第3章 導數(shù)與微分

1、第一講 導數(shù)的概念教學內(nèi)容1. 導數(shù)的物理與幾何模型;2. 導數(shù)的定義;3. 求導舉例; 4. 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系.教學目的與要求1. 理解導數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義;2. 能用導數(shù)的定義求簡單函數(shù)的導數(shù);3. 理解可導與函數(shù)連續(xù)的關系;4. 會用左、右導數(shù)的概念判斷分斷函數(shù)的連續(xù)和可導性.教學重點與難點導數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義; 用左、右導數(shù)的概念判斷分斷函數(shù)的連續(xù)和可導性.教學時數(shù) 4§2.1 導數(shù)的概念一、導數(shù)的物理與幾何模型1. 變速直線運動的瞬時速度設一質(zhì)點在坐標軸上作非勻速運動, 時刻t質(zhì)點的坐標為s, s是t的函數(shù): s=f(t),求動點在時刻

2、t0的速度. 考慮比值, 這個比值可認為是動點在時間間隔t-t0內(nèi)的平均速度. 如果時間間隔選較短, 這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻t0的速度. 但這樣做是不精確的, 更確地應當這樣: 令t -t0®0, 取比值的極限, 如果這個極限存在, 設為v , 即,這時就把這個極限值v稱為動點在時刻t 0的速度. 2. 平面曲線的切線的斜率設有曲線C及C上的一點M, 在點M外另取C上一點N, 作割線MN. 當點N沿曲線C趨于點M時, 如果割線繞點旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT, 直線就稱為曲線有點處的切線. 設曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形. 現(xiàn)在要確定曲線在點M(x0, y0)(y0=f

3、(x0)處的切線, 只要定出切線的斜率就行了. 為此, 在點M外另取C上一點N(x, y), 于是割線MN的斜率為,其中j為割線MN的傾角. 當點N沿曲線C趨于點M時, x®x0. 如果當x®x 0時, 上式的極限存在, 設為k , 即存在, 則此極限k 是割線斜率的極限, 也就是切線的斜率. 這里k=tan a, 其中a是切線MT的傾角. 于是, 通過點M(x0, f(x0)且以k 為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線. 二、導數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點處導數(shù)定義 設函數(shù)在內(nèi)有定義，當自變量在處取得增量(點仍在該鄰域內(nèi))時；相應地函數(shù)取得增量；如果與之比當時的極限存在，

4、則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即 . 也可記為 , 或 也稱函數(shù)增量與自變量增量之比是函數(shù)在以及為端點的區(qū)間上的平均變化率，導數(shù)是函數(shù)在點處的變化率，即瞬時變化率2. 函數(shù)在一點處導數(shù)導函數(shù)將處導數(shù)定義中的換成，如果與之比當時的極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱這個極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為，即 .顯然，當 在某區(qū)間內(nèi)變化時，是的函數(shù). 因此稱之為導函數(shù). 導函數(shù)的記號還有, 或 3.處導數(shù)與導函數(shù)的關系函數(shù)在點的導數(shù)是導函數(shù)在點處的函數(shù)值即 .通常，導函數(shù)簡稱為導數(shù)例題1 求函數(shù)的導數(shù)以及在點的導數(shù).4.不可導的情形由可導定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一

5、，稱函數(shù)在點處不可導（1）=； （2）無穩(wěn)定的變化趨勢.例題2 （1）求函數(shù)在處的導數(shù). （2）求函數(shù)在處的導數(shù).5. 導數(shù)定義的不同形式=的具體形式有以下情況，需要學生靈活運用. （1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例題3 （1）已知存在，求. （2）已知，在處連續(xù)，求.（3） 計算極限.三、求導舉例 例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導數(shù). 解: . 即 (C ) ¢=0. 例2. 求的導數(shù). 解: . 例3. 求的導數(shù). 解: . 例4求函數(shù)f(x)=x n (n 為正整數(shù))在x=a處的導數(shù). 解: f ¢(a)(x n-1+ax n-2+ 

6、15; × × +a n-1)=na n-1. 把以上結(jié)果中的a 換成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1. (C)¢=0, , , . 更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m為常數(shù). 例5求函數(shù)f(x)=sin x 的導數(shù). 解: f ¢(x) . 即 (sin x)¢=cos x . 用類似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x . 例6求函數(shù)f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的導數(shù). 解: f ¢(x) .

7、特別地有(e x )=e x . 例7求函數(shù)f(x)=log a x (a>0, a ¹1) 的導數(shù). 解: . 即 . : 特殊地 . , .四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系1.單側(cè)導數(shù)根據(jù)極限存在的充要條件，函數(shù)在點可導，當且僅當與同時存在且相等這兩個極限值分別稱為在點的右導數(shù)和左導數(shù)（統(tǒng)稱為單側(cè)導數(shù)）分別記為，2. 可導的充要條件=例題4 （1）設 討論函數(shù)在處的可導性（2） 設 ，求3. 函數(shù)可導與連續(xù)的關系 (1).可導必連續(xù)設函數(shù)在點可導，即存在，由極限與無窮小量的關系知，其中是時的無窮小量上式兩端同乘以，得 由此可見，當時， 即函數(shù)在點連續(xù) (2). 連續(xù)未必可導例

8、如，函數(shù)在點處連續(xù)（圖1），但由例題2（1）知，在點處不可導 同樣，函數(shù)在點處連續(xù)（圖2），但由例題2（2），中，在點處不可導. 由上面的討論可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數(shù)在某點不連續(xù)，則函數(shù)在該點必不可導 圖1 圖2作業(yè)：練習冊第10次第二講 求導法則(1)教學內(nèi)容1. 導數(shù)的四則運算;2. 反函數(shù)的導數(shù)法則;3. 復合函數(shù)的導數(shù)法則.教學目的與要求5. 熟練掌握導數(shù)的四則運算法則6. 熟練掌握反函數(shù)的求導法則;7. 熟練掌握復合函數(shù)的導數(shù)法則.教學重點與難點導數(shù)的四則運算法則及反函數(shù)的導數(shù)法則、復合函數(shù)的導數(shù)法則.教學時數(shù) 3§2.2 求導法則(

9、1)一、導數(shù)的四則運算設都在處可導，則有； ；.我們現(xiàn)在只證明.證 設則= = =+=例1 ，求，.解 =， =.例2 求的導數(shù).解 . =.例3 求正切函數(shù)的導數(shù).例4 求正割函數(shù)的導數(shù).二、反函數(shù)的導數(shù)法則法則： 若單調(diào)、連續(xù)，在y處可導.且則它的反函數(shù)在對應點處可導，單調(diào).且證 由單調(diào)性當時，從而，又因為連續(xù)，當，從而.利用以上定理可以證明：， ； ， .三、復合函數(shù)的導數(shù)法則法則：設是由復合而成.若在處可導， 而在處可導.則在處可導且證 在處可導，則有， ，其中. 可以推得 用除以式有，所以=.這個法則相當重要，稱為復合函數(shù)的鏈式法則.復合過程可推廣到多個情形.例3 求解 為復合而成，

10、所以=.例4 求解 由復合而成，所以=注：在熟練掌握的基礎上，可不必寫出復合過程，可直接寫出結(jié)果.例5 解 =.例6 解 =.例7 解 .例8 解 .例9 已知，求法1：=！.法2：. =100！例10 設 且=0，證明：=0證 =，又因為=0，且，故易知=0.例11 設在上有界，求解 =.作業(yè)：練習冊第11次 第三講 求導法則(2) 高階導數(shù)教學內(nèi)容1. 隱函數(shù)的導數(shù)法則;2. 對數(shù)求導法;3. 高階導數(shù).教學目的與要求8. 熟練掌握導數(shù)的隱函數(shù)的求導法則;9. 會用對數(shù)求導法;10. 會求函數(shù)的一階二階導數(shù)和簡單函數(shù)的n階導數(shù);11. 掌握抽象函數(shù)的一階二階導數(shù)的求法.教學重點與難點隱函數(shù)

11、的求導法則導數(shù), 對數(shù)求導法, 簡單函數(shù)的n階導數(shù).教學時數(shù) 3 §2.2 求導法則(2)一、隱函數(shù)的導數(shù)法則1. 隱函數(shù)的定義：形如的函數(shù)為顯函數(shù).而由方程或 所確定的函數(shù)為隱函數(shù)2. 隱函數(shù)求導法：將方程兩端對求導（看成的函數(shù)），然后解出例1 已知，求.解： 從而.例2 已知，求.解： 則. 將代入原方程里得 所以.例3 求的二階導數(shù)解：，所以， 代入有.3. 對數(shù)求導法（多用于求冪指函數(shù)與多因式函數(shù)求導問題，兩邊取對數(shù)，變顯函數(shù)為隱函數(shù)，再使用隱函數(shù)求導法求導）例4 ，求解：,. 所以 法2：，所以.例5 解：,所以 .§2.2 高階導數(shù)一、高階導數(shù)的概念我們知道的導

12、函數(shù)仍為的函數(shù)，當然可以繼續(xù)求導數(shù).稱的導數(shù)為的二階導函數(shù)，記為，或、 類似的我們可以三階、四階n階導數(shù)，記為=，由此可見高階導數(shù)的求導法為反復求導法例1 ，求.解 ，=0.例2 證明，滿足關系.證 =，=，則.二、n階求導公式例：求的各階導數(shù)解：.例：已知，求.解：= 同理可以推得 例：，求.解：, 在求n階導數(shù)的過程中.關鍵是找規(guī)律，最后歸納到一般.例：求的n階導數(shù) 解：，.特別地，當時，. 下面我們來導出和、差、積的n階導數(shù)公式. 1. . 2. =. 其中，有點特別.事實上， =此公式稱為萊布尼茨公式.例：使用萊布尼茨公式計算的20階導數(shù)解：令，且，所以=+ =+ =.例：試從中，求出

13、，解：= ，= =作業(yè)：練習冊第12、13次 第四講 函數(shù)的微分教學內(nèi)容1. 微分的定義;2. 微分的幾何意義;3. 微分的基本公式和法則.教學目的與要求12. 理解微分的概念;13. 了解微分的幾何意義以及微分與可導之間的關系;14. 熟悉微分的運算法則;15. 會用微分進行近似計算.教學重點與難點微分的概念, 微分的運算法則.教學時數(shù) 2§2.4 函數(shù)的微分一、 微分的定義1.實例：一個正方形的邊長由變到，面積改變了多少？用表示正方形的邊長，A表示面積A=，當=，=.所以 =，可見，當很小的時候，.2.定義： 若在處的增量可表示為，其中A為不依賴于的數(shù)，則稱在處可微，稱為的微分.

14、記為，即.3.可微與可導的關系： 可微可導證 必要性：若在處可微； 則 .充分性：若在處可導 在處可微由此可見，若在處微分. 注：是的高階無窮小 例1 求在，的改變量與微分. 解：記，=， ，又 所以. 為了方便起見，通常規(guī)定，故也有二、 微分的幾何意義 所以幾何上表示曲線在點處切線的增量.三、微分的基本公式和法則1.運算法則；. 2. 一階微分形式不變性設，不論是自變量還是中間變量都有.證 若是自變量，則； 若是中間變量，則.例1 ，求.解法一： 則解法二： .例2 已知，求.解：= 所以四、微分用于近似計算實際中經(jīng)常會遇到一些函數(shù)表達式較復雜的運算，但是結(jié)果又并非要求十分精確,在這種情況下

15、，可考慮使用微分來做近似的計算.條件：；比較小，容易求；公式一：；公式二：.例：求的近似值解：作函數(shù)，故，所以=.利用，很小，可證得以下的幾個公式：（1）；（2），；（3）.例 有一批半徑為1cm的球，為了提高球面光滑度要鍍上一層銅.厚度為0.01cm估計一下每只球需要多少銅.（比重8.9克/cm） 解：球體積為，問題變?yōu)楫斪兊綍r求.因為，所以，將數(shù)據(jù)代入可以算出.所以每只球需要銅克.作業(yè)：練習冊第14次 第五講 導數(shù)和微分在經(jīng)濟學中的應用舉例教學內(nèi)容1. 常見的幾個經(jīng)濟函數(shù);2. 函數(shù)的絕對變化率-邊際函數(shù);3. 函數(shù)的相對變化率-彈性.教學目的與要求16. 了解常見的幾個經(jīng)濟函數(shù)(成本、收

16、入、利潤和需求函數(shù));17. 理解函數(shù)的絕對變化率-邊際函數(shù);18. 理解函數(shù)的相對變化率-彈性.教學重點與難點函數(shù)的絕對變化率-邊際函數(shù), 函數(shù)的相對變化率-彈性教學時數(shù) 2§2.5 導數(shù)和微分在經(jīng)濟學中的應用舉例一、常見的幾個經(jīng)濟函數(shù)1. 總成本函數(shù)其中: 為產(chǎn)量, 為固定成本, 為可變成本. 單位成本(平均成本): 2. 銷售收入函數(shù)(總收益函數(shù), 總收入函數(shù)) 其中: 為銷售量, 為銷售價格.3. 總利潤函數(shù) 例1 見教材.4. 需求函數(shù) 例2 見教材.二、函數(shù)的絕對變化率-邊際函數(shù) 以總成本函數(shù)為例. 當產(chǎn)量從單位變到時, 其成本的單位變化率為 當產(chǎn)量為單位時, 成本的變化

17、率為處的導數(shù) 由函數(shù)的微分可知, 當很小時, 有 特別地, 當產(chǎn)量在處改變一個單位, 即, 則有 經(jīng)濟學上對上述表達式的解釋是: 當產(chǎn)量達到時, 再增加生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品所增加的成本, 可用成本函數(shù)在時的導數(shù)近似地表示. 由于經(jīng)濟學中把“產(chǎn)量增加一個單位時, 成本的增加數(shù)定義為邊際成本”, 而導數(shù) 在數(shù)量上近似地表示產(chǎn)量為時的邊際成本. 因此, 經(jīng)濟學中稱成本函數(shù)的導數(shù)為成本函數(shù)在產(chǎn)量時的邊際成本. 一般地, 經(jīng)濟學中稱某經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)為該函數(shù)在的邊際函數(shù). 常常略去“近似”二字. 邊際成本函數(shù); 邊際收入函數(shù); 邊際利潤函數(shù)； 邊際需求函數(shù). 利用邊際函數(shù)來分析經(jīng)濟量的變化, 就稱為邊際分析. 例3 見教材.