常微分方程習(xí)題54690

1、習(xí)題3.11. 試用變量分離法求下列一階微分方程的解.(1) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為(2) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為.也是原方程的解.(3) 解: 分離變量得,兩邊積分得原方程的通解為或(4) 解: 分離變量得,即.兩邊積分得,通解為(5)解:分離變量得,積分得,通解為.(6) 解: 分離變量得,積分得微分方程的通解為(7) 解: 分離變量得,積分得原方程的通解為.另外,也是解.(8) 解: 分離變量得,積分得原方程的通解為另外,也是解.2. 作適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q求解下列方程.(1) 解:令,原方程變形為,分離變量得,積分得,原方程的通解為(2) 解: 令,原

2、方程變形為,分離變量得,積分得,原方程的通解為.(3) 解: 令得作代換,原方程變?yōu)辇R次方程,再令,該齊次方程變?yōu)?分離變量得,兩端積分得,原方程的通解為(4) 解:令,原方程變形為,分離變量得,原方程的通解為.(5) 解: 原方程即,作代換,令,方程變?yōu)?分離變量得,原方程的通解為(6) ;解: 原方程即,令,方程變?yōu)辇R次方程再令,后一方程又變?yōu)?積分得整理并代換變量得原方程的解散為:.(7) 解:原方程即,亦即 (1)令,(1)式可變?yōu)?(2)作代換,(2)式變?yōu)?(3)作代換,(3)式變?yōu)?分離變量得 (4)(4)式兩端積分得,整理并代回變量得原方程的通解為3. 已知,試求函數(shù)的一般表達

3、式.解：原方程變形為，兩端求導(dǎo)得，并由已知式子可知。求解該微分方程有，且，故4求下列初值問題的解。(1) 解: 所給方程的通解為,滿足初值條件的特解為(2) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(3) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(4) 解: 原方程變形為,通解為,特解為(5) 解: 原方程變形為,通解為.特解為(6) 解: 5.證明方程經(jīng)過變換可化為變量分離方程,并由此求解下列方程:(1) (2) 證明: 作變換,方程可變?yōu)?該方程為可分離變量的微分方程.(1) 作變換,方程可變?yōu)?即其通解為,即(2) 作變換,方程可變?yōu)?即,其通解為,即原方程的通解為6. 一曲線經(jīng)過點,它在兩坐標(biāo)軸間

4、的任一切線段均被切點所平分,試求該曲線方程.解: 設(shè)所求曲線方程為,切點為,則切線方程為.切線與軸的交點分別為,由中點坐標(biāo)公式有,其通解為,所求曲線為補題7設(shè)對任意均有，且，求解: 由已知易得,故即,從而8設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，存在且滿足關(guān)系式，試求此函數(shù).解: 由已知可得解得,再利用可得9已知，求解: 已知方程左端作變量代換,方程可變?yōu)?即,兩端求導(dǎo)整理得微分方程:,其解為10當(dāng)和取何值時，利用代換可以把方程化為齊次方程？解：在代換的作用下,方程變?yōu)?即,要使該方程為齊次方程,則習(xí)題3.21.驗證下列方程是恰當(dāng)方程,并求出方程的解.(1) 解:因在全平面連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故方程為恰當(dāng)方

5、程.原方程可變形為,即,原方程的通解為:(2) 解:因在的區(qū)域上連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故所給方程為恰當(dāng)方程.原方程可變形為,即,所給方程的通解為:(3) 解:因在全平面連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故所給方程為恰當(dāng)方程.方程左端的一個原函數(shù)為原方程的通解為: (4) 解: 因在全平面連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故所給方程為恰當(dāng)方程.易知,原方程的通解為:(5) 題目有誤,所給方程不是恰當(dāng)方程.建議刪掉，這類題不必要這么多，因第題的求解包含該類題(6) 解:因在不包含的區(qū)域上連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故方程為恰當(dāng)方程.原方程可變形為,即所以原方程的通解為: ,或(7) 解:原方程即

6、:,因在全平面連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故方程為恰當(dāng)方程.原方程變形為:,即所以方程的通解為: 題目已換(8) 解:因在區(qū)域上連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且故所給方程為恰方程.從而存在使.由知再利用得即有.所以方程左端的一個原函數(shù)為通解為題目已換(9) 解:因在區(qū)域上連續(xù),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,故方程為恰當(dāng)方程.又原方程的通解具有形式2.試求變量分離方程的積分因子.解:用乘方程的兩端得,該方程為已分離變量的微分方程,即為恰當(dāng)方程,故為原方程的積分因子.3.求下列方程的解:題目已換(1) 解: ,所給方程不是恰當(dāng)方程,但因,故原方程有積分因子.從而方程為恰當(dāng)方程,易知其通解為(2) 解: 因

7、,故原方程有積分因子.從而方程為恰當(dāng)方程,其通解為,即題目已換(3) 解: 因,故方程有積分因子.從而為恰當(dāng)方程,易知其通解為,也是解.或?qū)⑼ń鈱懗?當(dāng)時, )(4)解:原方程可變形為,即,故原方程的通解為(5) 解:所給方程不是恰當(dāng)方程,可變形為(有積分因子)故通解為:,或.注意也是原方程的解.注:所給方程可看成是關(guān)于與的一階線性微分方程.(6) 解: 因,故原方程有積分因子.從而為恰當(dāng)方程.其通解為,即(7) 解:將方程分成兩部分,:和: 對方程而言,.對方程而言,原方程有積分因子,取利用可得故原方程的通解可表示為,即亦即,從而原方程的通解為增加題(8) 解:將方程分成兩部分,:和:對方程

8、而言,對方程而言原方程的積分因子為,即取,則得,因此,可取.從而,原方程的積分因子為(對也適合)利用,即得原方程的通解為,即.題目已換4.假設(shè)積分因子具有形式或,解下列方程.(1) 解:尋找形如的積分因子.因故.從而,原方程有積分因子.方程為恰當(dāng)方程,其通解為即,亦即(2) 解:尋找形如的積分因子.因故從而,原方程有積分因子.原方程可化為恰當(dāng)方程求出其通解為,即(3) 解: 尋找形如的積分因子.因故原方程有積分因子.從而,原方程可化為恰當(dāng)方程求它的積分,得,即題目已換5.求貝努利方程的積分因子.解:貝努利方程兩端同乘,并作代換,可化為一階線性微分方程而一階線性微分方程的積分因子為.故貝努利方程

9、的積分因子為題目已換6設(shè)函數(shù)連續(xù)、可微且，試證方程有積分因子證明:令,原方程可化為,即 用乘此方程,可化為已分離變量的微分方程,即為恰當(dāng)方程:所以,原方程有積分因子.增加題7.設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證明:設(shè)方程有僅依賴于的積分因子,則方程為恰當(dāng)方程,從而有,即可求得,故所給方程為一階線性微分方程.另一方面,若所給方程的一階線性微分方程,則.此時,故方程有僅依賴于的積分因子增加題8設(shè)方程中的函數(shù)滿足關(guān)系其中分別為和的連續(xù)函數(shù)，試證該方程有積分因子證明:設(shè)是所給方程的積分因子,則滿足,利用已知條件,并整理得現(xiàn)在,找使上式恒成立.不妨設(shè)且由此兩式可解得增加題

10、9設(shè)是方程的兩個積分因子，且常數(shù)，求證（為任意常數(shù)）是該方程的通解.證明:因是方程的兩個積分因子,故有同時,常數(shù),則.要證為方程的通解,只需證明沿方程的導(dǎo)數(shù)恒等于零.事實上,習(xí)題3.3題目已換1.求下列方程的通解.(1) 解:將解出得,通解為(2) 解:關(guān)于解這個二次方程,得兩個一階方程 和 .這兩個方程是線性的,其解分別為 和 .(3) 解:這是一個關(guān)于的奇數(shù)次代數(shù)方程,且系數(shù)為實數(shù),至少有一個實根,設(shè)為,則.又滿足微分方程,故方程的通解為(4) 解:令,方程明顯有根,即有.從而滿足方程,故原方程的通解為(5) 解:引入?yún)?shù),則.因為,所以, 從而.原方程的參數(shù)解為,.或(6) 解: 引入?yún)?/p>

11、數(shù),則.因為,所以,即有由得;由得.方程的解為:(7) 解: 引入?yún)?shù),則.因,故原方程的參數(shù)解為,(8) 解:設(shè),關(guān)于解方程,得.從等式及上式可得解出,和.原方程的解為和(9) 解:令,代入方程得.由得因此通解的參數(shù)表示為,消去可得(10) 解:令,代入上方程可解出 (顯然是原方程的解).從而,利用得,.故原方程的解為,.(11) 解:令,代入方程可解得,從而.利用等式得,積分得原方程解的參表示為,2. 已知某曲線,它的方程滿足微分方程,且與另一曲線在點相切,求此曲線方程.解:由于所求曲線方程包含在微分方程的通解中,所以先求解微分方程.令,則.利用得,即,解得.原方程的通解為,另外也是解.由

12、已知所求曲線方程滿足,故曲線方程為習(xí)題3.4求下列高階方程的解.(1) 解:令,原方程化為,其解為,即原方程的通解可表示為:(2) 解:令,則.原方程化為.當(dāng)時,當(dāng)時,解方程,即亦即綜上所述,原方程的通解可表示為:(3) 解:從而方程的通解為.(當(dāng)時,已包含在通解中)以下題目已換(4) 解:令,則.又再故原方程的參數(shù)解為,(5) 解:這是關(guān)于的齊次方程.令,則,代入原方程,得從而原方程的通解為:(6) 解:原方程可化為進一步有,原方程的通解為:.同時,也是解.(7) 解:原方程可化為故原方程的解為,即.(8) 解:原方程可變形為,令,則有,這是一階線性微分方程,其通解為.即有故方程的解為(9)

13、 解:原方程可變形為兩端積分,得再積分,得故原方程的解為,刪掉該題2.習(xí)題4.11.求方程通過點的第三次近似解.解:所給方程滿足解的存在唯一性定理.2.求方程通過點的第二次近似解.解:所給方程滿足解的存在唯一定理.3.求初值問題；的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解。給出在解的存在區(qū)間的誤差估計.解: (1) 由存在定理知,解的存在區(qū)間是,其中.而現(xiàn)在,故(2) (3) 第次近似解與真解的誤差估計公式為.其中為Lipschitz常數(shù),因,故可取.則以下題目已發(fā)生變化4.采用逐步逼近法求解初值問題.解:顯然方程右端函數(shù)滿足定理條件.按逐步逼近法公式,初值問題的各次近似解為原初值問題的解為5.驗證：方

14、程的右端函數(shù)在條形區(qū)域：（為正常數(shù)）上滿足李普希茲條件.解:因,故其中,即在所討論的條形區(qū)域上滿足李普希茲條件.這里不存在全平面適用的6.驗證：方程的右端函數(shù)在區(qū)域上滿足李普希茲條件。解:由,得可取李普希茲常數(shù),則故在所討論的區(qū)域上滿足李普希茲條件.7.求初值問題解的存在區(qū)間.解: 設(shè),則(1) 在內(nèi)連續(xù);(2) ,有界.故原初值問題的解在上存在唯一.即原初值問題的解在上存在唯一.下求.令,則在處取最大, 再利用解得,從而,解的最大存在區(qū)間為8.證明初值問題的解在區(qū)間上存在.證明: 取矩形區(qū)域(1) 顯然在上連續(xù).(2) ,即關(guān)于滿足李普希茲條件,所以,即解的最大存在區(qū)間為.9.如果函數(shù)在帶形

15、區(qū)域上連續(xù)且關(guān)于滿足李普希茲條件,試證明方程()滿足條件的解在整個區(qū)間上存在唯一.提示:用逐步逼近法,取,與教材定理類似.10.假設(shè)函數(shù)于的鄰域內(nèi)是的不增函數(shù)，試證方程滿足條件的解于的一側(cè)最多只有一個。證明:設(shè)都是方程滿足的解,現(xiàn)要證當(dāng)時,.用反證法.設(shè)存在使,不妨設(shè).由的連續(xù)、可微及知,必有使,且當(dāng)使.又,當(dāng)時,上式的左端;由于對是不增函數(shù),所以上式右端為非正,這是矛盾的.即不存在使.因此對有11設(shè)定義于，滿足條件其中，證明方程存在唯一的一個解.證明:條件,說明在上連續(xù),任取,作逼近序列考慮級數(shù),其部分和.因此只要證明此級數(shù)收斂,則序列亦收斂.有估計用歸納法可知由于,所以級數(shù)收斂,從而有收斂

16、.設(shè),由的連續(xù)性知:即是的解.另一部分,設(shè)是方程的兩個解,則.又而,故只有當(dāng)時,上面式子才成立.12.在條形區(qū)域內(nèi),假設(shè)方程的所有解都唯一,對其中任意兩個解,如果有,則必有證明:設(shè),因,故用反證法.若不成立,則在存在的同一區(qū)間上,由的連續(xù)性,必存在點,使,從而,這與解的唯一存在相矛盾.故必有.13.設(shè)方程中的在上連續(xù),且,證明:對方程的任一非零解,函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增,其中證明:只需證明時首先注意是微分方程的解,故成立.從而又因為在上連續(xù),方程的解存在唯一,任意,與不能同時成立.故在上于是,在上嚴(yán)格單調(diào)增加.14.設(shè)在區(qū)域上連續(xù),關(guān)于是非減的且滿足,當(dāng)時.試用逐次逼近法證明:初值問題的解在上存在,

17、其中.證: (1) 初值問題等價于積分方程.(2) 作逐次逼近序列(3)證明序列.由,及數(shù)學(xué)歸納法,對一切有.故(4)證明序列收斂.主要利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限.注意到關(guān)于是非減的,故當(dāng)時,有由歸納法知:這樣單調(diào)有界的數(shù)列必有極限,設(shè).(5)證是初值問題的解.由于的收斂還是一致的,將逼近序列兩端取極限即得是積分方程的.事實上,即.從而是初值問題的解.習(xí)題4.21.討論方程分別過點的解的最大存在區(qū)間.解:所給方程右端函數(shù)滿足解的延拓定理條件,方程的通解為.過點的解為,它可向左無限延拓,且,故解的最大存在區(qū)間為;過點的解為,它可向右無限延拓,且,故解的最大存在區(qū)間為.2.如果方程右端的函數(shù)在全平面

18、上有定義、連續(xù)和有界,同時存在關(guān)于的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程過點的解均可延拓到區(qū)間.證明:由于連續(xù),故滿足局部李普希茲條件,又連續(xù),故所給方程滿足延拓定理,過點的解可延拓到的邊界.由已知存在,使,即積分曲線必夾在兩直線與所形成的水平錐形區(qū)域之內(nèi),而無限延拓到的邊界,故解的存在區(qū)間必為.3.證明:對于任意的及滿足條件的,方程的滿足條件的解在上存在.證明:設(shè),易知在全平面上連續(xù),故方程滿足存在唯一及延拓定理.首先注意均為方程在上的解.一方面,由解的延拓定理,過點的解可向左右兩端延拓而無限接近區(qū)域的邊界.另一方面,由解的唯一性定理,過點的積分曲線夾在兩直線與之間而不能越出.故解的存在區(qū)間為.4.討論方

19、程解的最大存在區(qū)間,以及當(dāng)趨于這區(qū)間的兩端點時解的性狀.解:易知,函數(shù)在全平面連續(xù),且關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),方程過任意點的解存在唯一,可延拓到無窮遠(yuǎn).注意到是方程的解,用直線將全平面分為三個區(qū)域:(1) (2) (3)在區(qū)域上，由于，任意初值，方程滿足初值的解單調(diào)增加，存在區(qū)間為當(dāng)時，以為漸近線，當(dāng)時，以為漸近線在區(qū)域上，由于，任意初值，方程滿足初值的解單調(diào)減少，存在區(qū)間為當(dāng)時，以為漸近線，當(dāng)時，以為漸近線在區(qū)域上，由于，任意初值，方程滿足初值的解單調(diào)減少，存在區(qū)間為當(dāng)時，以為漸近線，當(dāng)時，以其積分曲線分布如圖5.設(shè)是由不等式:所確定的區(qū)域,方程的任一飽和解均有界,其中在區(qū)域上連續(xù),則的存在區(qū)間

20、必為整個區(qū)間.證明:設(shè)飽和解的存在區(qū)間為,由于有界,故存在常數(shù),使.任取一個小的正數(shù),在區(qū)域上,應(yīng)用延拓定理知,當(dāng)及時,解趨于的邊界,但由于解有界,它不能在方面趨于邊界,只能有及.由的任意性得習(xí)題4.31.略2.證明Picard迭代序列滿足Arzela-Ascoli引理的條件.證: 考慮初值問題,其中在上連續(xù),關(guān)于滿足Lipschitz條件,則初值問題的解在區(qū)間上存在唯一.其中該結(jié)論的證明過程中,構(gòu)造的Picard迭代序列為,且有,故在上一致有界.又由于對任意的有故在上是等度連續(xù)的.綜上所述,在上滿足引理條件.增加題3. 證明函數(shù)序列(1)在區(qū)間上是一致有界且等度連續(xù)的;證:只證函數(shù)序列是等度

21、連續(xù).,有所以,當(dāng)時,有,即是等度連續(xù)的.(2)在區(qū)間上是一致有界但非等度連續(xù)的;證明:只證函數(shù)序列是非等度連續(xù)的.,取,對任意,當(dāng)時,雖有但.故是非等度連續(xù)的.(3)在區(qū)間上既不是一致連續(xù)的,也不是等度連續(xù)的.證:略.增加題4.通過下面三個例子說明Arzela-Ascoli引理中三個條件(一致有界,等度連續(xù),閉區(qū)間)缺一不可.(1)(2)(3)解: (1)在上,函數(shù)序列顯然是等度連續(xù)的,但不一致有界.這個函數(shù)顯然不可能找出一致收的子列.(2)在區(qū)間上,函數(shù)序列顯然是一致有界的,因為對任意的有;但不是等度連續(xù)的,因為取,則對任何,雖有,但只要充分大時,有下面,我們說明這個函數(shù)序列沒有一致收斂的

22、子列.因為任何子列在上是連續(xù)的,若一致收斂則其極限函數(shù)是連續(xù)的,但顯然是不連續(xù)的,所以在上沒有一致收斂的子列.(3)顯然在上是一致有界的.又有故在上也是等度連續(xù)的.可以證明,這個函數(shù)序列不存在一致收斂的子列,因為對任何子列及任意指定的,當(dāng)時,.但無論多么大卻有.5.利用Peano存在定理證明隱函數(shù)定理的存在性部分.證明:隱函數(shù)定理的敘述是:設(shè)在的鄰域內(nèi)連續(xù),且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),以及,則在的某一鄰域內(nèi)存在唯一的函數(shù),滿足,它是單值連續(xù)的,有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且. 下面我們用Peano存在定理的結(jié)論來證明的存在.作微分方程初值問題由隱函數(shù)存在定理的假設(shè),初值問題右端函數(shù)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),按Peano存在定理,存在解滿足, 即 亦即,從而有由假設(shè),因此有由于是微分方程的解,顯然具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).6.利用Osgood條件討論初值問題(常數(shù))的解的唯一性問題.解:因,故當(dāng)時, 在平面內(nèi)任意有界閉區(qū)域內(nèi)連續(xù).從而存在,使.故,有,其中記,則連續(xù)函數(shù),且由Osgood唯一性定理知,此時初值問題有唯一的解.當(dāng)時