《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課后答案華中科技

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換課后答案華中科技一章L1計(jì)算下列各式，(J)(l+i)(32i)；解(1+0-(3-2i)=(1+i)-3+2i=-2+3L(2)-附二解(a6i)3a3-3a2h+3a(bi)2-(%)，=a1-3ab2+i("-3/6),*(3)(1-l)(f-2);iiiW(i-D(i-2)=F一2ii+2=二“1+3i)-3i10-1010(4)之：(胃=工+iyr-1);解WT_工+i-I_-1/iy)(工十1一1，)影+1x+iy+l+十/_/+正_J+2L»(工十1)2十/,12證明下列關(guān)于共較復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：(1)(王I±之2)=乏I土乏2；證(

2、H土之2)=(X1+i>i)±(2+y2)=(工1±工2)十葭刈土2)=(工1士工2)-1(>1±72)二工1一E】±工之工yyi=芟1土交工.(2)Z1Z2=Zi*ZZ證句."=3+&1)(央+ig=(七戶2-歲2)+i(工1%+”工2)二1112-»1了2-+力1之)三1*2=(工1+(*2+02)二(品-B1)(12-12)=工1工21了112-反1"-'13"即左邊=右邊，得證.咤(“0).打但_/三1±_/(#l+3】乂胃工一加工八近弓尸尸式+避)（不i），（12+3

3、）（勺-i%）（/+3分2212 工 zl Y/ 22y2114-1)2z212zr-Z2-if13解方程組;a才(1+I)勺+12=4一31.解所給方程組可寫為J2x|+2yi一工”必-b1(1+i)(i+3)+i(x2+i*)=4-3i.即：2叫一皿+i(2yi-及)=i,口1一力一九+乳孫+3'2+力)=4-31利用復(fù)數(shù)相等的概念可知21一冗2=0，2“一比=1,Ul_力_32=%+72+V=-3.解得17636及=_彳，乂=一三，力1=_了，=-y*故36.617.町=-551,z2=-y-yrL4將直線方程“十妁+C=0(層十廬W0)寫成復(fù)數(shù)形式.提示：記1r+0=之解由耳=

4、y=代入直線方程，得1(念+乏)+4(之一乏)+c=0,az-¥oz-bi(z-£)+2a二0,(a-i6)z+(a+i6)z+2c=0s故A之+a=0,其中A=也+i必*6=2c.1.5將圓周方程a（Jr2+y2）十匕吠十十厘之0（aK0）寫成復(fù)數(shù)形式（即用x與工表示，其中文=/卜叮）.三代人圓周方程,<1%-W+g(之+矛)十叁(之一+d0,2HH“五十(心一it?)之十(b+ir)w+2<Z=0,A之*乏+Br+Bz+C=Gx其41A=2a>Bb+ic,C=2d.1.6求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值.(1)$3+i；解I-i-ti=J1產(chǎn)+Ji產(chǎn)=6w&q

5、uot;=五一冗arg(-1 - i) = arctan_3一一a2-i；解I2-iI=V22+(-1>2=75,arg(2-0=arcian-=arefan稱.解1.7(4) -1+3i.-1+3i=y(ip+32vTo.+ k =4 一 arctail 3.3arg(1+3i)=arctan（1） |町一412二卜+-2Re（zi-z2）證句一句J二（幻一切）（？司）-（21-勺）（-助）二句然+力'歹2孫凡_?1幼二町I+利|-（21«2+?i?2）=|勺|'+艮|2-2電（21史2）.（2） I"+犯|2十|.一町=2（國(guó)+|和|2）,并說明此

6、式的幾何意義；證I次+才2I2+1句一胃鼻I2=（零1+益）（胃1+/2）+一金）-二（號(hào)1+Q）（乏1+乏2）+（21-交）（西-元2）=2|Z1+ !1X l/Wlzl + I將下列各復(fù)數(shù)寫成三角表示式.(0-3 + 21；解- 3 + 2i| 士 13 ,arg(-3 + 2i)= arctan + r,+2|Zi2=2（|riI2+|xa|2）-此式的幾何意義是:平行四邊形對(duì)角線平方和等于各邊平方和.引)41之|<|z|+1"(其中”工+iy).證顯然有1之1=IH+5=/+;/或屋|+|y,而(IxI-|yl/>0,則211yli+，又(IJ-I+lyI)2=1

7、H12+Iy|2+21卬|<2(/+J)=2|z|2,故m > £( m 十72).1.9叫卜-arctan fsin a + i cos a;sin a +arg (sinsin a 十sin6+ i sin(冗-arctan、cos gCT + cuti a) = arctan ,- sin a= arctan(cot a) =i cos a1 CCS7Targ - sincosf- a ) + i sin. 兀_ I COS -g-= arctan | cot 專71 7t2=2 6= 一 %71. 7t-sin - i cos 7 = cosjir)+ i sin

8、22ooe §式-i sin 3 K利用復(fù)數(shù)的三角表示計(jì)算下列各式:解 1 + i = V2(1 - i = J2(1 + 1)(1 - L)= 2 cos7T冗144+ i sinTV77T告）冊(cè)2.(2) (2 + 3i)/(3 + 2i)； 解因r-3,38-2+3i=13cos(arctan+n)tisin(arctan+冗).3 + 2： -/13cos(arctan鼻)+isin(arctan"y)F故(2+3i)/(3+2i)=i.注:arg(2+3i)/(3+2i)-arctan十五一arctany=arctan_3Z2_2Z3kk1+(-3Z2)(2/3)

9、灰：一彳十五=了.解由乘嘉公式知(4) G - 2 + 2i.cos 3 .蕓 + i sin3 專1.解因I-2+2iI=8,arg(-2+2i)=%所以由開方公式知，-_Iq/3+8走幾.3+v-2+2i=48(cos-jg-+ism丫-Lk=0,1,2,3.110解方程:尸+1=0.解方程之3+1=0,即/=-1,它的解是%=(-1人由開方公式計(jì)算得z=1(cosn+isinw)_(21+1)n*(2卜+1)式,ci。=cas=+1sm=一廠k=0,1,2,即it.jt1,v3*No=oos-J+Isiny-不+yi,Z1=oos冗+isiOK=-1,57r.5n1J3.需2=oos?+

10、ism石=y-qi.1*11指出下列不等式所確定的區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的?是單連通域還是多連通域?(1)2<|之|<3;環(huán)，有界多連通域.以原點(diǎn)為中心，口為半徑的圓的外部，無界多連通域.£<arg與且1<|z|<3;解圓環(huán)的一部分，有界、單連域.(4)Imn>1且|與|<2;環(huán)的一部分，有界、單連域.(5) Re 1;解,無界單連域,(6)匕-1 + |N+ 1|黯橢圓的內(nèi)部及摘圓的邊界，有界、閉區(qū)域.從原點(diǎn)出發(fā)的兩條半射線所成的區(qū)域、無界、單連域.氏1 > a (a >0).I 2 + 1 I解分三種情況：0

11、< 口 < L區(qū)域?yàn)閳A的外部;a = 1為左半平面叩> 1為圓內(nèi).1412I解1指出滿足下列各式的點(diǎn)之的軌跡是什么曲線?以(0, -i)為心為半徑的圓周.z - a± z a - 5,其中*b為正實(shí)常數(shù)i以土 ”為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)半軸的確z-a-Re(之一力)，其中a,b為實(shí)常數(shù);解設(shè)%匚工十iy,則I(xa)+iy1=Re(z-6+iy).即j(x-a)2+y2=(文一6/，1x-A>0.丁二口iVTs/橢圓周的參數(shù)方程為l'0方W2限寫成復(fù)數(shù)形y-ftsinti=acost+i6sin/(0££支2好),1J4試將函數(shù)-丁-i(D-)

12、寫成w的函數(shù)(z=X+ij).三+2之一至fixIr.-Jk4日解將JC=-,y-2j代人上式，得(一+葉)2.(.一泊2t(z+z)(z),Z+ZT-+4_4i+1丁22+22乏+乏222-22至干豆2-+-"44一,3三,3iz4十4十22,1.15 試證lim='不存在.證lim班上=lim,令y=紅,則上述極限為什工：,隨上IZrH+iy1+走L變化而變化，因而極限不存在.1.16 設(shè)義z)=<7%*憶"°，試證/(/在2=0處不連續(xù).a上三0，證因./(*)=曾黃7=四黃法=木，yfcr-H)即1皿/(幻不存在，故/(幻在竄=0處不連續(xù).章

13、（1）/（三）=三lim=limf( N + / - f( Z) WZ Z 宅 11 r 之(2 + 2)zliniz + 之 z(z W 0).f (容)=(二)'r4v-(之 ¥ 0).(2) fz)=之Reh解因lim/(? + ?) f(之)工 lini*(z + a2jR巳(n 十心之)一苦Re z=lim之wRe 之 + AaRe 看 + srRe 芍&Z=J（RQN+Re之十之蹤名=lim(ReAi*0當(dāng)之/0時(shí),上述極限不存在，故導(dǎo)數(shù)不存在；當(dāng)之=0時(shí),上述極限為。，故導(dǎo)數(shù)為0.2.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)?何處不可導(dǎo)？何處解析?何處不解析？之2.2,工名,

14、之.M2+y f(z) - Z ,解 /(之)=乏)(x-+iy)=工（12+十i（jr24?。?，這里w(jt>>)=x(jc2+y2),v(x,y)=y(x2+y1).%=I?+?2+2/,如了=22+»2+2y-uy-2xy,也m-2xy.要町=%,%=-%，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0,而均連續(xù),故力二更/僅在？=0處可導(dǎo).處處不解析.f(第)=N+if解這里我二一，七二.見二2工，4=0,q=0】%=2%四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，但ur-叼，%=-%僅在12處成立,故/(三)僅在工=?上可導(dǎo),處處不解析.(3) f(z)-x3-3.2+i(3jc2y-一),解這里(,)=-3Hly

15、I般(w)=3H2y-J.%=3x7一=-6上%=3/一33四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且%=%,%=-%處處成立.故(G在整個(gè)復(fù)平面上處處可導(dǎo)，也處處解析.f(z)=sinxchj/+icosrsh>+解這里m(x,7)=sinxchy*口(1=cosxshy.-cosxchytuy=sinzshj/,V?二一sinj:shytvy-cosxchy.四個(gè)偏導(dǎo)均連續(xù)且=v,uv=-%處處成立,gJ*fcZ1A故.“公處處可導(dǎo),也處處解析.3.確定下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn),并求出導(dǎo)數(shù).解f3=Ft是有理函數(shù)，除去分母為0的點(diǎn)外處處解析,ZL故全平面除去點(diǎn)2=1及之二-1的區(qū)域?yàn)閒(Z)的解析區(qū)域,奇點(diǎn)

16、為Z=±1,/(z)的導(dǎo)數(shù)為；Z2 - 1(-1)2則可推出含=工=0,即以=C（常數(shù)）,故Cz）必為D中常數(shù).(3)設(shè)f(z) = w + 2,由條件知aig("必丫1 十(v/u )2"=C,從而 u0,求導(dǎo)得就一十ZTM j十力化簡(jiǎn)，利用CR條件得3以3n一二優(yōu)-丁”=U,%d工<du3u門V-U-y0=U,<fy所以*=需=°洞理需患=0,即在。中3為常數(shù)，故/（z）在D中為常敬.'（4）設(shè)Qr0,則說J（C-加）/笈,求導(dǎo)得3ubSvdub3v3xa3j：'9ya3y*由C-R條件dub3u3rubdvady'

17、;3工aa3y,故優(yōu)，u必為常數(shù)，即/（外在D中為常數(shù).設(shè)口。0,6片0«#0,則團(tuán)二。,知不為常數(shù),又由GR條件知優(yōu)也必為常數(shù)，所以/（君）在。中為常數(shù).5 .設(shè)丁仁）在區(qū)域。內(nèi)解析，試證（勘人/2=4,（之）|2,證設(shè)f(z)-U+ivt1/()2-u2-hV2y小”如翁，(川2=(野F鼾又f（G解析,則實(shí)部a及虛部中均為調(diào)和函數(shù),故偌+蜀/-4（像丫嘴）=4,B6 .試證CR方程的極坐標(biāo)形式為磬=工需，孕=-1雪，并且orr<judyr有krIdu.*31/3爐.du、之）=力方+與/丁屈一的卜證一設(shè)工二尸oos仇y=rsind,CR條件;普二牛，學(xué)二-票djcuypyo

18、x因du3U3xdudy4a斌狀小赤：五而+編"r=8+sL萬(wàn)%=%,紅+四.打二一i®包+閂返dodrMdydersin%工+3d%，H包=返紅*紅力紅小那盤因drdxdr+dy3r0aT+9dyae=祓,的+熱前=一Mb五十尸8sd方利用”=”*=-缶比較、和、即得3義<jyOydjr3u13t!。學(xué)13udrf38'drr90*證二 令% = re,/(z) - /(ret6) = u 4- iv,=-2,則7 .試證=J7%都是調(diào)和函數(shù)歷十%不是解析函數(shù).2x，o_2=2MZ-23工£%,3,洛+弁=2+(-2)=0,tJy故=丁是調(diào)和函數(shù).

19、又返_一一2431-2y3+6M2y3工一(一十的2，斤=(1+>2)2，返=十了2_2y2_父2_丫2a2P_2y3-612a廠(1+/2=(十7)2,萬(wàn)=1+/)2,則X+宴=°，故露=是調(diào)和函數(shù).OTidyX+y但工言,工戶碧，故儀+i口不是解析函數(shù)8 .如果/()=+E為解析函數(shù)，試證-我是&的共相調(diào)和函證只需證券-位為解析函數(shù).因i,+2均為解析函數(shù)，故-i(u+M)也是解析函數(shù)，亦即-N是期的共朝調(diào)和.9.由下列條件求解析函數(shù)人公=屋 + ip.(1)«=(x-3)(/十4g十y2);解因普=孕=3上2+6*y-3y2,所以djCdy/己=(3x2

20、+6=)-3>2)djy=3/y+3g?一丁+夕，又爵=+3y2+中'(H),而*=3,-6xy-3/,所以中'(1)=-3,一則cpQ)二一+C.故/(z)=u+iv(j;-y)d+4jy+/)+i(3x2y+3r*-,3-+C)=(1-0工氣了+0)y2(1i)(o?+i“-2j:2y(l+i)-2/(1-i)+Ci=琴(1-i)(x2->2)-2xyii七(1-i)+Ci=(1-i)七(-y2-211yi)+Ci=(1-i)/+Ci.(2)燈=2xy+;解因患=2y+3=2工,由f(工)解析，有含二需=2工,u=2zcLr=h'+3(y).又患=一居二

21、2y3,而居二”(了),所以式(3)=-2、一3,則W(y)=_y2_3y+C故f(z)=x2y23y-hCi(2y十3H).(3)u-2(i-l)y,f2)二一i;解因器=2y,票=2(?-1),由/(x)的解析性，有3V=_2曰=_2(_1)dx3y一么工D，rV=-2(112工=-(N-1)2+S(y),又孕=券=2y,而普=所以u(píng)yOjcoy丁產(chǎn)0=$&(>)=十C,則V=一(I一1尸十J+C,故/(n)=2(工一l)y十i(一(1一1)2十/十C).由f(2)二一i得/(2)=i(一1+C)二一L推出c=0.即f(z)=2(%-1).十i(j2-1+2x-1)i(z2+

22、2x-1)二一i(七-1產(chǎn).(4)ueJ(xcosy一了sinjy)t/(0)=0*解因dueJ( jrcosy _ y$in y) + ecosc?u _ 3y 由的解析性，有ex(工sin y sin y - yens y),3vdud&MLaiSuI.a?3y_ e上(一±sin y - sin y yeas y),_du汨=茬二e” ( noos , j/sin y) + e*cos y.S'_票d八票d"CdyJOdw + eCxoos y - ysin y) + excos >d> + Cy5Hl 卜4y + i cos + CJ Q

23、 /e xsm y - yens y -cos ydy)+ C二eG$iny-ecosy+C.故f(z)=etTCOsy-siny)+ie工(xsiny-yensy)+iC.由f(0)=0知C=0,即=xeE,f(z)=eJ(jroosy一ysiny)+yycosy)10.設(shè)。=esiny,求p的值使n為雨和函數(shù).并求出解析函數(shù)/（z）=U+iv.解要使心（T）為調(diào)和函數(shù)？則有Ao=%十%=0.即p2*siny-esiny=0,所以p-±時(shí)，仃為調(diào)和函數(shù)1要使/（胃）解析，則有ux-%,%=-%.=ecos y 十 .(y).uy工-siny十5（y）-一方*就門y.所以/(9)=-

24、)/cos>+C.即U(£,*)=力*cos7+C,故f(z)=< e，(cos 了 十 i sin y)+ C = c*十 Ce-x(cos > + i sin 3) + C = - e + C,力工 一 111 .證明：一對(duì)共蜒調(diào)和函數(shù)的乘積仍為調(diào)和函數(shù).證明設(shè)已是孤的共舸調(diào)和函數(shù)，令f（匕）不u十沁1則f（幻是h工一 步 ） + 12*七也解析函數(shù)，產(chǎn)(之)-f(z)f(z)=(u+iv)是解析函數(shù),故其虛部2處是調(diào)和函數(shù)，從而tw是調(diào)和函數(shù).12 .如果fz工&+M是一解析函數(shù)，試證：i7（7）也是解析函數(shù).證因汽芝)解析則票=-含，且均可微，從而-

25、U也可微.而i/(z)-v-iuvi(-u)即-與白滿足CR條件，故i"也是解析函數(shù).13.試解方程：(l)e=1+Y3i;解es=1+73i=2(cx)s+tsin2/>”")=a2Mg/第，歸=0,±1,±2,故sr=In2+i(2冗+彳),入二0,±1,±2.(2) Inz=；解s:=e?1=cosy+isiny=i.(3) sinz-ish1;解sinz=ish1=i(-i)sini=sini,所以z=2Ajt+i或胃二(2k-為整數(shù).另解.見本節(jié)例24.(4) sinz+cosz-0.解由題設(shè)知tansr二一1,7二6

26、冗-1，石為整數(shù).14.求下列各式的值.(1) cosi;A/i)解cosi=(2) Ln(-3+4i)；解Ln（-3+4i）=In5+iArg（-3+4i）.n5+i1+j:arctan?（1-產(chǎn)；解 （1,1十i_e（l+i）Ln（l-i）_ln/2+-2ijr+iln/2+2AfljJ二e11弓-淙oos（ln卷-才）+isLn（lnV2-彳）.（4） 33-解3§i士3_臼-0沁箝2#后）_（3-i）ln3.QE_3ln3+2飽Ki.-iln3=27e”"（8sIn3-isinIn3）.15證明（1） sinz=sinzrchy+icosjrshy;證或nq=sin

27、（jr+iy）=sin芯cosiy+cosxsiniyeiiy+-心心丫-J0=sin工不+cosxX.22t+尹n一=sint-ioosz，一二An上由3+icosjrshy.（2） COS（¥1+之2）=cosM1COSZ23由Z）sin胃2；證coszicosZ2-sinzjsinZ2=土十一）_處£-%）（立一£-%）-4-4=/防3+）+仁一以7+勺）+修（7戶,）+g（。+巧）+2一心廣勺）-/一*%）-4=3（，F(xiàn)）=COS（Z十?2）*(3) sin2sr +1;利用復(fù)數(shù)變量正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義直接計(jì)算得Sin2 s: + cos2/ ，系(e

28、l* e-11)l a 1+ |_5(十 + e=-f (e2,z + d方，-2) + -f (e2 +-“ + 2)=L(4) sin 2z = 2sin ZCOS 2T2sin Ncos w二2,它住)d + J”4i(e21i+1-1-巳一*以)2iz e)sin 22r sin z2 sin% + sh23;2_* -.X=sin 之 * sin z = sm z sm z產(chǎn)一 e±巳途一 e-蓑 -'2i2i-e2y + e-2Lc(6)一 卷上 + e2lJ sin2 x +sin- 2 + 2 一占2打貨2因sin(-之？)=sinNicos拿2-COSi&a

29、mp;inZ2»sinjr2z.7T=sin亍coszeosn.-sinzcosz.16.證明;sh2之二1；ch%日工一e-Teh+e-1金十/.一24e如十七"史十24ch%-sh2ze2?十e1.(2) ch2z=sh2z+ch，證sh%+ch2岑(3) th(z+zi)=ths;宅中日-r-m證th(z+Tri)=-e* + e * h*'=b疝-e-一+e(4)sh(zl+zi)=sbztchz2+chtish更？.e'-e4e42+/，ch七1shz；2e力十叼一e-EeEi+e-R2產(chǎn)力一e"廠，+e?1勺4"丘一e1T4&

30、#39;e"十上a_e-ij"c2shZjchZ2+chzjshz2=-ch(+z2)17.證明:chz的反函數(shù)Arcchz=ln(z+，-1).證設(shè)行=chs,且列二Arcchn由£=ch.=y(ea，+e-w)知2比=”十戶%即9功-2z+1=0.解方程得鏟=之土J/-1,故4=In(郢+Vz p(z) = p(君)(七)為多項(xiàng)式).-1).注，戶-彳含有“士”兩根.18.由于In胃為多值函數(shù)，指出下列錯(cuò)誤，(1) Lnz2=2Lnz.解因Ln文2二In|n12+j(28+2itr),k0,±1,±2,而2Lnz=2Hn|r|+i(0+2E

31、ir)二ln|之|2+i(28十伏兀)，k-0,±1,土2,兩者的實(shí)部相同,而虛部的可取值不完全相同.(2) Ln1=Ln蘭=Ln之Ln之二0.z解Ln1=1口1+i(0+2£花)=2歸ni,k=0.±1.土2,即Ln1=0僅當(dāng)歸=0時(shí)成立.注：Ln(主1y之)=Ln芝i+Ln之2及Ln=Ln肛-Ln及兩個(gè)等式的理解應(yīng)是:對(duì)于它們左邊的多值函數(shù)的任一值，一定有右邊兩多值函數(shù)的各一值與它對(duì)應(yīng),使得有關(guān)等式成立;反過來也一樣19試問:在復(fù)數(shù)域中(5)與/一定相等嗎？解不一定,如：a=1+i,8=2,c-yt心=1+-/2i,20.工列命題是否成立？(1)工=鼠解成立,

32、因e工=eJ(cosy+isiny)二(cosy-isiny)解不一定,如(a+i6)«>p(z)=(fl-ib)z=(fl+bz.(3) sinz-sinz.解成立，因(4) Lnz=Lnz.解成立.因&=0. ± 1, 士 2.A = 0, ± 1, 土 2,.Lnz=Inz+i(+2丘月二IninIi(8+24tt),Ln冗二Inz+i(-C+24n)=ln|r|-i(tf+2E),1+i第三組L計(jì)算積分(£-十積分路徑(1)自原點(diǎn)至1十i的直線段M2)自原點(diǎn)沿實(shí)軸至1,再由1鉛直向上至1+i;(3)向原點(diǎn)沿虛軸至i,再由i沿水平方向

33、向右至1十i.第I題X=Jo注：直線段的參數(shù)方程為之=(1 +古 < I.iz2(1+i)df-i(L+i)告=-；十(2)Cj*y=0,cl.yC72：_r=I,dr=0fdeidy,+ 1J72 d =IT一=(工Fijr2)dxIJ(1>i魯i.(3)Zi：jc=0*dx=idili：v=1sd之=<lr.(jy)idy+01 inr區(qū)r石，2 .計(jì)尊積分©c噬yd蕓的值,其中C為1)GI=2:(2"J=4.fr2時(shí)t為4mt當(dāng)r=4時(shí).為8m.爭(zhēng).求證:. dsC *2于，其中C是從1 - i到1的直線段.1-i=l+i1y1+itan0,于48V

34、O.d81cos28I14.試用觀察法確定卜列積分的值，并說明理由，C為Iz|=1.(l)f2?Jc之一十4解積分值為0,因被積函數(shù)在屋1*1內(nèi)解析.。一Jc以期之解積分值為0,理由同上.r1(3)0dz.JcXL2解CLpd名=2ni.Jc“25,求積分fdz的值，其中C為由正向圓周z=2與負(fù)向圓周二1所組成.解dz$dz-f-dzCwJ|h|二2憶)1七1之1之（衿.第6題第5題為二2tu-2元=0.6.計(jì)算dn其中C為圓周1 z=2.解 fG) =z -在I- =2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)N = 0,1.分別作以0J為中心的圓周G，C2，G與G不相交，則-dz7.計(jì)算CiM 交 + 2)d2解解法同

35、上題,T7=0.JI藝t=3(2i)(之十2)8.計(jì)算下列積分值.Tiisinzdz.sin zdz = - cos z JqL + iz1門4iiri二1 - cos Tri. oz ddz = (zz e1)1+1 = ie1+iJ 1(3 觸+ 2z)d*.0=3el 1 3 = 3p' 4.cjdn其中C為圓周屋+ i=2的右半周，走向?yàn)閺?quot;iOe1+2z)dz=(3u*+z2)解函數(shù);在全平面除去Z=°的區(qū)域內(nèi)為解析,考慮一個(gè)單連通域，例如D：Re胃>-> 則2在D內(nèi)解析，于是取2的上 £之一個(gè)原函數(shù)-工,則ZC L >I 1&

36、quot;d?=一 -北2蕓 -3110.計(jì)算下列積分.(1)$121 之支20114 , _i3i 3i解 ,e = 2jrieff = 2冗ie2.J|±-2|=tZ -/e = 2原式-2m(22 - z + 1)(3)f盧7.J | ?-i | = 1 S 1解將被積函數(shù)分解因式得到4iri.由于點(diǎn)力在圓周1內(nèi)部,而函數(shù)一H;z十厘在閉圓盤匕-i|£l上為解析，故u計(jì)算】=£；百招E淇中仁是-1;(2)1s-2|=1;(3)I2T-11=y；(41名|=3.J解(1)被積函數(shù)在|工|式1內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)z=-4，故工£-2216 2D二一£

37、;-兀2(2+/)£v(2)被積函數(shù)在In-21W1內(nèi)僅有奇點(diǎn)工=2,故z4.=2=T-(3)被積函數(shù)在|z-l3內(nèi)處處解析，故/=0,JW1-= 2,由復(fù)合閉(4)被積函數(shù)在13內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)n=路原理，知£2z+1122ri,4?ri.二三十5=啊其中G為IT二LCz為|N一2|=1.12.若/(?)是區(qū)域G內(nèi)的非常數(shù)解析函數(shù)，且f(.)在G內(nèi)無零點(diǎn)，則«之)不能在G內(nèi)取到它的最小模.證設(shè)gG)二點(diǎn),公為非常數(shù)解析函數(shù)，且V零£ G,f(力¥0,則g(2)為非常數(shù)解析函數(shù)，所以虱之)在G內(nèi)不能取得最大模，即f(z)不能在G內(nèi)取得最小模.13,

38、計(jì)算下列積分.解原式=2M為JE之_ 2石= 99!sinz,工2(zjt/2)2Z解原式=2m(sin工)'-2xi,cosz=0."2工=2(3)f_告1之，其中G：bl=29C2：z=3.JC=CC2w一解(f.吟Jc=cc2之=6>北+<f號(hào)也JGNJC；X=2m'(oosnY2iri焉'(cos?)”上！s：=o/！工=07ti(1)7ri(-1)0.14設(shè)以之)在IJ上解析，且在IJ=1上有1/(公一之|&|名|,試證：f*:w&乙證由柯西積分公式知z2W工$-1-ds=4j2ir=8,冗JI之I=11江4注：z=/+）

39、2_£J：=）在Z=1上.15.設(shè)/（%）與在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于D,如果/G）=月（？）在C上所有的點(diǎn)處成立，試證在C內(nèi)所有的點(diǎn)處力=晨？）也成立.證設(shè)F（z）二/（4-g6）,因f（w）,g（w）均在D內(nèi)解析，所以F&）在D內(nèi)解析，在C上,F（w）=0（彳6C）,丫的在C內(nèi)有F（£0）=白/,乳垃心=02mJ|¥|=ir0即/（孫）=g（劭）油小的任意性可知，在C內(nèi)/（附二爪工）.第四章1.下列序冽是否有一極限？如果有極限，求;工極限.（1）ZB=i"+A%,=%；躊=仔）.解（1）當(dāng)一8時(shí),/不存在

40、極限，故川的極限不存在.|/=4f0（筌8）.故lim均二0.nl"二cos2n0+isin2tf8時(shí),cos2疝而2疝的極限都不存在，故%=已，無極限.2 .下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂？方假+1卜足卜i;（i+i）產(chǎn)1'，«=0解（D因與!=工!發(fā)散故£（玄+!）發(fā)散、收斂;故（2）絕對(duì)收斂.3 3）lim（l+i）a=lira（立）、孕一0,故發(fā)散.jt-81|一*83.試證級(jí)數(shù)£；（2?尸當(dāng)I之|,時(shí)絕對(duì)收斂.產(chǎn)t乙證當(dāng)時(shí)+令傍(2z)n=2rl之<1,I(2z)n=(2r)n<1.8WS（2r）fl收斂，故=（2n尸絕對(duì)收

41、斂.“4.試確定下列i寨級(jí)數(shù)的收斂半徑.X(i#t=1ni十）/才：<3）s（-yznn!(1) HmGOlim迎上1=1，故R=L外一72(2)lim/|Q|limnI+工niim(l+工廠(3)lim故K=工故K=8=lim芾-8(鞭+1)!一5將下列各函數(shù)展開為工的量級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)域.<2)心一白）（之-&）（y o，y°）；(4)chz;(5)sin%;(6)-1.=Z（-之W=2（T）(CL r 6)原點(diǎn)到所有奇點(diǎn)的距離最小值為1,故|芝I<L(之一口)(注一b)CL一1/11all-b(l-tL3D<1，且f<L若a=b,則1(

42、z一口)(zb)Tl=l二£(-1尸廿-2,陵l<LR-1(4)ch w =守H四三十分與產(chǎn)）二工嬴JIS加%-1-00sz.，ly3尸*(-1)即容一222%(2n)!（-1）2y2與）！(6)令人.)=盧J(O)=1,（*）=8&）-巧，八。）=-1八幻=信曠（2）+辭-圖,r（o）=1Z24宅213!因?yàn)?為f（G的唯一奇點(diǎn)，原點(diǎn)到1的距離為1,故收斂半徑R<1.6.證明對(duì)任意的應(yīng)有.因?yàn)?玄耳，屐1<+8所以rt=On*n-0，又因?yàn)?二芝(+上jN|+.十2|7NT+.2!n!WlJ(l+I/+4建|2+)=ze心«所以H-l|<e

43、fz|-1WI2后-.求下列函數(shù)在指定點(diǎn)與處的泰勒展式.(2)sin 史,史0 = 1;(4)t如石,列=q.；勺=1;z（3）115P叼=1十”解力一（?。?-(irhi)7】8二一£(-1尸n(zPI=1g sin z=2(1尸(*+D(名-Dll<L制=0sin(z-1+1)=sin(s-l)cos1+sinlcos(-1)不(守1"1(一i尸s哈+D!),后(匕-1)2"(一1尸11L十皿13(2扉)！'*1”(aL-=1_=L_4-3/4-3(2-4)-3戀o1-3i3(名1 l-3iO 3fl=l(l_3i)e(L一2 - (1 + i)

44、 I < y - (4)令，(？)= tanzt/(z0) = 1,sin z _ ods2z + sin2g83 名)(xz/IO3 .f=(須zY =2r （芝）8S1+ 4 f（胃）£擊罡3 cos注16.-4) + 2(* -7T+，irz - J8.將下列各函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù).2 + 1/(七 一 1),o< !|< 1,1 < 舊<表以，0< jz|<< 2;(4)解1COS1 -胃(1)0 <舊1時(shí),I)=ilOO< 1,卻+2.(2)z2e1.十Z2-"2*1+3 -(3)(1 -2z

45、22一丁Z2 + 11黑即善卜打»fto一Z奇旺I）/11<屋|<2.（4）0<屋一1|<8時(shí)，i匕言+e1-3:COS1=n1一22（一胃）一如=yi1）！G（2n）!（l-z）29將f（z）二三7一在戀F1處展開洛朗級(jí)數(shù).解/=（之一2%n-1）=W&-57/（牛）的奇點(diǎn)為人=1,2=2.fix）在0VU-11<1與名一11>1解析.當(dāng)0<婕-1<1時(shí)，心）二=一_1.¥z24一1名11-z-1）=白一®（之一IV二30T尸，fl-0字時(shí),0V-<1,Z1r（>111.1/（乞）=72&quo

46、t;7T71二二H+71B10.將/（石）=昌了在Z二i的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù),解了（?）的孤立奇點(diǎn)為在最大的去心鄰城0<z-i|<2內(nèi)解析.當(dāng)0<|之-k2時(shí)，f（力=1=1-,一一（Z2+I）2（2-i）2（2+1）2注_尸一_6/匡二匯士“產(chǎn)二2（-1尸，（於+1）,(2尸上式即為在ZMi的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù).1,問=Q是否為下列醐的孤立奇團(tuán)I1(l)e1/z;°°中菽40111，解(l)e1/ztO<左|<8解析，在=。處不解析衣=°是心的孤立奇點(diǎn)因8t：=鬻圖，在2="處，即%=)A=±1，士2,)

47、/=0處8t工不解析，且lim力=0,故0不為cos的孤立奇Zi"Z點(diǎn),(3)因一除h=4n(人=0,±1.土2,)外處處解析，所以0為sinz其孤立奇點(diǎn)2.找出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并指明其階數(shù).=-：(2)sinz;(3)，(工-1),z解(1)叁9=.十二)/),顯然之=±為其一階零點(diǎn)zz(2)因"=2+D!=十一三+卜邛一番+)，所以工=0為之sinz的二階零點(diǎn).又z=%it時(shí),史城力z=0,所以N=%Tt為聲疝!Z的零點(diǎn)，.女-±1,±2,.令fzxsinzfz=sin之+zooszt.f(£n)=sin七+之8s

48、z=紅二(-1)*-in0k=±11±2t"')T故z=4北為ssinz的一階零點(diǎn).令f(z)=/(,-l)f由f(z)=0可解得至=0或z2=2出石，即七=/2kni(k=±1,±2,).因f(z)=z2(es-1)=+)=邛+吉+“.)，所以之=0為/G)的四階零點(diǎn),又f(z)=2七(e*1)+z2,2z*e1,f(/2，)=2*(/2嬴丁#0(4二±1,±2,)，所以Z-/270(k=±晨±2,)為/(七)的一階零點(diǎn).3,下列各函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型(如是極點(diǎn)，指出它的階數(shù)).曹；(3)

49、-I;之(文1+4)、zsinz+cosz2，N(5)1虱1：*(6)-Lze-1)Ze1-1x"二D.Z-L解令/(/)=J1=°，±2i為/(胃)的奇點(diǎn)，因limzz十4)itzf(z)=-已所以之=0為簡(jiǎn)單極點(diǎn).又lim(jE-2i)2Yv=I，171,E】z(一十4z(z+2l)232所以z=2i為二階極點(diǎn),同理”=-2i亦為二階極點(diǎn).因lim，安=Hm函必=1,所以z=0為二階極點(diǎn).令f(z)="：7=/anx+00SZ0sinG十號(hào))*rf(z)則點(diǎn)的零點(diǎn)為2-42cos(z + g)=襄(-1尸#0,所以2=kit-(k=0.±1

50、,*)都為簡(jiǎn)單極點(diǎn).(4)令(二一1)，志=以-1),則心的零點(diǎn)為z-2電后，4=0,土1,士2,1。因啟=4"力+)=41+元+卜為志的三階零點(diǎn)，故為fz的三階極點(diǎn).又K- 1) + 芝%*)”2410工=24函H0,故之二24無為志的一階零點(diǎn)，即為八公的簡(jiǎn)單極點(diǎn).(5)令=.(1+一已=。為其孤立奇點(diǎn),因z所以之:0為可去奇點(diǎn).令所以胃=0和2kKi(k = ± 1» ±2.*。為其孤立奇點(diǎn).因lim/( z) = lim _.-.121=0為其可去奇點(diǎn).又所以z=2Airi(A=±1,±2/-)為,(；)的一階零點(diǎn),即為了(&#

51、163;)的簡(jiǎn)單極點(diǎn).（7）令1,、 tan（工中）=F-1）_sin（-1）1一（之一1）立濾（年T），了（£）的孤立奇點(diǎn)為蕓=1和益=紅+3+14=0,±1,±2,M1因iim/ （ z） = lims-*l'x-1sin（ z - 1）z 1cos（ z 1）1，故之=1為其可去奇點(diǎn).又力-泰+g+1,跺為COS（JE-1）的一階零點(diǎn)，故為f（2）的簡(jiǎn)單極點(diǎn).另解；_（_1）85（%I）f（z）sin（z-1）1f（七）poa（E-1）向（文-1）一曲-1）（，-1）00（1）（1）sii?（z-J）（文1）+411（之-l）oos（七一1）sin2

52、（5：-1）.一年產(chǎn)。，故我=癡+3+1為，（2）的簡(jiǎn)單極點(diǎn).&證明:設(shè)函教（工）在0<z-z<8（o<8<+8）內(nèi)解析,那么&是人七）的極點(diǎn)的充分必要條件是1皿/（之）=8.gfcj證明先證條件是必要的.如果即是九）的班點(diǎn)，則fG）在不的洛朗展開式必有有限個(gè)負(fù)整次騫項(xiàng),即/U）二（C-mH 比了1旦+ O+G（口）+（胃-即）+ c0（C-jm + C-jfl+i（z - 之o）十之之°產(chǎn)+,撇） 1,C-怖#0-對(duì)上式取極限，右端的前一因式的極限為8,后一因式的極限為非零常數(shù)C、,所以Bmf（4=lim十C_m+l（z-劭）+=8.L電L飛

53、（衛(wèi)一叼）再證條件是充分的,如果limf（z）=8,令£（七）=不L、.于是img（z）lim77'=0.由定理5.I,也是g（z）的可去奇點(diǎn).根據(jù)可去奇點(diǎn)的定義及l(fā)img（之）E。=0,g（蕓）在叼的洛朗展開式應(yīng)為g（N）一ZQ）m+bmJrn（Z十=（七一七D產(chǎn)6楷+bm+1（Z-怎0）+bmf（工一七Q尸十=（N-.）*（）,其中m>1,葭W0,中（N）是上式方括號(hào)內(nèi)的器級(jí)數(shù)的和函數(shù).顯然以外在叼解析且中（叼）=如#0.由于解析函數(shù)的商在分母不為零的點(diǎn)處仍為解析函數(shù)，因而一夫在為處解析且不為零，則一號(hào)在的例口（pz）可展開成騫級(jí)數(shù)：Cq+Cj（z-七0）+,其中c0/o.所以M、_L11八.三不）=（