。與n是相互獨立的，,于是就有。根據(jù)伯努利大數(shù)定律知道，概率可近似的利用頻率來表示，因此在如此多的自然書中，隨機的取出兩數(shù)互素的概率為。于是知所求級數(shù)的和為。2、多項式逼近連續(xù)函數(shù)分析中應(yīng)用概率論的思想是非常美妙的構(gòu)思,證明清晰明了。作者在文獻6 中利用非齊次馬氏鏈強大數(shù)定律構(gòu)造了一類奇異單調(diào)函數(shù), 而非借助于傳統(tǒng)的Cantor 展式。尤其多項式逼近連續(xù)函數(shù)中也容易注意到近似多項式富有意義的構(gòu)造。下面類似的方法可用來較易地構(gòu)造一些熟悉的分析結(jié)果。例2假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，則存在一列多項式一致收斂于函數(shù)。證明：不

22、妨設(shè)a=0，b=1?？梢胄碌淖兞縰：x=()，使u0,1，那么由f(x)在a，b上連續(xù)可知f(x)在0,1上一致連續(xù)且有界。即對于任意>0，存在>0，只要<，總有<，其中，0,1，此外，對于任意x0,1，有k（k為常數(shù)）。設(shè)隨機變量，服從二項分布，則可建立多項式： (x)=() =其中x0,1，參數(shù)n。顯然(0)= f(0)，(1)= f(1)。由貝努力大數(shù)定律知： ，x0，1。由于=1，故有：(x) =+< +2k=+2kP。而對于任意x0,1，可見存在N，使當n>N時，P，從而，當n>N時，對于一切x0,1，有：<=+=即關(guān)于x0,1一致收

23、斂于。從上可以看出大數(shù)定律在極限、重積分、級數(shù)以及多項式逼近中都有重要應(yīng)用，其實概率論學(xué)科和數(shù)學(xué)分析只見是相互滲透的，大數(shù)定律在數(shù)學(xué)理論中的應(yīng)用也不僅僅這么狹窄，它在求很多高等數(shù)學(xué)的問題上也有很好的催化作用，大數(shù)定律在信息論中也有不俗的表現(xiàn)，比如在信息序列的漸近等分性質(zhì)就是一個體現(xiàn)。下面主要看大數(shù)定律在實際生活中的精彩的表現(xiàn)，它涉及到很多與我們貼身的行業(yè)。3、大數(shù)定律在保險業(yè)的應(yīng)用保險動機的產(chǎn)生現(xiàn)代保險業(yè)已經(jīng)是社會非常重要的一環(huán)，而大數(shù)定律就是這大廈最重要的基石之一，下面就看看大數(shù)定律是如何撐起這座保險業(yè)大廈的。保險業(yè)是根據(jù)大數(shù)定律的法則，集中眾多企業(yè)或者個人的風(fēng)險，建立抵御風(fēng)險的社會機制。但

24、是保險業(yè)的產(chǎn)生不僅僅是為了避險，當然也有利潤這只無形的手的驅(qū)使，有利潤才能保證保險業(yè)真正的發(fā)展下去，壯大起來。同時大數(shù)定律不僅僅用于計算保險公司避險需要的客戶數(shù)，也需要用來計算產(chǎn)生的利潤的合理范圍。為了抵御風(fēng)險，保險公司需要大數(shù)目的客戶，那么這些企業(yè)或者個人是如何愿意自己交出保險費投保的呢？其實這也是企業(yè)或者個人為了自己的利益著想，不但是避險，也是一種投資，這就是保險業(yè)能夠產(chǎn)生發(fā)展的一個基礎(chǔ)。例如某企業(yè)有資金Z單位，而接受保險的事件具有風(fēng)險，當風(fēng)險發(fā)生時遭受的經(jīng)濟損失為個單位，那么在理性預(yù)期的條件下，該企業(yè)只能投入的資金單位。假設(shè)企業(yè)投入資金與所得利潤之間的函數(shù)關(guān)系為，顯然有，當時為預(yù)期風(fēng)險條

25、件下利潤損失額。當時，企業(yè)就需要有避險的需求，且隨差額的增大而增大。這就是企業(yè)的避險需求，也是保險業(yè)產(chǎn)生的基礎(chǔ)。具有同種類風(fēng)險，且風(fēng)險的發(fā)生相互獨立的眾多企業(yè)，當風(fēng)險發(fā)生的時候，需要一定的經(jīng)濟補償，以使損失最小或得以繼續(xù)某項生產(chǎn)活動，在這里看來，風(fēng)險的發(fā)生，在整體上看是必然的，但從局部看，是隨機的，所以這種補償在風(fēng)險沒有發(fā)生時是一種預(yù)期。 假設(shè)這種隨機現(xiàn)象為，則的概率分布為： 取值0 概率 上表中，P為風(fēng)險發(fā)生的概率，為風(fēng)險發(fā)生時企業(yè)的損失額。那么知道該事件的數(shù)學(xué)期望為。根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，當有限時，.，上述式子可以表述為：n個具有某種同類風(fēng)險，且風(fēng)險的發(fā)生是相互獨立的，當風(fēng)險發(fā)生時預(yù)計得到

26、補償?shù)钠骄蹬c其各自的期望值之差，可以像事先約定的那樣小，以致在企業(yè)生產(chǎn)過程中可以忽略不計。定理6在n重伯努利實驗中，事件A在每次試驗中出言的概率為p，為n此試驗中出現(xiàn)A的次數(shù)，則。 定理7 設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差。則隨機變量的分布函數(shù)對于任意x滿足根據(jù)上述中心極限定理，由事先約定的，則這樣，由事先給定的確定出參加某種風(fēng)險保障的企業(yè)最小數(shù)目n.例如：當，則當約定時，一定有,也就是說當時，上述的結(jié)果成立。依據(jù)上述結(jié)果，從兩個方面來看，從微觀上看，因為,則，由前面說的企業(yè)是看利潤遞增的原則，顯然有。此時企業(yè)產(chǎn)生參加社會保險的動機，也就是企業(yè)參加社會保險比自保更有利。

27、從宏觀上看，如果有n個具有同類風(fēng)險的企業(yè)存在且都實行自保，顯然在理性預(yù)期的條件下，為抵御風(fēng)險而失去的利潤總額為。其中表示第i個企業(yè)的利潤函數(shù)（i=1,2,.n）.而這n企業(yè)全部參加社會保險后，為了抵御風(fēng)險而失去的利潤總額為。概率論基礎(chǔ)結(jié)課論文則由于參加社會保險而產(chǎn)生的社會總效益為：由于 ，i=1,2,n.所以此效益隨著n的增大而增大。綜上所述，企業(yè)參加社會保險的動機便是在于參加社保比自保更加的有利，利潤的驅(qū)使，這也是企業(yè)參加保險的重要動機，因此保險業(yè)這個行業(yè)以存在和發(fā)展，也發(fā)展了眾多的保險公司。保險公司同樣也需要評估是否可保的問題，上面的敘述可以得知，可保的條件有：1、風(fēng)險事故造成的損失應(yīng)當是

28、可以估計的。2、有大量獨立的同質(zhì)風(fēng)險單位存在，即是各風(fēng)險單位遭遇風(fēng)險事故造成損失的概率和損失規(guī)模大致相近，同時各風(fēng)險單位要相互獨立，相互的發(fā)生不會產(chǎn)生影響。這些都是大數(shù)定律的基本要求。大數(shù)定律是保險業(yè)經(jīng)營的一個重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律的原作，可以將個別風(fēng)險單位遭遇損失的不確定性，轉(zhuǎn)化為風(fēng)險單位集合的損失的確定性。由于與損失金額的預(yù)測具有相關(guān)性，大數(shù)定律的運用直接關(guān)系到補償或給付的實現(xiàn)程度與保險經(jīng)營的穩(wěn)定性。下面分成幾個方面來闡述大數(shù)定律在保險業(yè)中的一些應(yīng)用。1、 制定保費以切比雪夫大數(shù)定律為例，該極限定理運用到保險行業(yè)，相當于有個投保人或被保險人，同時投保了個相互獨立的保險標的，用表示每個標的實際發(fā)生損失的大小。其中，為理論上每個投保人應(yīng)繳納的純保費，為平均每個被保險人實際獲得的賠款金額。當投保