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1、拋物線及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問(wèn)題。 2、通過(guò)類比,找出拋物線與橢圓,雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系?!局R(shí)梳理】1拋物線定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線2拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì):圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,p越大,開(kāi)口越闊.開(kāi)口方向右左上下標(biāo) 準(zhǔn)方 程焦 點(diǎn)位 置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦 點(diǎn)坐 標(biāo)準(zhǔn) 線方 程范 圍對(duì) 稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂 點(diǎn)坐 標(biāo)(0,0)離心率通 徑2p焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的補(bǔ)充以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切若的傾斜角為,若的傾斜角為,則 3拋物線的幾何性質(zhì):(1)
2、范圍 因?yàn)閜>0,由方程可知x0,所以拋物線在軸的右側(cè), 當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí),|也增大,說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸(2)對(duì)稱性:對(duì)稱軸要看一次項(xiàng),符號(hào)決定開(kāi)口方向(3)頂點(diǎn)(0,0),離心率:,焦點(diǎn),準(zhǔn)線,焦準(zhǔn)距p(4) 焦點(diǎn)弦:拋物線的焦點(diǎn)弦,,則 弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p,當(dāng)x1=x2時(shí),通徑最短為2p。4焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì):焦點(diǎn)弦,,,焦點(diǎn)(1) 若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦),且,則:,。(2) 若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦,且直線AB的傾斜角為,則(0)。(3) 已知直線AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F ,(4) 焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑:過(guò)焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑
3、 (5) 兩個(gè)相切:以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5弦長(zhǎng)公式:,是拋物線上兩點(diǎn),則【經(jīng)典例題】 (1)拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法,可拋物線只有一種:到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1,這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴,又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1,既使它享盡和諧之美,又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn),則以PF為直徑的圓與y軸( )相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線是.作PH于H,交y軸于Q,那么,且.作
4、MNy軸于N則MN是梯形PQOF的中位線,.故以PF為直徑的圓與y軸相切,選B.【評(píng)注】相似的問(wèn)題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō),其結(jié)論則分別是相離或相交的.(2)焦點(diǎn)弦常考常新的亮點(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題,許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì),對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn),求證:(1) (2)【證明】(1)如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為,作,.兩式相加即得:(2)當(dāng)ABx軸時(shí),有成立;當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為:.代入拋物線方程:.化簡(jiǎn)得:方程(1)之二根為x1,x2,.故不論弦AB與x軸是否垂直,恒有成立.(3)切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋
5、物線的許多試題,又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程,是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明:過(guò)拋物線上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是:y0y=p(x+x0)【證明】對(duì)方程兩邊取導(dǎo)數(shù):.由點(diǎn)斜式方程: y0y=p(x+x0)(4)定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏 拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn),卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們,在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.例如:1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線上,且動(dòng)圓恒與直線相切,則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn) ( )顯然.本題是例1的翻版,該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn),選B.2.拋物線的通徑長(zhǎng)為2p;3.設(shè)拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦兩端分別為,那么:以下再舉一例【例4】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦
6、AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1,證明:以A1B1為直徑的圓必過(guò)一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑,那么A1B1=AB=2p,而A1B1與AB的距離為p,可知該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想:一切這樣的圓都過(guò)拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為,那么:設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C,那么.這就說(shuō)明:以A1B1為直徑的圓必過(guò)該拋物線的焦點(diǎn). 通法 特法 妙法(1)解析法為對(duì)稱問(wèn)題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何,所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問(wèn)題(如對(duì)稱問(wèn)題等).【例5】(10.四川文科卷.10題)已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x
7、+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則|AB|等于( )A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直,且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上,因得解法如下.【解析】點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,設(shè)直線AB的方程為:. 由設(shè)方程(1)之兩根為x1,x2,則.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則.代入x+y=0:y0=.故有.從而.直線AB的方程為:.方程(1)成為:.解得:,從而,故得:A(-2,-1),B(1,2).,選C.(2)幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展,但伴之而來(lái)的卻是難以避免的繁雜計(jì)算,這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀,人們
8、研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法,其中最有成效的就是幾何法.【例6】(11.全國(guó)1卷.11題)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,經(jīng)過(guò)且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn),垂足為,則的面積( )A B C D【解析】如圖直線AF的斜率為時(shí)AFX=60°.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于M,則且KFM=60°,.選C.【評(píng)注】(1)平面幾何知識(shí):邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積用公式計(jì)算. (2)本題如果用解析法,需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo),再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難,但決沒(méi)有如上的幾何法簡(jiǎn)單.(3)定義法追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起來(lái)很難.但如果返樸歸真,用
9、最原始的定義去做,反而特別簡(jiǎn)單.【例7】(07.湖北卷.7題)雙曲線的左準(zhǔn)線為,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和;拋物線的線為,焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為,則等于( )A B C D【分析】 這道題如果用解析法去做,計(jì)算會(huì)特別繁雜,而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上,那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖,我們先做必要的準(zhǔn)備工作:設(shè)雙曲線的半焦距c,離心率為e,作 ,令.點(diǎn)M在拋物線上,這就是說(shuō):的實(shí)質(zhì)是離心率e.其次,與離心率e有什么關(guān)系?注意到: . 這樣,最后的答案就自然浮出水面了:由于.選 A.(4)三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段,可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同
10、名同角的三角函數(shù),然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”達(dá)到解題目的.因此,在解析幾何解題中,恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源,??梢詳[脫困境,簡(jiǎn)化計(jì)算.【例8】(09.重慶文科.21題)如圖,傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。()求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程;()若a為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值?!窘馕觥浚ǎ┙裹c(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線.()直線AB:代入(1),整理得:設(shè)方程(2)之二根為y1,y2,則.設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是:.令y=0,則故于是|FP|-|FP|cos2a=,故為定值.(5)消
11、去法合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算,是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求,它類似兵法上所說(shuō)的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】 是否存在同時(shí)滿足下列兩條件的直線:(1)與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B;(2)線段AB被直線:x+5y-5=0垂直平分.若不存在,說(shuō)明理由,若存在,求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點(diǎn)線段AB被直線:x+5y-5=0垂直平分,且.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.代入x+5y-5=0得x=1.于是:AB中點(diǎn)為.故存在符合題設(shè)條件的直線,其方程為: (6)探索法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題,初看起來(lái)好似“樹(shù)高蔭深,叫樵夫難以下手”.這時(shí)就得冷靜分析,探索規(guī)律,不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”.【例10】(10.安徽卷.14題)如圖,拋物線y=-x2+1與x
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