自考高等數(shù)學(一)精講第四章

1、第四章微分中值定理和導數(shù)的應(yīng)用4.1微分中值定理費馬引理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點的一個鄰域上有定義，并在可導，如果（或） 則一、羅爾(Rolle)定理1.羅爾 （Rolle）定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點，使得函數(shù)f(x)在該點的導數(shù)等于零，即。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線是水平的。例1.判斷函數(shù)，在-1，3上是否滿足羅爾定理條件，若滿足，求出它的駐點。2 / 51【答疑編號11040101】解滿足在-1，3上連續(xù)，在（-1，3）上可導，且f(-1)=f

2、(3)=0，取例2.設(shè)f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判斷有幾個實根，并指出這些根所在的區(qū)間?！敬鹨删幪?1040102】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，那么在（a,b）內(nèi)至少有一點，使等式成立。注意：與羅爾定理相比條件中去掉了f(a)=f(b)結(jié)論亦可寫成。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線平行于弦AB。拉格朗日中值定理又稱微分中值定理例3（教材162頁習題4.1，3題（2）題）、判斷f(x)=sinx在上是否滿足拉格朗日中值定理。【答疑編

3、號11040103】推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)。例4（教材162頁習題4.1，4題）、證明【答疑編號11040104】證設(shè)又，即，推論2假設(shè)在區(qū)間I上兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導數(shù)處處相等，則f(x)與g(x)至多相差一個常數(shù)。4.2洛必達法則一、型及型未定式解法：洛必達法則1、定義如果當xa（或x）時，兩個函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限稱為或型未定式。例如,2、定理設(shè)（1）當x0時，函數(shù)f(x)及F（x）都趨于零；（2）在a點的某臨域內(nèi)（點a本身可以除外），f(x)及F(x)都存在且F(x)0；（3）存在（或為無窮

4、大）；那么。3、定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則。當x時，以及xa，x時，該法則仍然成立。4、例題分析例1、求?！敬鹨删幪?1040201】解：原式。例2、求【答疑編號11040202】例3、求【答疑編號11040203】例4、求【答疑編號11040204】例5、求【答疑編號11040205】例6、【答疑編號11040206】例7（教材166頁例4）、求。【答疑編號11040207】例8、求?！敬鹨删幪?1040208】解：原式。例9、求?！敬鹨删幪?1040209】解：原式。例10、求?！敬鹨删幪?1040210】例11（教材168頁，例8

5、）、求（a0）【答疑編號11040211】解：當x+時，ln x+，這是型未定式，用洛必達法則，例12、求（n是正整數(shù)）。【答疑編號11040212】解：這是型未定式，接連用洛必達法則n次，得。對于任意的0，同樣可以證明。二、型未定式解法關(guān)鍵：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型。1、0.型步驟：，或。例13、求。（0·）【答疑編號11040213】解：原式例14、求?！敬鹨删幪?1040214】例15（教材169頁，例10）、求?！敬鹨删幪?1040215】解：當x時，所以這是0·型未定式。2、型步驟：例16、求。（）【答疑編號11040216】例17（教材172頁

6、習題4.2，3題（2）題）、求【答疑編號11040217】3、型步驟：例18、求【答疑編號11040218】解：原式例19、。【答疑編號11040219】解：原式。例20（教材172頁習題4.2，4題）、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，求a.【答疑編號11040220】注意：洛必達法則的使用條件是分子分母都有導數(shù)，且分母的導數(shù)不為0，導數(shù)比的極限存在。例21、求?！敬鹨删幪?1040221】解：原式洛必達法則失效。原式4.3函數(shù)的單調(diào)性一、單調(diào)性的判別法定理 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導，（1）如果在（a,b）內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)y=f(x),在a,b上單調(diào)增加；（2）如果在（a,b）

7、內(nèi)f(x)0，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少。例1、討論函數(shù)的單調(diào)性?！敬鹨删幪?1040301】解：二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點方法：用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，然后判斷區(qū)間內(nèi)導數(shù)的符號。注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性。例2、求的單調(diào)區(qū)間【答疑編號11040302】例3、確定函數(shù)的單

8、調(diào)區(qū)間?！敬鹨删幪?1040303】解： 例4、確定的單調(diào)區(qū)間?！敬鹨删幪?1040304】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可以證明一些不等式。例5、當x0，證明：xln(1+x)這個不等式成立?！敬鹨删幪?1040305】單調(diào)增函數(shù)的含義例6、證明：當x0時。【答疑編號11040306】4.5函數(shù)的極值與最值函數(shù)極值的定義 定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，是（a,b）內(nèi)的一個點，如果存在著點的一個鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點x，除了點外，f(x)均成立，就稱是函數(shù)f(x)的一個極大值；如果存在著點的一個鄰域，對于這鄰域內(nèi)的任何點x，除了點外，f(x)均成立，就稱是函數(shù)f(x)的一個極

9、小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。函數(shù)極值的求法定理1（必要條件）設(shè)f(x)在點處具有導數(shù)，且在處取得極值，那么必定f()=0。定義使導數(shù)為零的點（即方程f(x)=0的實根）叫做函數(shù)f(x)的駐點。注意：可導函數(shù)f(x)的極值點必定是它的駐點，但函數(shù)的駐點卻不一定是極值點。如例7、?！敬鹨删幪?1040307】注意:函數(shù)的不可導點,也可能是函數(shù)的極值點。所以:連續(xù)函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點和不可導點。定理2（第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點的一個鄰域上連續(xù)，在去心鄰域上可導。（1）如果，有f(x)0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極大值。（2）如果，有f

10、(x) 0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極小值。（3）如果當及時，f(x)符號相同，則f(x)在處無極值。 (是極值點情形) (不是極值點情形)求極值的步驟:（1）求定義域；（2）求導數(shù)f(x)及導數(shù)不存在的點；（3）求駐點，即方程f(x)=0的根；（4）檢查f(x)在駐點左右的正負號，判斷極值點；（5）求極值。例8、求出函數(shù)的極值?！敬鹨删幪?1040308】x（-，-1）-1（-1,3）3（3,+）f（x）+0-0+f（x）極大值極小值極大值f(-1)=10,極小值f(3)=-22。定理3（第二充分條件）設(shè)f(x)在x0處具有二階導數(shù)，且f()=0，f()0，那么（1）當f()0時

11、，函數(shù)f(x)在處取得極大值；（2）當f() 0時，函數(shù)f(x)在處取得極小值。例9、求出函數(shù)的極值。【答疑編號11040309】解：f(x)=3+6x-24=3(x+4)(x-2)令f(x)=0,得駐點=-4，=2。f(x)=6x+6, f(-4)=-180，故極大值f(-4)=60，f(2)=180，故極小值f(2)=-48。例10、求出函數(shù)的極值?！敬鹨删幪?1040310】解：當x=2時，f(x)不存在，但函數(shù)f(x)在該點連續(xù)。當x2時，f(x) 0；當x2時，f(x) 0。f(2)=1為f(x)的極大值。二、函數(shù)的最值若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，除個別點外，處處可導，并且至多有有

12、限個導數(shù)為零的點，則f(x)在a,b上的最大值與最小值存在。步驟:1.求駐點和不可導點；2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,大的就是最大值,小的就是最小值；應(yīng)用舉例例1、求函數(shù)y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4上的最大值與最小值?！敬鹨删幪?1040401】比較得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7。實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;若目標函數(shù)只有唯一駐點，則該點的函數(shù)值即為所求的最大（或最?。┲?。例2、由直線y=0，x=8及拋物線y=x2圍成一個曲邊三角形，在曲邊y=x2上求一點使曲線在該點處的切線與直線y=0及x=8所圍成的三角形面積最大

13、。【答疑編號11040402】令解得（舍去）。為極大值。故為所有三角形中面積的最大者。補：第三章第六節(jié) 導數(shù)和微分在經(jīng)濟學中的簡單應(yīng)用361 邊際分析定義：設(shè)y=f(x)是一個經(jīng)濟函數(shù)，其導數(shù)f(x)稱為f(x)的邊際函數(shù)。f(x0)稱為f(x)在點的邊際函數(shù)值。成本、收入、利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際成本MC、邊際收入MR、邊際利潤ML。例、（147頁例1）已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量為q件時總成本為（百元），求q=900件時的邊際成本。【答疑編號11040403】解： ，即MC=1.5當q從900件改變（增加或減少）1件時，成本要改變150元。362彈性分析定義：設(shè)y=f(x)是一個經(jīng)濟函數(shù)，當經(jīng)濟變量x在

14、點x0改變x時，經(jīng)濟變量y相應(yīng)地在y0=f(x0)處改變y=f(x0+x)-f(x0) ，如果極限存在，則稱此極限值為y=f(x)在點x0的彈性，記為在任意點的彈性記為，它作為x的函數(shù)稱為y=f(x)的彈性函數(shù)。=例4、（149頁例3）設(shè)S=S(p)是市場對某一種商品的供給函數(shù)，其中p是商品價格，S是市場的供給量，則稱為供給價格彈性。由于S一般隨p的上升而增加，S（p）是單調(diào)增加函數(shù)，當p0時，S0，故0。其意義是：當價格從p上升1%時，市場供給量從S（p）增加個百分數(shù)?！敬鹨删幪?1040404】例5、（149頁例4）【答疑編號11040405】例6、（07年4月考題）設(shè)某商品市場需求量D對

15、價格p的函數(shù)關(guān)系為，則需求價格彈性是：【答疑編號11040406】解：例7、（05年1月考題）已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為，問：（1）要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【答疑編號11040407】（2）如產(chǎn)品以每件500元出售，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【答疑編號11040408】解：（1） 4.4曲線的凹凸性和拐點曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?曲線凹凸的判定定理1 如果f(x)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)具有二階導數(shù)，若在（a,b）內(nèi)（1）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凹的；（2）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凸的。例1、判斷曲線y=x3的凹凸性。

16、【答疑編號11040501】解：當x0時，y0，曲線在(-,0)為上凸的；當x0時，y0，曲線在（0，+）為上凹的。注意到，點（0，0）是曲線由凸變凹的分界點。曲線的拐點及其求法1.定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點。2拐點的求法拐點只可能是二階導數(shù)為零的點以及二階導數(shù)不存在的點。設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域內(nèi)二階可導且f(x0)=0或者二階不可導：（1）x0兩側(cè)f（x）變號，點（x0,f(x0)）即為拐點；（2）x0兩側(cè)f(x)不變號，點（x0,f(x0)）不是拐點。例2、求曲線y=3x4-4x3+1的拐點及凹凸的區(qū)間?！敬鹨删幪?1040502】解： x（-，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+）f（x）+0-0+f（x）凹的拐點（0,1）凸的拐點（2/3,11/27）凹的例3、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上恒有f(x)0，f（x）0，則曲線y=f(x)在（a,b）上（）。A單調(diào)上升，凹B.單調(diào)上升，凸C.單調(diào)下降，凹D.單調(diào)下降，凸【答疑編號11040503】答案：B例4、給定曲線C：y=f(x)(xR)，已知y=f(x)的圖形，則曲線C在（-，+）上是（）。圖4-8A凹的B凸的C單調(diào)上升D單調(diào)下降【答疑編號11040504】答案：A例5、求的拐點?！敬鹨删幪?10405