隨機(jī)過(guò)程習(xí)題

1、5.1設(shè)有周期信號(hào)如圖題5-1所示，求它相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。T/2-1解：首先，于是，所以，該信號(hào)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)為確定性周期信號(hào)的功率譜密度是其時(shí)間相關(guān)函數(shù)的傅氏變換，即或者5.25.35.4設(shè)有二平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它們的功率譜密度分別為，（1）（2）求其相應(yīng)的相關(guān)函數(shù)及其均方值。(1) 解：因?yàn)樗裕嚓P(guān)函數(shù)為均方值為(2) 解：因?yàn)樗韵嚓P(guān)函數(shù)為： 均方值為：5.5 設(shè)一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如圖題5-5所示，即，求其相關(guān)函數(shù)及其均方值。圖題 5-5解：參見(jiàn)教材348頁(yè)圖5-10，將其中的用代替，得相關(guān)函數(shù)于是均方值為5.6 設(shè)有線(xiàn)性時(shí)不變動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)為。如果輸入為一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，

2、它的相關(guān)函數(shù)為，協(xié)方差函數(shù)為，試證輸出過(guò)程的相關(guān)函數(shù)可以表示為其中，。稱(chēng)為系統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)，并證明(1) 證明：輸出過(guò)程為作變換：則上式 =(2) 證明：因?yàn)槎?= =及而。所以原式得證。5.7 設(shè)有一“平均電路”如圖題5-7所示，即當(dāng)輸入為時(shí)，平均電路的輸出為 圖題 5-7平均電路(1) 試證該電路的沖激相應(yīng)為(2) 求第6題所定義的系統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)為（1） 如果該電路的輸入為一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其協(xié)方差函數(shù)為用上題的方法求輸出過(guò)程的方差解：(1) 由給定的輸入和輸出之間的關(guān)系可得：對(duì)上式兩邊取拉氏變換得：于是得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為它對(duì)應(yīng)的沖激函數(shù)為(2) 第6題中所定義的系統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)為即(3) 由第

3、6題的結(jié)論可知于是，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)5.8 設(shè)有線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，它的沖激響應(yīng)為其中，為常數(shù)，U(t)階躍函數(shù)。如果系統(tǒng)的輸入為一寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的相關(guān)函數(shù)為 (0)。求輸入輸出間的互 相關(guān)函數(shù)，設(shè)，畫(huà)出，問(wèn)是否對(duì)稱(chēng)于=0的軸。解：輸入輸出間的互相關(guān)函數(shù)為因此， 當(dāng)=3，=1時(shí)，如下圖所示。顯然，不對(duì)稱(chēng)于=0的軸。解決這個(gè)問(wèn)題的另一種方法是功率譜方法。首先，輸出和輸入的互譜密度函數(shù)為其中，于是，互譜密度函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為因此，輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)為5.95.105.11 有實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其相關(guān)函數(shù)為，試證明證明：因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以?.12 試證明表5-12中相應(yīng)的功率譜密度表達(dá)式的正確性。

4、表中代表平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，代表的相關(guān)函數(shù)，代表的功率譜密度。表5-12 過(guò) 程相 關(guān) 函 數(shù)功 率 譜 密 度（已知）（已知）（1）（2）（3）（4）解：(1) 顯然的相關(guān)函數(shù)為，于是的功率譜密度為(2) 于是的功率譜密度為=（3）利用分步積分，遞推過(guò)程同（2），推導(dǎo)略。（4）5.13. 設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的樣本函數(shù)如圖題5-13(a)所示。每個(gè)脈沖的寬度為，幅度為，即每個(gè)脈沖的面積為1，而脈寬；脈沖的出現(xiàn)規(guī)律符合泊松分布，即單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的平均脈沖個(gè)數(shù)為l，不相交疊的時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的脈沖數(shù)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，n=1，2，3，；每個(gè)脈沖極性可正可負(fù)，出現(xiàn)正或負(fù)的概率各為，不同脈沖出現(xiàn)正或負(fù)是相互統(tǒng)

5、計(jì)獨(dú)立的。(1) 求此隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)(2) 求它的功率譜密度(3) 若把該隨機(jī)信號(hào)送入積分電路，求其輸出的樣本函數(shù)。輸出隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度為何？（電路如圖5-13(b)所示）圖題5-13(a)圖題5-13(b)解：（1）在圖5-13中，脈寬時(shí)得到的是一個(gè)復(fù)合泊松脈沖過(guò)程，也就是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程的微分過(guò)程。因此可以先求復(fù)合泊松過(guò)程的相關(guān)函數(shù)，然后再求復(fù)合泊松脈沖過(guò)程的相關(guān)函數(shù)。由其產(chǎn)生的復(fù)合泊松脈沖過(guò)程，有：此處，故（2）功率譜密度函數(shù)為相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換：（3）積分電路的傳遞函數(shù)為故輸出的功率譜函數(shù)為：=樣本函數(shù)如圖題5-14。5.14 設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的樣本函數(shù)如圖5-14所示，

6、每個(gè)脈沖的波形為負(fù)指數(shù)波形即，為脈沖的出現(xiàn)時(shí)刻，它符合泊松分布規(guī)律，且單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的脈沖平均個(gè)數(shù)。求證的功率譜密度為現(xiàn)有二個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，它們的轉(zhuǎn)移函數(shù)分別為 ， 其中，如圖5-14所示。隨機(jī)信號(hào)分別送入這兩個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，得到的輸出分別為和。求輸出功率譜密度和，并問(wèn)和內(nèi)各脈沖的波形為何？0t圖5-14解：由于隨機(jī)過(guò)程中的每個(gè)脈沖的波形相同，只不過(guò)極性和出現(xiàn)時(shí)刻不同，且出現(xiàn)時(shí)刻符合泊松分布規(guī)律。因此可以看作是以5.13題的復(fù)合泊松脈沖過(guò)程作為輸入，以脈沖的基本波形作為沖激響應(yīng)的系統(tǒng)的輸出，即如下圖所示。復(fù)合泊松脈沖過(guò)程其中，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為由5.13題可知輸入的復(fù)合泊松脈沖過(guò)程的相

7、關(guān)函數(shù)為，即功率譜密度函數(shù)為。于是可得的功率譜密度函數(shù)為分別送入圖5-14所示的兩個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，輸出的隨機(jī)過(guò)程和的功率譜密度分別為輸入隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)基本脈沖波形通過(guò)兩個(gè)系統(tǒng)的輸出分別為和由此可見(jiàn)，輸出的隨機(jī)過(guò)程和的功率譜密度函數(shù)雖然相同，但是時(shí)間波形相差一個(gè)相位(如圖示)。所以，功率譜密度函數(shù)不包含相位信息。5.15 設(shè)有圖題5-15所示的線(xiàn)性反饋系統(tǒng)，其中h (t)，k (t)分別為兩個(gè)方塊圖的沖激響應(yīng)，H(if)，K(if)為其相應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，e (t)代表誤差信號(hào)，即輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之差。如果在輸入端送入的信號(hào)是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(t)，在系統(tǒng)中又 進(jìn)入一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程n (t)（即噪聲）,若

8、(t)，n (t)是相關(guān)的，又是聯(lián)合平穩(wěn)的。求：(1) 輸出端的(t)功率譜密度S(f)；(2) 在相減器輸出端獲得的誤差信號(hào)e (t)的功率譜密度Se (f)。解：系統(tǒng)的時(shí)域方程為 解此方程得將上式簡(jiǎn)寫(xiě)成。上述關(guān)系的系統(tǒng)框圖為A(jf)B(jf)(t)- e(t) h(t) +n(t) k(t)= e(t) (3)(if)- E(if)H(if) K(if)+N(if)K(if)=E(if) (4). (if)-(if)=E(if) (5)所以，(if)= 1-1+ H(if) K(if)(if)+ K(if) 1+ H(if) K(if)NifE(if)= 1+ H(if) K(if) (if)- K(if)1+ H(if) K(if)Nif令: A=1+ H(if) K(if),B= K(if) 1+ H(if) K(if),C=1-1+ H(if) K(if)(t)= (t) +(t)S(f)=S(f) +S (f) +S(f)+S(f)式中S(f