數(shù)列綜合應(yīng)用放縮法

1、數(shù)列綜合應(yīng)用1用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式一、備考要點(diǎn)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常岀現(xiàn)在高考的壓軸題中， 是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題能有效地考查學(xué)生 綜合運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力解決 這類(lèi)問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條： 一是先求和再放縮，二是先放縮再求和.二、典例講解1.先求和后放縮 例1 正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn，滿(mǎn)足 2 Sn日.1,試求：1數(shù)列an的通項(xiàng)公式;2設(shè) bn1an an 1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn -22.先放縮再求和 .放縮后成等差數(shù)列，再求和例2 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn， 且 an an 2Sn -2 2(1

2、)求證：Sn色一也；4求證：學(xué) S S2 .放縮后成等比數(shù)列，再求和例 3.1設(shè) a，n N*， a>2，證明:2nnn .a ( a) (a 1) a ；2等比數(shù)列an中，a1，前n項(xiàng)的和為An，2且A7, A9, A8成等差數(shù)列設(shè)bn2an1 an，數(shù)列 bn1前n項(xiàng)的和為Bn，證明：Bn<3 放縮后為差比數(shù)列，再求和例4 數(shù)列an滿(mǎn)足：a 1，an 1(1 少)an(n 1,2,3 ) 求證：n 1an 1an32* 1 放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5.在mmb2個(gè)不同數(shù)的排列 P1P2Pn中，假如 K i v j< m時(shí)Pi> Pj即前面某數(shù)大于后面某數(shù), 如此稱(chēng)

3、Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的 總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù).記排列(n 1)n(n 1)321的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù)a1 1，排列321的 逆序數(shù)a36 1求日4、日5,并寫(xiě)出an的表達(dá)式;2丨令ban an 1，證明:an 1an2n bi b2 bn 2n 3, n=1,2,高考真題再現(xiàn)：321.06某某卷函數(shù)f(X) X X ,數(shù)列Xn (人> 0)的第一項(xiàng)X1 = 1,以后各項(xiàng)按如下方式取定: 曲線y f (x)在(xn1,f(xn1)處的切線與經(jīng)過(guò)0, 0和Xn , f (Xn)丨兩點(diǎn)的直線平行如圖求證：當(dāng)n N*時(shí),/ 、 2(I )XnXn2. 06某

4、某卷數(shù)列an滿(mǎn)足ai 1,an i 2an 1(n N*).a.n *、(nN).an i 2門(mén)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；II證明：n 1色比2 3 a2 a33.07某某數(shù)列 an中的相鄰兩項(xiàng)a2k 1, a2k是關(guān)于x的方程x2(3k2k)x 3k 2k 0的兩個(gè)根，且 a2ki < a2k(k 1,2,3,).丨求 a1, a2, a3,內(nèi)；II求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S2n ；皿記f(n) 1竺nn 32 sin n(1)f(3)(1)f(4)(1)f (n 1)a2n 192n求證：15*薩 Tn 仝 24(n N).(1嚴(yán)ai a203 34氏 364.07某某m, n為正整數(shù),I

5、用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x 1時(shí),(1 x)m > 1 mx；II丨對(duì)于n > 6 ,求證11,2,，n ；UII求出滿(mǎn)足等式3n4n(n 2)n(n 3)m的所有正整數(shù)n.5.08某某在數(shù)列 an , bn 中，a1 2，b 4, 且an,bn, an 1成等差數(shù)列，bn,an 1,bn 1成等比數(shù)列求a2,a3,84與b2,th,b4,由此猜想 an , bn的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論證明：1ab!15an bn 12數(shù)列綜合應(yīng)用1用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式一、備考要點(diǎn)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題常常岀現(xiàn)在高考的壓軸題中， 是歷年高考命題的熱點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題能有效地考查學(xué)生 綜合運(yùn)用

6、數(shù)列與不等式知識(shí)解決問(wèn)題的能力解決 這類(lèi)問(wèn)題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條： 一是先求和再放縮，二是先放縮再求和.二、典例講解1.先求和后放縮 例1 正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn，滿(mǎn)足 2 Sn日.1,試求：1數(shù)列an的通項(xiàng)公式；12設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和an an 1為Bn，求證：Bn2.先放縮再求和 放縮后成等差數(shù)列，再求和例2 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且 an an2Sn.(1)求證:Sn2 2anan 14求證:2 - Sl' S2 放縮后成等比數(shù)列，再求和例 31設(shè) a, n N*, a>2,證明：2nnn a ( a) (a 1) a ；2

7、等比數(shù)列an中，a 1，前n項(xiàng)的和為An,22a且A7, A9, A8成等差數(shù)列設(shè) b，數(shù)列bnn 1 an1前n項(xiàng)的和為Bn,證明：BnV3 放縮后為差比數(shù)列，再求和例4 數(shù)列an滿(mǎn)足：a 1，an 1(12L)an(n1,2,3 ) 求證:an 1an2n 放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例5.在mmb2個(gè)不同數(shù)的排列 P1P2Pn中，假如 K i v j< m時(shí)Pi> Pj即前面某數(shù)大于后面某數(shù), 如此稱(chēng)Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列的全部逆序的 總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù).記排列(n 1)n(n 1)321的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù)a1 1，排列321的 逆序數(shù)a36 1求日

8、4、日5,并寫(xiě)出a的表達(dá)式；2丨令b %an 1，證明：an 1an2n d b2 bn 2n 3, n=1,2,高考真題再現(xiàn)：321.06某某卷函數(shù)f（X） X X ,數(shù)列Xn（人 0）的第一項(xiàng)X1 = 1,以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線y f （x）在（Xn 1, f（Xn 1）處的切線與經(jīng)過(guò)0, 0和xn， f （xn）丨兩點(diǎn)的直線平行如圖求證：當(dāng)n N*時(shí),2(I )Xn人1、n 1/ 1、n 2（2）人（2）yJ0X2. 06某某卷數(shù)列an滿(mǎn)足ai 1,an i 2an 1(n N*).門(mén)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；II證明：n 1色比a.n *、(nN).an i 23.07某某數(shù)列 an中的相鄰兩項(xiàng)a2k1, a2k是關(guān)于x的方程x2(3k2k)x 3k2k 0的兩個(gè)根，且 a2ki < a2k(k 1,2,3,).丨求 ai, a2, a3, a ；II求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S2n ；山記 f(n)1 sin n2 sin nTn(1)f(3)(1)f(4)ai a2a3a42 3 a2 a3求證:4.07某某m, n為正整數(shù),門(mén)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x1時(shí),(1 x)m > 1 mx；II丨對(duì)于n > 6 ,mmm1求證 1, m 1,2,，n ；n 32UII求出滿(mǎn)足等式3n4n(n 2)n(n 3)