一元二次方程(知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+題型總結(jié))

1、1 一元二次方程專題復(fù)習(xí) 考點(diǎn)一、概念 （1）定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程就是一元二次方程。 一般表達(dá)式：ax2 bx c = 0（a = 0） 難點(diǎn)：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”： 該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0”； 未知數(shù)指數(shù)為“ 2”； 若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。 典型例題： 例 1、下列方程中是關(guān)于 x的一元二次方程的是（ ） 2 1 1 A 3X12=2X1 B 冷 2=0 X X 2 2 2 C ax bx c = 0 D x 2x = x 1 變式：當(dāng)k_ 時(shí)，關(guān)于X的方程kx2 2X =X2 3是一

2、元二次方程。 例 2、方程 m 2 xim - 3mx 1-0是關(guān)于X的一元二次方程，則 m 的值為 _ 。 針對(duì)練習(xí)： 1、方程8X2 =7 的一次項(xiàng)系數(shù)是 _ ，常數(shù)項(xiàng)是 _ 。 2、若方程 m -2 x m二=0是關(guān)于X的一元一次方程， 求 m 的值；寫(xiě)岀關(guān)于 X的一元一次方程。 3、若方程 m -1 x2 .、mx =1是關(guān)于X的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 _ 。 4、若方程 nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2 ,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考點(diǎn)二、方程的解 概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解

3、。 應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題： 2 2 例 1、已知2y 目一3的值為 2，則4y 2y 1的值為_(kāi) 。 2 2 例 2、關(guān)于X的一元二次方程 a - 2 X亠x亠a -4=0的一個(gè)根為 0，貝 U a 的值為 _ 。 例 3、已知關(guān)于X的一元二次方程 ax bx c = 0 a = 0的系數(shù)滿足a c二b，則此方程必有一根為 _ 2 2 例 4、已知a, b是方程X - 4x m = 0的兩個(gè)根，b,c是方程y - 8y 5m = 0的兩個(gè)根， 則 m的值為 。 針對(duì)練習(xí)： 1、已知方程 2 X kx -10的一根是 2,貝 U k 為 ，另根疋 2、已知關(guān)于 X的方程x2

4、 kx 2 = 0的一個(gè)解與方程 X 1 3的解相求 k 的值； 方程的另一個(gè)解。 X -1 2 2 3、已知 m 是方程X -x-1 =0的一個(gè)根，則代數(shù)式 m -m二 _ 。 4、已知 a 是 x2 - 3X 1 = 0 的根，貝 y 2a2 - 6a = _ 。 5、方程 a - b x2 亠b -c x c -a = 0 的一個(gè)根為（ ） A -1 B 1 C b-c D -a 6、若 2X 5y -3 =0,則 4X 32y = _ 。 考點(diǎn)三、解法 方法：直接開(kāi)方法；因式分解法；配方法；公式法 關(guān)鍵點(diǎn)：降次 類型一、直接開(kāi)方法： x2 =m m亠0 ,= x 二,、m 對(duì)于（x +

5、 a f = m， （ax +m f = （bx + n f等形式均適用直接開(kāi)方法 典型例題： 例 1、解方程：12X2-8=0; 2 25 T6X2=O； 3 1 - x 2 - 9 = 0;2 例 2、若 9(x 1 丫 =16(x +2 2，則 X 的值為 _ 。 針對(duì)練習(xí)：下列方程無(wú)解的是( ) 2 2 2 2 A. x 3=2x -1 B. X-2 0 c. 2x 3=1-x D. x 9=0 類型二、因式分解法 ：X -X! x-x2 =0 = X = % ,或X = x2 方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“ 0” = 2*2 2 2 方程形式：如 ax m bx

6、n ， x ax b 二 x ax c ， x 2ax a = 0 典型例題: 例 1、2x x -3i； = 5 x-3 的根為（ 5 X 2 a2 b2 a2 b2 - 6 = 0,則 a a2 b2 = _ 變式 3：若 x2 xy y = 14， y2 xy x = 28，則 x+y 的值為 例 3、方程x2十x -6 =0的解為( ) A. x| = -3,x2 =2 B. X-| = 3,x 2 = -2 C. x = 3,x2 = -3 D. x0，y0，求 2* 6y 的值。 3x - y 7、方程1999x 2 -1998 2000 x -1 = 0的較大根為 r,方程200

7、7x2 - 2008x 0的較小根為 s,則 s-r 的 值為 。 2 b 2 b2 _4ac 類型三、配方法 ax +bx+c=0(a0 匕 x+ I = - 2 、 2a 丿 4a 5 門 C Xi , x 3 2 X y 4 例 2、若 4x y 2 34 變式 1： 變式 2：若x y 2 - x - y i亠3 =0，貝 U x+y的值為 3 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問(wèn)題。 典型例題：4 例 1、 試用配方法說(shuō)明 x2 -2x 3的值恒大于 0。 例 2、 已知 x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 x2 y2 2x _4y 7的最小值。 例 3、 已知

8、x2 y2 4x _6y - 13 =0, x、y為實(shí)數(shù)，求xy的值。 例 4、 分解因式：4x2亠12x3 針對(duì)練習(xí)： 1、試用配方法說(shuō)明 _10 x2 :7x-4的值恒小于 0。 2 1 1 1 2、已知 x 4=0，則 x . x x x 3、若t = 2 - -3x2 129，則 t 的最大值為 _ ，最小值為 _ 。 4、如果 a +b + Jc 一1 一1 = 4*：a 一2 + 2Jb +1 一4，那么 a + 2b -3c 的值為 _ 類型四、公式法 條件：a = 0,且 b2 -4ac - 0 b b - 4ac 2 公式：x , a = 0,且 b -4ac _ 0 2a

9、典型例題： 例 1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 3(1+x$=6. (x+3 x+6 )=-8. X24X+1=0 3x2 4x-1 =0 3x -1 3x 1i；hx -1 2x 5 例 2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式： (1) x2-2 . 2x-3 ； ( 2) - 4x2 8x-1. 2x2-4xy-5y2 說(shuō)明：對(duì)于二次三項(xiàng)式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解, 一般情況要用求根公式，這種方法首先令 ax2 bx c=0,求岀兩根，再寫(xiě)成 ax bx c = a(x - 捲)(x - x2). 分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)，取決于能否把括號(hào)內(nèi)的分母化去 . 類型五

10、、 “降次思想”的應(yīng)用 求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。 典型例題： 2 (x 1 了 x2 +1 例 1、 已知x2 -3x 2 = 0，求代數(shù)式 的值。 x1 例 4、用兩種不同的方法解方程組 2x-y=6, (1) 乂 -5xy+6y2 =0. (2) 說(shuō)明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想一一化歸思想，即把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已 知的問(wèn)題.例 2、 例 3、 如果x2 x -1 =0，那么代數(shù)式 x3 2x2-7的值 已知a是一元二次方程 x2 一 3x 1 = 0 的一根，求 3 小 2 a - 2a - 5a 1

11、 a2 +1 的值 5 考點(diǎn)四、根的判別式 b2 _4ac 根的判別式的作用： 定根的個(gè)數(shù)； 求待定系數(shù)的值； 應(yīng)用于其它。 典型例題： 例 1、若關(guān)于x的方程x2 2.、kx -1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是 _ 例 2、關(guān)于 x的方程 m x - 2mx m = 0有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是（ ） A. m _ 0且m = 1 B. m _ 0 c. m = 1 D. m 1 例 3、已知關(guān)于 x的方程x2 - k 2 x 2k = 0 （1）求證：無(wú)論 k 取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根； 若等腰.：ABC 的一邊長(zhǎng)為 1，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求 厶 ABC 的周

12、長(zhǎng)。 例 4、已知二次三項(xiàng)式 9x2 -（m - 6）x m -2是一個(gè)完全平方式，試求 m的值. 針對(duì)練習(xí)： 1、當(dāng) k _ 時(shí)，關(guān)于 x的二次三項(xiàng)式x2 kx 9是完全平方式。 2 2、當(dāng)k取何值時(shí)，多項(xiàng)式 3x -4x 2k是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么? 2 3、已知方程 mx -mx，2 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m 的值是 _ . y = kx 十 2, 4、k為何值時(shí)，方程組丿 y2 _4x_2y + 1 =0. （1） 有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解； （2） 有兩組不相等的實(shí)數(shù)解； （3） 沒(méi)有實(shí)數(shù)解. 2 2 5、當(dāng)k取何值時(shí)，方程 x -4mx 4x 3m -

13、2m 4 0的根與m均為有理數(shù)? 考點(diǎn)五、方程類問(wèn)題中的“分類討論” 典型例題： 例 1、關(guān)于 x的方程m 1 x2 2mx3 = 0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 m為 _ , 只有一個(gè)根，則 m 為 _ 。 例 2、 不解方程，判斷關(guān)于 x的方程x2 - 2 x - k k2二-3根的情況。 例 3、如果關(guān)于 x的方程x2 kx 0及方程X2 -X - 2k =0均有實(shí)數(shù)根，問(wèn)這兩方程 是否有相同的根？若有，請(qǐng)求岀這相同的根及 k 的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。 考點(diǎn)六、應(yīng)用解答題 “握手”問(wèn)題；“利率”問(wèn)題；“幾何”問(wèn)題；“最值”型問(wèn)題；“圖表”類問(wèn)題 典型例題： 1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴，岀席者兩兩碰

14、杯一次，共碰杯 990 次，問(wèn)晚宴共有多少人岀席?例 5、m為何值時(shí)，方程組 X2 +2y2 =6, mx + y =3. 有兩個(gè)6 2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了 90 張，那么這個(gè)小組共多少人? 7 3、北京申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開(kāi)發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場(chǎng)，根據(jù)計(jì)劃，第一年投入 1 1 資金 600 萬(wàn)元，第二年比第一年減少 ，第三年比第二年減少 ，該產(chǎn)品第一年收入資金約 400 萬(wàn)元，公司計(jì)劃三年內(nèi) 3 2 1 不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利 ，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長(zhǎng)率約為多少？(結(jié)果精確到 3 0.1， 13 : 3.61)

15、 4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克 50 元銷售，一個(gè)月能售岀 500 千克，銷 售單價(jià)每漲 1 元，月銷售量就減少 10 千克，針對(duì)此回答： (1) 當(dāng)銷售價(jià)定為每千克 55 元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)。 (2) 商店想在月銷售成本不超過(guò) 10000 元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到 8000元， 銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？ 5、將一條長(zhǎng) 20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)作成一個(gè)正方形。 (1) 要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于 17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少? (2) 兩個(gè)正方形的面積之和可能等于 12cm2嗎？若能，求

16、岀兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不 能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 (3 )兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？ 6、A、B 兩地間的路程為 36 千米.甲從 A 地，乙從 B地同時(shí)岀發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走 2 小時(shí) 30 分到達(dá) B 地, 乙再走 1 小時(shí) 36 分到達(dá) A 地，求兩人的速度. 考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系 前提：對(duì)于ax2 bx 0而言，當(dāng)滿足 a = 0、；-0時(shí)，才能用韋達(dá)定理。 b c 主要內(nèi)容：X1 X2 , X1X2 : a a 應(yīng)用：整體代入求值。 典型例題： 例 1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程 2x2 -8x 7 =0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是( ) A. .3 B.3 C.6 D.、6 例 2、已知關(guān)于 x的方程k2x2亠2k -1 x 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x-i, x2， (1 )求 k 的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù) k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求岀 k 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 例 3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為 1)時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為 8 和 2, 小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為 -9 和-1。你知道原來(lái)的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該