知識(shí)講解雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程編稿：張林娟 責(zé)編：孫永釗【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1知識(shí)與技能：從具體情境中抽象出雙曲線的模型；掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形；能正確推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2過程與方法：學(xué)生親自動(dòng)手嘗試畫圖、發(fā)現(xiàn)雙曲線的形成過程進(jìn)而歸納出雙曲線的定義、圖像和標(biāo)準(zhǔn)方程 3情感態(tài)度與價(jià)值觀：了解雙曲線的實(shí)際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想在解析幾何中的作用 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：雙曲線的定義把平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的集合叫作雙曲線 定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫作雙曲線的焦距要點(diǎn)詮釋：1 雙曲線的定義中，

2、常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：常數(shù)=，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2 若常數(shù)分別滿足以下約束條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡各不相同：若 常數(shù)=（常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若 常數(shù)=（常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支若 常數(shù)=，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；若 常數(shù)=，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；若 常數(shù)=，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線 要點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其中；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，其中2 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如何建立雙曲線的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分為4步：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)（1）

3、建系取過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系 （2）設(shè)點(diǎn)設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)（3）列式設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|M F1|-|M F2|=2a=M|M F1|-|M F2|=±2a(4)化簡(jiǎn)將這個(gè)方程移項(xiàng)，得兩邊平方得：化簡(jiǎn)得：兩邊再平方，整理得： （以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)）由于方程形式較復(fù)雜，繼續(xù)化簡(jiǎn)由雙曲線定義， 即，所以令，代入上式得：，兩邊同除以，得：即，其中這就是焦點(diǎn)在軸的雙

4、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要點(diǎn)詮釋：若在第（1）步中以“過焦點(diǎn)F1、F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系”，就可以得到焦點(diǎn)在y軸的雙曲線方程：，其中 3 兩種不同雙曲線的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的集合不同點(diǎn)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)，相同點(diǎn)a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷哪項(xiàng)為正，項(xiàng)的未知數(shù)就是焦點(diǎn)所在的軸要點(diǎn)詮釋：1當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式 此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸

5、長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：ca，cb，且c2=b2+a2 3雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上 4對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上 要點(diǎn)三：橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系1 橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)照表：橢圓雙曲線圖象定義根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|MF2|=2aa、b、c關(guān)系a2c2=b2（a最大）（ac0，b0）c2a2=b2（c最大）（0ac，b0）標(biāo)準(zhǔn)方程，

6、（焦點(diǎn)在x軸），（焦點(diǎn)在y軸）其中ab0，（焦點(diǎn)在x軸），（焦點(diǎn)在y軸）其中a0，b0，a不一定大于b）標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式（當(dāng)時(shí)，表示橢圓；當(dāng)時(shí)，表示雙曲線）2 方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線 當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上 要點(diǎn)四：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值 其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程 要點(diǎn)詮釋：若定義中“

7、差的絕對(duì)值”中的絕對(duì)值去掉，點(diǎn)的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量 若兩種類型都有可能，則需分類討論【典型例題】類型一：雙曲線的定義例1已知點(diǎn)F1(4，0)和F2(4，0)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6，則曲線方程為()AB1(y>0)C 或D (x>0)【答案】D【解析】由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，其方程為：(x>0)【總結(jié)升華】對(duì)于雙曲線的定義必須抓住兩點(diǎn)：一是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)，二是這個(gè)常數(shù)要小于，若不滿足這些條件，則其軌跡不是雙曲線，而是雙曲線的一

8、支或射線或軌跡不存在舉一反三：【變式1】已知定點(diǎn)F1(2，0)、F2(2，0)，平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（ ）A|PF1|PF2|=±3 B|PF1|PF2|=±4C|PF1|PF2|=±5 D|PF1|2|PF2|2=±4 【答案】A【變式2】已知點(diǎn)F1(0，13)、F2(0，13)，動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）Ay=0 By=0（x13或x13）Cx=0（|y|13） D以上都不對(duì)【答案】C【變式3】動(dòng)圓與圓x2y21和x2y28x120都相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()A雙曲線的一支 B圓

9、C拋物線 D雙曲線【答案】A例2 已知P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且求值【解析】利用雙曲線的定義求解【答案】在雙曲線中，故由P是雙曲線上一點(diǎn)，得或又得【總結(jié)升華】本題容易忽略這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論或舉一反三：【變式1】雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，若，求的面積【答案】16【解析】中，a2=9，b2=16，c2=9+16=25，所以a=3，b=4，c=5設(shè)，由題意可知， 所以，因?yàn)槭侵苯侨切?，所以【變?】過雙曲線的左焦點(diǎn)與左支相交的弦的長(zhǎng)為，另一焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng)【解析】，且，的周長(zhǎng)為：【變式3】已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）A橢圓 B雙曲線中的一支 C兩條

10、射線 D以上都不對(duì)【答案】B類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出 a，b，c； ； ； ； 【思路點(diǎn)撥】先看方程能否等價(jià)轉(zhuǎn)化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式，若不能，則不能表示雙曲線；反之，找出相應(yīng)的a2，b2，再利用c2= a2+b2得到c的值【解析】（1）能 該雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，=4，=2，=6，所以a=2，b=，c=（2）能 雙曲線可化為：，它的焦點(diǎn)在x軸上，=9，=4，=13 所以a=3，b=2，c=（3）能 雙曲線可化為：，它的焦點(diǎn)在x軸上，=，=，=4，所以a=，b=，c=2（4）能 該方程表示到定點(diǎn)（-5，0）和（5，0）的距離為8，由于8<10，所以表示

11、雙曲線，其中a=4，c=5，則=9，所以b=3（6）不能表示雙曲線，這是橢圓的方程（7）不能表示雙曲線，該曲線不存在【總結(jié)升華】化雙曲線為標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：（1）常數(shù)化為1：兩邊同除以，將雙曲線化為 ；（2）分子上的系數(shù)化為1：利用，將雙曲線化為 ；（3）注意符號(hào)：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，則將雙曲線化為 ；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，則將雙曲線化為 舉一反三：【變式1】雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(，0)B(，0)C(，0) D(，0)【答案】C【解析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，a21，b2，=，故右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(，0)【變式2】若雙曲線8kx2ky28的一個(gè)焦距為6，則k_【

12、答案】【解析】當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，此時(shí)，解得k=1；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，此時(shí)，解得k1所以k的值為例4已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為24，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解析】由題意得2a=24，2c=26a=12，c=13，b2=132122=25當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的方程為【總結(jié)升華】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求a2、b2的值，同時(shí)還要確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸雙曲線所在的坐標(biāo)軸，不像橢圓那樣看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系數(shù)的正負(fù)舉一反三：【高清課堂

13、：雙曲線的方程 357256 例1】【變式1】求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知兩焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于8（2）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，經(jīng)過點(diǎn)【答案】（1）；（2）【變式2】求與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】【解析】解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為=1由已知得，又雙曲線過點(diǎn)，故所求雙曲線的方程為解法二：依題意設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入，解得，所以雙曲線方程為類型三：雙曲線與橢圓例5討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征【思路點(diǎn)撥】 觀察題目所給方程是關(guān)于x，y的二次形式，故只可能表示橢圓或雙曲線對(duì)于：當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示雙曲線【解

14、析】(1)當(dāng)k<9時(shí)，25k>0，9k>0，所給方程表示橢圓，由于25k>9k，c2a2b216，所以這些橢圓的焦點(diǎn)都在x軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)都為（-4，0）和（4，0） (2)當(dāng)9<k<25時(shí)，25k>0，9k<0，所給方程表示雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為此時(shí)，a225k，b2k9，c2a2b216，這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)(4，0)，(4，0)(3)當(dāng)k>25時(shí)，所給方程沒有軌跡【總結(jié)升華】橢圓和雙曲線都是二次曲線系，注意它們各自定義在方程中的區(qū)別，它們a，b，c的關(guān)系區(qū)別舉一反三：【變式1】設(shè)雙曲線方程與橢圓有共同焦點(diǎn)，且與橢圓相交，在第一象限的

15、交點(diǎn)為A，且A的縱坐標(biāo)為4，求雙曲線的方程【答案】【變式2】若雙曲線(M>0，n>0)和橢圓(a>b>0)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，M為兩曲線的交點(diǎn)，則|MF1|·|MF2|等于_【答案】aM【解析】由雙曲線及橢圓定義分別可得|MF1|MF2| |MF1|MF2| 22得，4|MF1|·|MF2|4a4M，|MF1|·|MF2|aM類型四：雙曲線方程的綜合應(yīng)用【高清課堂：雙曲線的方程 357256例2】例7 已知A，B兩地相距2000 M，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚4 s，且已知當(dāng)時(shí)的聲速是330 M/s，求炮彈爆炸點(diǎn)所在的曲線方程【解析