艾麥提江吾拉木江定積分的應(yīng)用1

1、 編號 學(xué)士學(xué)位論文定積分的應(yīng)用學(xué)生姓名：艾麥提江吾拉木江 學(xué) 號：20080101037 系 部：數(shù)學(xué)系 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級：2008-1班 指導(dǎo)教師：熱米拉阿不都克依木 完成日期：2013 年3 月28 日中文摘要定積分是一元函數(shù)積分學(xué)中的另一個(gè)基本概念，它是從大量的實(shí)際問題中抽象出來的在自然科學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，該論文主要討論從幾何問題物理問題出發(fā)敘述應(yīng)用定積分解決各種問題的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：微元；體積；面積；參數(shù)方程；重心；旋轉(zhuǎn)體；變化率為；目 錄中文摘要21. 定積分的應(yīng)用11.1定積分在幾何方面的應(yīng)用11.1.1微元法11.1.2用定積分求平面圖形的面積21.2

2、極坐標(biāo)下平面圖形的面積72. 應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積82.1.1旋轉(zhuǎn)體體積93.定積分在物理上的應(yīng)用123.1重心133.2變力做功153.3電學(xué)上的應(yīng)用154.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用16總結(jié)16參考文獻(xiàn)18致謝19引言 定積分在數(shù)學(xué)，物理上有好多個(gè)應(yīng)用比如：求曲邊梯形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等，為什么把這些問題應(yīng)用定積分來計(jì)算？答案是很簡單這些問題都與求和有關(guān)系，但是求和沒那么容易事所以必須用定積分這工具來解決。1. 定積分的應(yīng)用定積分在幾何，物理及經(jīng)濟(jì)上有廣泛的應(yīng)用。首先我們介紹以下定積分這個(gè)概念。定義：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若0，總0，使

3、得對的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或數(shù)稱為在上的定積分，記作下面我們介紹以下定積分若干方面的應(yīng)用。1.1定積分在幾何方面的應(yīng)用我們用什么樣的方法把定積分應(yīng)用在幾何方面的問題？我們引入微元法這一概念。1.1.1微元法以曲邊梯形面積為列，如圖曲邊梯形選取一個(gè)變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間并記為。 圖1-1以點(diǎn)處的函數(shù)值為高，以為底的矩形面積作為其中稱為面積微元，記為 于是面積為1.1.2用定積分求平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)求由曲線及直線（)所圍成圖形的面積。分析：在上任取小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上的面積為，它近似

4、于高為底為的小矩形面積，如圖1-2所示，從而的面積微元為 以為被積表達(dá)式，在區(qū)間作定積分 圖1-2就是所求圖形的面積在這個(gè)公式中無論曲線在軸的上方與下方都成立，只要在下方即可。例求由曲線所圍成平面圖形的面積。分析：先對曲線進(jìn)行分析，顯然曲線有無窮多個(gè)零點(diǎn)。且。 時(shí)， 我們可以畫出草圖如圖1-3.進(jìn)一步分析可知：時(shí)，時(shí)，.圖1-3 所求面積 解：由于 可得 求由曲線及直線所圍成圖形面積在區(qū)間上任取小區(qū)間，設(shè)此小區(qū)間上的面積為，則近似于高為，低為的小矩形面積，從而得面積微元于是所求面積為。例2求由叁數(shù)方程所圍成圖形的面積 ，分析：對參數(shù)方程所圍圖形，與直角坐標(biāo)圖形相似，必須討論其所給曲線的幾何特征

5、，爾后確定積分變量被積函數(shù)及積分區(qū)間。解：函數(shù)為周期（針對變量t而言）函數(shù)，因而在直角坐標(biāo)系中只須考慮0t2范圍內(nèi)的叁數(shù)方程即可，原方程可變形為 ， 0t2.時(shí)，此時(shí)，曲線單升，至最右點(diǎn)為。時(shí)，曲線至最左點(diǎn)為，曲線至最左點(diǎn)為.，曲線至最低點(diǎn)為，曲線至，曲線至點(diǎn)圖象如圖1-4所示 圖1-41.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積圖1-3設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程在上連續(xù)，且，求此曲線與射線所圍成的曲邊扇形的面積如圖1-3所示，在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上曲邊扇形的面積，則近似于半徑為中心角為的扇形面積，從而得到面積微元為可得面積為例1.利用定積分求曲線圍成面積。解：如圖4-18，陰影部分即為所求面積曲線，故所

6、求面積為A0圖1-5例2.計(jì)算阿基米德螺線上對應(yīng)于從0變到的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積 。面積微元為于是所求面積為2. 應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積圖1-52.1平行截面積已知的立體體積.設(shè)有一立體價(jià)于過點(diǎn)圓垂直于 軸的兩平面之間如圖所示，求此立體的體積.如圖價(jià)于與之間的薄片的體積近似等于地面面積為高為的扁柱體的體積，即體積微元為于是所求的體積為 即對截面積從 到求積分。 圖2-1 zbx 0 a y x 圖2-2 2.1.1旋轉(zhuǎn)體體積 設(shè)及所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖1-6所示。求所得旋轉(zhuǎn)體的體積，選取為積分變量其變化區(qū)間為過點(diǎn)做垂直于軸的平面，截的旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為 的圓，其截面積為 從而所求旋

7、轉(zhuǎn)體的體積 例1.求繞極軸把面積旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：分析所給面積()確定被積函數(shù)及積分上下限，是圓，觀察曲線： , 圖2-3則, 即曲線在以為半徑的圓內(nèi)，定義域?yàn)?或0,在第一第三象限內(nèi)有定義，由對稱性只求第一象限情況下的體積。， 時(shí)， 取最大值。這樣，我們基本上掌握了極坐標(biāo)系下的曲線的基本形狀。曲線，與的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)為 所求體積，便是如圖2-3中陰影部分繞極軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積。根據(jù)結(jié)論，我們便有為此，需求不定積分令，則 即而令，則上述積分可得 可得 于是，可得 例2設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線及直線所圍曲邊梯形繞直線旋轉(zhuǎn)所成立體體積等于什么？圖10-15設(shè)為曲線上任意點(diǎn)，曲

8、線在點(diǎn)處的切線為過點(diǎn)作直線的垂線為，即應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間，設(shè)相應(yīng)于的曲線弧段在直線上的投影長為則當(dāng)子區(qū)間的長度充分小時(shí)，如圖10-15所示，取切線上對應(yīng)于右端點(diǎn)的點(diǎn) 到垂線的距離為則（在此不妨假設(shè)）而點(diǎn)到直線的距離為從而得取積分3.定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上有好多個(gè)應(yīng)用比如：求物體的重心，變力作功，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等。3.1重心如果平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量分別為 位置分別為那未這一組點(diǎn)的重心的坐標(biāo)，可用下列公式求出： 我們已經(jīng)知道了求平面薄板的重心坐標(biāo)公式但是用這個(gè)公式求出重心沒那么容易，我們解決的是求和問題，可能腦子里出現(xiàn)是否用定積分來計(jì)算，我們進(jìn)一步討論以下：設(shè)具有質(zhì)量的

9、平面薄板是由曲線，直線 和軸所圍成的曲邊梯形，又設(shè)此平面薄板的面密度為常數(shù)設(shè)把區(qū)間 分成n個(gè)小區(qū)間，則整個(gè)平面被分成n個(gè)小窄條取其中處寬為的小狹條,這個(gè)窄條的質(zhì)量可近似地看作均勻分布在線段 上而在該線段均勻分布的質(zhì)量又可以看作集中于 的中點(diǎn)處,于是這個(gè)窄條可以用質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)來近似地代替,而整個(gè)圖形就用 個(gè)質(zhì)因小條的質(zhì)量稱質(zhì)量微元,而點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是 圖3-1故質(zhì)點(diǎn)對軸及 軸的靜力矩是則平面薄板對軸及軸的靜力矩為又這整個(gè)平面薄板的總質(zhì)量等于密度與面積的乘積，而面積，故得整個(gè)平面薄板的中心為如平面圖形是及直線所謂成，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)則同理可得此平面圖形的中心為3.2變力做功 下面我們討論一下變力

10、做功設(shè)某物體在力的作用下沿著軸運(yùn)動(dòng)力平行于軸并在軸上不同的點(diǎn)處取不同的值，即力是的函數(shù).我們要求物體在這個(gè)變力的作用下，由軸上的一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)時(shí)變力所做的功 （圖5.35）由力學(xué)知，物體受恒力產(chǎn)生位移，所做的功為功=力距離（等速）故當(dāng)物體由移動(dòng)到時(shí)，所做的功近似地為（為功微元）在上所做的功就是 圖3-2 3.3電學(xué)上的應(yīng)用我們學(xué)過電流在單位時(shí)間所做的功稱為電流的功率，即，由于交流電流隨時(shí)間 在不斷變化，因而所求的功是一個(gè)非均勻分布的量，我們必須用定積分來計(jì)算。交流電流在不斷的變化，但是很短的時(shí)間隔內(nèi)可以近似地認(rèn)為是不變的，因而在時(shí)間內(nèi)對以不變代變，就可求得功局部量的近似值，即功微元在一個(gè)周期

11、 內(nèi)消耗的功為 因此交流電的平均功率的計(jì)算公式是：4.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用定積分在經(jīng)濟(jì)中也有用處比如設(shè)是經(jīng)濟(jì)量的函數(shù)（生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)，總收益函數(shù)等）則導(dǎo)數(shù)成為的邊際函數(shù)或變化率，在經(jīng)濟(jì)管理中，可以利用和分法，根據(jù)邊際函數(shù)，求出總函數(shù)或總函數(shù)在區(qū)間 上的改變量（1）如已知其產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為則從時(shí)間到 該產(chǎn)品的總產(chǎn)量（2）設(shè)某產(chǎn)品總產(chǎn)量，如已知其產(chǎn)品成本對產(chǎn)量的變化率為，則產(chǎn)量從到總成本為（3）如某商品收益的變化率為已知時(shí)則銷售個(gè)單位的商品的收益為例1設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位，總收益的變化率為（0）（1） 生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益:（2） 求從生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品到60個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益解：

12、（1）生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益為 （單位）（2）從產(chǎn)量增加到60時(shí)的總收益為（單位）總結(jié)我們已經(jīng)參閱了定積分的若干應(yīng)用；主要介紹了把定積分這個(gè)工具怎樣應(yīng)用實(shí)際問題的方法，也就是求出復(fù)雜圖形的面積，種種立體的體積，交流電流所做的功，求物體重心；雖然該論文未全面地?cái)⑹龆ǚe分的應(yīng)用但是基本上能為讀者提供了定積分應(yīng)用的優(yōu)越性。參考文獻(xiàn)1 2 高等數(shù)學(xué)-第一冊：物理類/文麗，吳良大編-北京：北京大學(xué)出版社，1999.9重印 ISBN7-301-00700-0,471頁480頁，494495.504510.3 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué).上冊/大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書編寫組編；北京：中國水利水電出版社。2004-ISBN7-5084-2253-8，332335,340343.致謝在喀什師范學(xué)院的教