空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量方法討論空間中的平行、垂直關(guān)系和求空間的角、距離難點(diǎn)：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題知識(shí)歸納一、空間中的角空間中的角包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角這些角都是通過兩條射線所成的角來定義的，因而這些角的計(jì)算方法，都是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)線與線所成的角來計(jì)算的確切地說，是“化歸”到一個(gè)三角形中，通過解三角形求其大小1異面直線所成的角：異面直線的夾角一般采用平移法，把它們化歸到一個(gè)三角形中再通過解三角形求得而利用向量法則可直接運(yùn)用兩直線的方向向量的夾角公式來求得其取值范圍是(0,90.2直線和平面所成的角：平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角

2、，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角直線與平面所成角的范圍是0,900時(shí)，直線在平面內(nèi)或與平面平行90時(shí)，直線與平面垂直3二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面內(nèi)以O(shè)為垂足作棱的垂線OA與OB，則AOB叫做二面角的平面角二面角的取值范圍是0,180). 0時(shí)兩個(gè)半平面共面；090時(shí)為銳二面角；90時(shí)為直二面角；90180時(shí)為鈍二面角作二面角的平面角的常用方法有：(1)定義法：根據(jù)定義，以棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，則形成二面角的平面角(2)三垂線法：從二面角一個(gè)面內(nèi)某個(gè)特殊點(diǎn)P作另一個(gè)面的垂線，過垂足A

3、作二面角棱的垂線，垂足為B，連結(jié)PB，由三垂線定理得PB與棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其補(bǔ)角)(3)垂面法：過二面角的棱上一點(diǎn)作平面與棱垂直，分別交兩個(gè)面的交線，構(gòu)成二面角的平面角二、空間中的距離1(1)兩點(diǎn)間的距離連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長度(2)點(diǎn)到直線的距離從直線外一點(diǎn)向直線引垂直相交的直線，點(diǎn)到垂足之間線段的長度(3)點(diǎn)到平面的距離從平面外一點(diǎn)向平面引垂線，點(diǎn)到垂足間線段的長度連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)的線段中，垂線段最短(4)平行直線間的距離從兩條平行線中一條上任意取一點(diǎn)向另一條直線引垂線，這點(diǎn)到垂足間線段的長度(5)異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段

4、的長度 (6)直線與平面間的距離如果一條直線和一個(gè)平面平行，從直線上任意一點(diǎn)向平面引垂線，這點(diǎn)到垂足間線段的長度(7)兩平行平面間的距離兩個(gè)平面的公垂線段的長度2求距離的一般方法和步驟求距離的思想方法和步驟與求角相似，其基本步驟是：找出或作出有關(guān)距離的圖形；證明它符合定義；在平面圖形內(nèi)計(jì)算空間中各種距離的計(jì)算，最終都要轉(zhuǎn)化為線段長度，特殊情況也可以利用等積法三、平面的法向量1如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，如果a，那么向量a叫做平面的法向量2. 求平面法向量的方法設(shè)n是平面M的一個(gè)法向量，AB、CD是M內(nèi)的兩條相交直線，則=0，=0. 由此可以求出一

5、個(gè)法向量n（及已知）.思想方法點(diǎn)撥一、運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題的一般步驟建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量的坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行計(jì)算，論證；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論二、用空間向量研究空間線面的平行與垂直關(guān)系1用向量方法研究兩直線間的位置關(guān)系設(shè)直線l1、l2的方向向量分別為a、b.(1) l1l2或l1與l2重合ab存在實(shí)數(shù)t，使atb.(2) l1l2abab0.2用向量方法研究直線與平面的位置關(guān)系設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，v1、v2是與平行的兩個(gè)不共線向量(1)l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使av1v2an0.(2)lan存在實(shí)數(shù)t，使atn.3用向量方法研究兩個(gè)

6、平面的位置關(guān)系設(shè)平面、的法向量分別為n1、n2.(1)或與重合 n1n2存在實(shí)數(shù)t，使n1t n2.(2) n1n2 n1n20.若v1、v2是與平行的兩個(gè)不共線向量，n是平面的法向量則或與重合 v1且v2存在實(shí)數(shù)、，對(duì)內(nèi)任一向量a，有av1v2.三、用向量法求空間的角1求異面直線所成的角設(shè)l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則a，b與相等或互補(bǔ)，則.2. 求直線與平面所成的角如圖，設(shè)l為平面的斜線，a為的方向向量，n為平面的法向量，為l與平面所成的角，則3、求二面角平面與相交于直線l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，= ，則二面角為或. 設(shè)

7、二面角的大小為，則.四、用向量法求空間距離1、求點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知點(diǎn)，平面內(nèi)一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量n，直線與平面所成的角為，則. 由數(shù)量積的定義知，n=|n|，所以點(diǎn)到平面的距離.2、求異面直線間的距離如右圖，若CD是異面直線a，b上的公垂線，A、B分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，令向量na，nb，則n/CD. 則由得，n=n+n+n，所以n=n，所以|n|=|n|，故，所以，異面直線a、b間的距離為.3、求直線到平面的距離設(shè)直線a/平面，n是平面的法向量，過A作，垂足為C，則/n. 因?yàn)閚= n=n，所以|n|=|n|，故直線a到平面的距離為 4、求兩平行平面間的距離（1）用公式求，n為

8、兩平行平面的一個(gè)法向量，A、B分別為兩平面上的任意點(diǎn).（2）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距或線面距求解.課堂典例講練 題型一 用向量證明平行例1在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點(diǎn)求證：MN平面A1BD.證明：方法1：如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則可求得M，N，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是，設(shè)平面A1BD的法向量是n(x，y，z)則n0，且n0，取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，又MN平面A1BD，MN平面A1BD.方法2：()，又MN平面A1BD.MN

9、平面A1BD.點(diǎn)評(píng)：(1)證明直線l1l2時(shí)，分別取l1、l2的一個(gè)方向向量a、b，則ab存在實(shí)數(shù)k，使akb或利用其坐標(biāo)(其中a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(2)證明直線l平面時(shí)，可取直線l的方向向量a與平面的法向量n，證明an0；可在平面內(nèi)取基向量e1，e2，證明直線l的方向向量a1e12e2，然后說明l不在平面內(nèi)即可；在平面內(nèi)找兩點(diǎn)A、B，證明直線l的方向向量n.(3)證明平面平面時(shí)，設(shè)、的法向量分別為a、b，則只須證明ab. 題型二 用向量證明線面垂直例2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，試在棱B1B上找一點(diǎn)M，使得D1M平面

10、EFB1.證明：分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，M(1,1，m)(1,1,0)，又E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，.又，(1,1，m1)，D1M平面FEB1，D1MEF且D1MB1E.即0，且0.，m.故取B1B的中點(diǎn)M就能滿足D1M平面EFB1.點(diǎn)評(píng)：證明直線 l1與l2垂直時(shí)，取l1、l2的方向向量a、b，證明ab0.證明直線l與平面垂直時(shí)，取的法向量n，l的方向向量a，證明an.或取平面內(nèi)的兩相交直線的方向向量a、b與直線l的方向向量e，證明ae0，be0.證明平

11、面與垂直時(shí)，取、的法向量n1、n2，證明n1n20.或取一個(gè)平面的法向量n，在另一個(gè)平面內(nèi)取基向量e1，e2，證明ne1e2.題型三 用向量法證明面面垂直與面面平行例3已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BB1、DD1、DC的中點(diǎn)，求證：(1)平面ADE平面B1C1F；(2)平面ADE平面A1D1G；(3)在AE上求一點(diǎn)M，使得A1M平面DAE.解析：以D為原點(diǎn)，、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，G(0,1,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2

12、)(1)設(shè)n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分別是平面ADE、平面B1C1F的法向量，則n1，n1.，取y11，z12，n1(0,1，2)同理可求n2(0,1，2)n1n2，平面ADE平面B1C1F.(2)(2,0,0)(0,1，2)0，.(0,2,1)(0,1，2)0，.、不共線，D1G平面ADE.又D1G平面A1D1G，平面ADE平面A1D1G.(3)由于點(diǎn)M在AE上，所以可設(shè)(0,2,1)(0,2，)，M(2,2，)，(0,2，2)要使A1M平面DAE，只需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，.故當(dāng)AMAE時(shí)，A1M平面DAE.跟蹤練習(xí)1已知四棱錐PABCD的

13、底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)證明：平面PAD平面PAB.證明：(1)取BC的中點(diǎn)O，側(cè)面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，PO底面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)CD1，則ABBC2，PO.A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)(2，1,0)，(1，2，)0，PABD.(2)取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則M.，(1,0，)，0，即DMPA.又0，即DMPB.DM平面PAB，平面PAD平面PAB.點(diǎn)評(píng)：線

14、線垂直即直線的方向向量垂直；線面垂直即直線的方向向量與平面的法向量平行；面面垂直即二平面的法向量垂直.題型四 用向量法求異面直線所成的角例4如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是正方形BCC1B1的中心，點(diǎn)F、G分別是棱C1D1、AA1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E1、G1分別是點(diǎn)E、G在平面DCC1D1內(nèi)的正投影(1)證明：直線FG1平面FEE1；(2)求異面直線E1G1與EA所成角的正弦值思維啟迪：本題可方便地建立空間直角坐標(biāo)系，通過點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)，然后求解(1)證明以D為原點(diǎn)，、分別為z軸、y軸、x軸的正向，|為1個(gè)單位長度建立空間直角坐標(biāo)系由題設(shè)知點(diǎn)E、F、G1、E1的坐標(biāo)分

15、別為(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，(0,1，1)，(0，1，1)，(1,0,0)，0，0，又EE1FE1E1.FG1平面FEE1.(2)解由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0,0)，又由(1)可知(1，2，1)，(0，2,0)，cos，sin，.探究提高用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解，而兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系，應(yīng)有cos |cos |. 如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EBBF1.求直線EC1與F

16、D1所成的角的余弦值解以A為原點(diǎn)，、分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(xiàn)(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是(1,3,2)，(4,2,2)，設(shè)EC1與FD1所成的角為，則：cos ，直線EC1與FD1所成的角的余弦值為.題型五 線面角例2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點(diǎn)(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值思維啟迪：平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過建立坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PEH

17、的法向量(1)證明以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則A(1,0,0)，B(0,1,0)設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n) (m0)，則D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因?yàn)?0，所以PEBC.(2)解由已知條件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.探究提高利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(

18、或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角 已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N為AB上一點(diǎn)，且AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小(1)證明設(shè)PA1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，0)所以(1，1，)，(，0)因?yàn)?0，所以CMSN.(2)解設(shè)平面CMN的法向量為n(x，y，z

19、)，則.yx，zx，取x2，則n(2,1，2)為平面CMN的一個(gè)法向量cosn.n135，故SN與平面CMN所成角的大小為45.題型六求二面角例3(2012廣東)如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC平面BDE.(1)證明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值思維啟迪：利用圖中的PA平面ABCD、ABCD為矩形的條件建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題(1)證明PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.同理由PC平面BDE可證得PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)解如圖，分別以射線AB，AD，AP為x

20、軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系由(1)知BD平面PAC，又AC平面PAC，BDAC.故矩形ABCD為正方形，ABBCCDAD2.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即取x1得n(1,0,2)BD平面PAC，(2,2,0)為平面PAC的一個(gè)法向量cos n，.設(shè)二面角BPCA的平面角為，由圖知0，cos ，sin .tan 3，即二面角BPCA的正切值為3.探究提高求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面

21、的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 (2011遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值(1)證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長為單位長，以DA、DP、DC所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)所以0，0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解依題意有B(1

22、,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即因此可取n(0，1，2)同理，設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值為.題型七 異面直線間的距離例7已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.求異面直線DA1與AC的距離解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)、C(0,1,0)、B1(1,1,1)、A1(1,0,1)，向量(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)設(shè)向量n(x，y,1)，且n，n，則，解得，所以n(1，1,1)異面直線DA1與AC的距離為d.題型八 點(diǎn)、線、面到平面的距離例8

23、如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長均為1，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則，(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面ABC1的法向量為n(x，y,1)，則有，解得n，則d.答案：跟蹤練習(xí)3如圖所示，已知邊長為4的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA平面ABC，且PA2，設(shè)平面過PF且與AE平行，求AE與平面間的距離解析：設(shè)、的單位向量分別為e1、e2、e3，選取e1，e2，e3作為空間向量的一組基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2

24、e3，()2e1e2e3，設(shè)nxe1ye2e3是平面的一個(gè)法向量，則n，n，ne1e3 直線AE與平面間的距離為d.題型九 求線段長例9如圖所示，在60的二面角AB中，AC，BD，且ACAB，BDAB，垂足分別為A、B，已知ABACBDa，求線段CD的長 分析：欲求線段CD的長，將|CD|看作是的模，將用已知長度及夾角關(guān)系的，來表示，其中與所成的角等于二面角的大小.解析：ACAB，BDAB，0，0，又因?yàn)槎娼茿B為60的二面角，120，于是|22()22222223a22a2cos1203a2a22a2，CDa點(diǎn)評(píng)：|a|2aa，將求線段長的問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算是求距離的主要方法跟蹤練

25、習(xí)4(2010河北邯鄲市?？?如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長為a，側(cè)棱長為a，D是棱A1C1的中點(diǎn)(1)求證：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求點(diǎn)C1到平面AB1D的距離解析(1)連結(jié)A1B與AB1交于E，則E為A1B的中點(diǎn)，D為A1C1的中點(diǎn)，DE為A1BC1的中位線，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：過D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性質(zhì)可知，DF平面ABB1A1，連結(jié)EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂線定理的逆

26、定理可得EFAB1.則DEF為二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.故所求二面角A1AB1D的大小為.解法2：(向量法)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)設(shè)n(x，y，z)是平面AB1D的一個(gè)法向量，則可得即，取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一個(gè)法向量n1(a,0,0)，設(shè)n與n1的夾角是，則cos.又知二面角A1AB1D是銳角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：設(shè)點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為h，因AD2DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一個(gè)法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距離為a.練習(xí)題1在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線BA1和AC所成的角的大