《固體物理學(xué)答案》第四章晶體的缺陷

1、第四章晶體的缺陷習(xí)題1 .求證在立方密積結(jié)構(gòu)中，最大的間隙原子半徑r與母體原子半徑R之比為百解答對(duì)于面心立方結(jié)構(gòu)，如圖4.1所示,1原子中心與8原子中心的距離，等于1原子中心與2原子中心的距離，對(duì)于立方密積模型，圖4.1面心立方晶胞因?yàn)?原子與8原子相切，所以1原子與2原子也相切,同理,1,2,3,4原子依次相切,過(guò)1,2,3,4原子中心作一剖面,得到圖4.2.1與2間的距離為圖4.2通過(guò)面心立方晶胞上下左右面心的剖面圖.與1,2,3,4相切的在1,2,3,4間隙中的小球的半徑r由下式?jīng)Q定即目于是有ri2 .假設(shè)把一個(gè)Na原子從Na晶體中移到表面上所需的能量為1eV,計(jì)算室溫時(shí)肖特基缺陷的濃度

2、.解答對(duì)于肖特基缺陷，在單原子晶體中空位數(shù)為式中N為原子數(shù)，i為將一個(gè)原子由晶體內(nèi)的格點(diǎn)移到表面所需的能量，取室溫時(shí)ri,得到溫時(shí)肖特基缺陷的相對(duì)濃度3 .在上題中，相鄰原子向空位遷移時(shí)必須越過(guò)0.5eV的勢(shì)壘,設(shè)原子的振動(dòng)頻率為10間Hz試估計(jì)室溫下空位的擴(kuò)散系數(shù).計(jì)算溫度國(guó)時(shí)空位的擴(kuò)散系數(shù)提高百分之幾.解答由固體物理教程（4.32）式可知,空們擴(kuò)散系數(shù)的表示式為(1)式中回為空們跳躍一步所跨的距離，Id為與空們相鄰的原子的振動(dòng)頻率，為形成一個(gè)空位所需要的能量，3|為相鄰原子抽空位遷移時(shí)必須越過(guò)的勢(shì)壘高度，已知晶體是體心立方結(jié)構(gòu)，晶格常數(shù)空位每跳一步的距離為Hz,1eV,0.5eV將上述數(shù)據(jù)

3、代入式，得到,373K時(shí)空位擴(kuò)散系數(shù)分別為于是得到從上式可知，溫度時(shí)空位的擴(kuò)散系數(shù)比室溫下空位的擴(kuò)散系數(shù)提高4個(gè)數(shù)量級(jí).4 .對(duì)于銅，形成一個(gè)不肖特基缺陷的能量為1.2eV,形成一個(gè)填隙原子所需要的能量為4eV.估算接近1300K（銅的熔點(diǎn)）時(shí)，兩種缺隙濃度時(shí)的數(shù)量級(jí)差多少.解答根據(jù)固體物理教程中（4.19）（4.20）式可知，空位和填隙原子的數(shù)目分別為在第二式中已取間隙位置數(shù)等于原子數(shù)，由上述兩式得單位體積銅中空位和填隙原子的濃度分別為式中m為摩爾質(zhì)量,為質(zhì)量密度，將kg/mo1,/mol,kg/m代入從以上兩式可以看出，接近（銅的熔點(diǎn)）時(shí)，肖特基缺陷和填隙原子缺陷濃度相差11個(gè)數(shù)量級(jí).5

4、.在離子晶體中，由于，電中性的要求，肖特基缺陷都成對(duì)地產(chǎn)生，令n代表正負(fù)離子空位的對(duì)數(shù)上是形成一對(duì)肖特基缺陷所需要的能量，N為整個(gè)離子晶體中正負(fù)離子對(duì)的數(shù)目，證明解答由N個(gè)正離子中取出n個(gè)正離子形成n個(gè)空位的可能方式數(shù)為同樣.由個(gè)負(fù)離子中取出個(gè)負(fù)離子形成個(gè)空位的可能方式數(shù)也為因此，在晶體中形成對(duì)正，負(fù)離子空位的可能方式數(shù)為與無(wú)空位時(shí)相比,晶體嫡的增量為若不考慮空位的出現(xiàn)對(duì)離子振動(dòng)的影響，晶體的自由能其中是只與晶體體積有關(guān)的自由能,利用平衡條件及斯特林公式由此得LHJ由于,因此得6 .試求有肖特基缺陷后，上題中的體積的相對(duì)變化為無(wú)缺陷時(shí)的晶體體積.解答肖特基缺陷是晶體內(nèi)部原子跑到晶體表面上，而使

5、原來(lái)的位置變成空位，也就是說(shuō)，肖特基缺陷將引起晶體體積的增大，設(shè)每個(gè)離子占據(jù)體積為可則當(dāng)出現(xiàn)n對(duì)正、負(fù)離子空位時(shí)，所增加的體積為而晶體原體積為.1由以上兩式及上題中的結(jié)果7 .設(shè)NaC1只有肖特基缺陷,在時(shí)用X射線衍射測(cè)定NaC1的離子間距，由此確定的質(zhì)量密度算得的分子量為58.430,而用化學(xué)方法測(cè)定的分子量為58.454.求在時(shí)缺陷的相對(duì)濃度.解答即使在r*i時(shí)，晶體是的缺陷數(shù)目與正常格點(diǎn)上的原子數(shù)目相比也是很少的，因此，在忽略熱膨脹的影響的情況下,X射線測(cè)得的離子間距可視為正常離子間的距離，設(shè)NaC1晶體的離子間距為d,則品格常數(shù)為2d,一個(gè)晶胞內(nèi)包含4個(gè)NaC1分子，再設(shè)晶體總質(zhì)量是M

6、,無(wú)缺陷時(shí)體積為目有缺陷時(shí)體積V,用X射線方法確定的分子質(zhì)量可表示為用化學(xué)方法測(cè)得的分子質(zhì)量可視為真實(shí)的分子質(zhì)量，可表示為a設(shè)用射線方法和化學(xué)方法測(cè)定的分子量分別為HI則進(jìn)一步得基中為阿伏加德羅常數(shù)，由以上兩式得以0表示缺陷時(shí)的相對(duì)濃度，利用上題結(jié)果，并求出最小滑移間距得缺陷的相對(duì)濃度8 .對(duì)下列晶體結(jié)構(gòu)，指出最密原子排列的晶列方向體心立方；面心立方.解答(1)體心立方品系原胞坐標(biāo)系中的晶面族山的面間距可以看出，面間距最在的晶面族是001,將該晶面指數(shù)代入固體物理教程(1.32)式，得到該晶面族對(duì)應(yīng)的密勒指數(shù)為001.面間距最大的晶面上的格點(diǎn)最密，所以，密勒指數(shù)001晶面族是格點(diǎn)最密的面，面間

7、距在的晶面間的結(jié)合力小所以格點(diǎn)最密的面便是滑移面.最密的線一定分布在格點(diǎn)最密的面上.由圖4.3虛線標(biāo)出的(110)晶面容易算出，最密的線上格點(diǎn)的周期為具有簡(jiǎn)單晶格的晶體滑移時(shí)，是一個(gè)品格周期一個(gè)品格周期的一步步滑移，因此，最小滑移間距為圖4.3體心立方晶胞(2)面心立方品系原胞坐標(biāo)系中的晶面族山的面間距可以看出，面間距最大的晶面族是111.由第一章第15題可知，對(duì)于面心立方晶體,晶面指數(shù)與晶面指數(shù)（hkl）的轉(zhuǎn)換關(guān)系為將晶面指數(shù)111代入上式,得到該品面族對(duì)應(yīng)的密勒指數(shù)也為111.面間距最大的晶面上的格點(diǎn)最密，所以密勒指數(shù)晶面族是格點(diǎn)最密的面，即111晶面族是滑移面。格點(diǎn)最密的線一定分布在格點(diǎn)

8、最密的面上，由圖4.4虛所標(biāo)出的（111）晶面上的格點(diǎn)容易算出，最密的線上格點(diǎn)的周期為回.具有簡(jiǎn)單晶格的晶體滑移時(shí)，是一個(gè)品格周期一個(gè)品格周期的一步步滑移，因此最小滑移間距為圖4.4面心立方晶胞9 .銅是面心立方結(jié)構(gòu)，原子量設(shè)為同,絕對(duì)零度時(shí)晶格常數(shù)為回,設(shè)熱缺陷全為肖特基缺陷，測(cè)得銅在溫度T,下的質(zhì)量密度為回,或者測(cè)定出膨脹系數(shù)為21，求形成一個(gè)肖特基缺陷所需要的能量.解答肖特基缺陷跑到晶體表面上，使晶體體積增大，設(shè)溫度T為時(shí)的肖特基缺陷數(shù)目為回銅原子總數(shù)為N,絕對(duì)零度時(shí)銅的體積為V0溫度為T(mén)時(shí)的體積為V,利用第6題的結(jié)果，則有由熱膨脹知識(shí)可知由以上兩式得再?gòu)腎XI是原子質(zhì)量單位，又得由以上

9、諸式可得于是，形成一個(gè)肖特基缺陷所需要的能量又可表示為其實(shí)(1)與(2)式是統(tǒng)一的，設(shè)絕對(duì)零度時(shí)銅的質(zhì)量密度為由于銅是面心立方結(jié)構(gòu)，一個(gè)晶胞內(nèi)包4個(gè)銅原子，所以將上式代入(2)式得也就是說(shuō)，若能斷定晶體只有肖特基缺陷，只要測(cè)得晶體在溫度T下的質(zhì)量密,或者測(cè)定出晶體的體膨脹系數(shù)為，均可求出形成一個(gè)肖特基缺陷所需要的能量10 .有一簡(jiǎn)單晶格的晶體,原子在間隙位置上的能量比在格點(diǎn)上高出1eV,試求有千分之一的原子變成間隙原子時(shí)的溫度解答將間隙位置數(shù)，格點(diǎn)數(shù)及原子數(shù)三者視為近似相等，并設(shè)為N.在N個(gè)子格點(diǎn)中形成n個(gè)空位的可能方式數(shù)為n個(gè)填隙原子在N個(gè)間隙位置上排列的可能方式數(shù)為因此同時(shí)形成n個(gè)空們和n

10、個(gè)填隙原子的可能方式數(shù)為由此導(dǎo)致的晶體的嫡的增加量為晶體的自由能是只與晶體體積有關(guān)的自由能,u表示原子位于間隙位置比在正常格點(diǎn)高出的能量利用平衡條件及斯特林公式于是有由于實(shí)際上,因此從而得=1eV=1.602*10代入上式得11.口型離子晶體，只有正負(fù)離子空位和回填隙離子三種熱缺陷，負(fù)電性的正離子空位，其電荷是由負(fù)離子空位的正電荷抵消還是由間隙正離子的正電荷抵消，取決于其中I分別為正負(fù)離子空位和正填隙離子的形成能，利用是電性條件證明時(shí)，只有肖特基缺陷時(shí)，只有弗侖克爾缺陷解答網(wǎng)和S分別表示正負(fù)離子總數(shù)和間隙正離子總數(shù)，目分別表示正負(fù)離子空位數(shù)和正填隙離子數(shù)，分別為正負(fù)離子空位和正填隙離子的形成能

11、，則品格系數(shù)的自由能.其中兇是只與體積有關(guān)的自由能，由電中性條件其中口一、工口小”回E，一小，在是正負(fù)離子空位和正填隙離子的等效電荷，這里假定它們的等效電荷都相等KI既是（1）式的變量，又是（2）式的變量.因此，在求自由能的極小值時(shí)應(yīng)考慮電中性的約束條件，為此，在（2）式左端乘以參量間,并代入（1）式得利用自由能的極小值條件可得熱缺陷數(shù)目為(6)時(shí),再將以上三式代入（3）式，得將上式再代入(1)(9)(8)從（8）式可以看出，當(dāng)式說(shuō)明，當(dāng)時(shí)，填隙離子的數(shù)目可以忽略。也就是說(shuō)，在晶體在可近似認(rèn)為只有肖特基缺陷,（9）式中便是形成一對(duì)正負(fù)離子空位缺陷所需的能量便是肖特基缺陷，中的正離子的空位數(shù)目，

12、由于正負(fù)離子的空位數(shù)目相等，所以，在只有肖特基缺陷情況下從(8)式還可以看出,當(dāng)時(shí),(8)式變成(10)式表明,當(dāng)時(shí)，負(fù)離子空位的數(shù)目，可以，忽略，也就是說(shuō).在晶體中可近似認(rèn)為只有正離子的弗侖克爾缺陷.(10)式中I便是正常格點(diǎn)上的一個(gè)正離子跳到間隙位置所需的能量，國(guó)便是弗侖克爾缺陷中的正離子的空位數(shù)目，對(duì)弗侖克爾缺陷，空位數(shù)等于填隙離子數(shù)所以(3)在一般情況下,(8)式化成由(5)式與式的乘積得由（5）式與（6）式的乘積得12 .若計(jì)及缺陷對(duì)最近鄰離子振動(dòng)頻率的影響，采用愛(ài)因斯坦模型，求高溫時(shí)離子晶體中成對(duì)出現(xiàn)的肖特基缺陷對(duì)的數(shù)目，設(shè)任一離子有m個(gè)最近鄰，與空位相鄰離子的振動(dòng)頻率都相同。解答

13、設(shè)晶體中共有N對(duì)正，負(fù)離子，n對(duì)正負(fù)離子空位，形成一對(duì)缺陷，所需能量為E。由第5題的有關(guān)結(jié)果知，當(dāng)不考空位對(duì)離子振動(dòng)的影響時(shí)，晶體的自由能此外，由固體物理教程（3.152）式可知，在高溫條件下，晶體原子的振動(dòng)對(duì)自由能的貢獻(xiàn)為若采用愛(ài)因斯坦模型，則各振動(dòng)頻率相同，再考慮到高溫時(shí)有可得根據(jù)題意，可設(shè)空位使最近鄰的m個(gè)離子的振動(dòng)頻率從畫(huà)變?yōu)锽|,在整個(gè)晶體中共有2nm個(gè)離子振動(dòng)頻率為回,其他2N-2nm個(gè)離子的振動(dòng)頻率仍為回,頻率的不同引起的自由能的變化為由以上諸式得晶體的總的自由能根據(jù)平衡條件并應(yīng)用斯特林公式由于實(shí)際上，于是13 .對(duì)單原子晶體，在通常溫度下，肖特基缺陷數(shù)目與最近鄰原子的振動(dòng)頻率的

14、改變有關(guān)，試用愛(ài)因斯坦模型，證明平衡時(shí)肖特基缺陷數(shù)目并討論日和日的極限情況，其中i是肖特基，缺陷形成能，m是空位的最近鄰原子數(shù)叵|S為最近鄰無(wú)空位和有空位時(shí)原子的振動(dòng)頻率解答設(shè)含有個(gè)原子的簡(jiǎn)單晶體中，存在n個(gè)空位，當(dāng)原子振動(dòng)頻率不變時(shí)，晶體的自由能為按照愛(ài)因斯坦模型，有空位缺陷時(shí)晶體的振動(dòng)對(duì)自由能的貢獻(xiàn)為根據(jù)平衡條件并應(yīng)用斯特林公式臺(tái)匕且目匕里比電子能量大得多，將上式中S忽略掉，則有11由-_±J，付ri引進(jìn)愛(ài)因斯坦溫度a在高溫時(shí)，即目時(shí)，有于是HJ.由于目,因此上式表明高溫下空位更容易形成在低溫卜#況下,即日時(shí)有日于是此式表明，低溫下不僅缺陷數(shù)目少，而且空位附近的原子與正常格點(diǎn)上的原子的頻率偏差對(duì)空位濃度的影響可以忽略.14 .若計(jì)及缺陷對(duì)最近鄰|回|個(gè)原子的影響，采用愛(ài)因斯坦模型，求出高溫時(shí)晶體中的弗侖克爾缺陷數(shù)目，設(shè)空位最近鄰的原子的頻率變?yōu)榘?填隙原子近鄰的原