大學物理習題精選答案——質點動力學

1、 質點動力學習題答案2-1一個質量為P的質點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線AB平行，如圖所示，求這質點的運動軌道. 解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-1.圖2-1 方向： 方向： 時 由、式消去，得2-2 質量為的物體被豎直上拋，初速度為，物體受到的空氣阻力數(shù)值為，為常數(shù).求物體升高到最高點時所用時間及上升的最大高度.解：研究對象：受力分析：受兩個力，重力及空氣阻力 牛頓第二定律：合力：y分量：即 時，物體達到了最高點，可有為 時，2-3 一條質量為，長為的勻質鏈條，放在一光滑的水平桌面，鏈子

2、的一端由極小的一段長度被推出桌子邊緣，在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開桌面時的速度. 解：鏈條在運動過程中，其部分的速度、加速度均相同，沿鏈條方向，受力為，根據(jù)牛頓定律，有通過變量替換有 ，積分由上式可得鏈條剛離開桌面時的速度為2-5 升降機內有兩物體，質量分別為和，且2用細繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以勻加速上升時，求：(1) 和相對升降機的加速度(2)在地面上觀察和的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對象，其受力圖如圖所示(1)設相對滑輪(即升降機)的加速度為，則對地加速度；因繩不可伸長，故對滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運動的

3、影響，所以在水平方向對地加速度亦為，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對地加速度為 方向向上在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 ，左偏上2-6 一物體受合力為（SI），做直線運動，試問在第二個5秒內和第一個5秒內物體受沖量之比及動量增量之比各為多少？解：設物體沿+x方向運動，NS（沿方向）NS（沿方向）2-7 一彈性球，質量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回. 設跳回時速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為，求碰撞過程中小球受到的沖量設碰撞時間為s，求碰撞過程中小球 受到的平均沖力解:NS2-9 一顆子彈由槍口射出時速率為，當子彈在槍筒內被加速時，它所受

4、的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質量解: (1)由題意，子彈到槍口時，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質量2-10 木塊B靜止置于水平臺面上，小木塊A放在B板的一端上，如圖所示. 已知kg，0.75kg，小木塊A與木塊B之間的摩擦因數(shù)0.5，木板B與臺面間的摩擦因數(shù)0.1. 現(xiàn)在給小木塊A一向右的水平初速度40m/s，問經(jīng)過多長時間A、B恰好具有相同的速度？（設B板足夠長）圖2-10解：當小木塊A以初速度向右開始運動時，它將受到木板B的摩

5、擦阻力的作用，木板B則在A給予的摩擦力及臺面給予的摩擦力的共同作用下向右運動. 如果將木板B與小木塊A視為一個系統(tǒng)，A、B之間的摩擦力是內力，不改變系統(tǒng)的總動量，只有臺面與木板B之間的摩擦力才是系統(tǒng)所受的外力，改變系統(tǒng)的總動量. 設經(jīng)過時間，A、B具有相同的速度，根據(jù)質點系的動量定理 再對小木塊A單獨予以考慮，A受到B給予的摩擦阻力，應用質點的動量定理 以及 解得 代入數(shù)據(jù)得 m/s =7.65s圖2-112-11一粒子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑水平面上的木塊，如圖2-11所示. 已知兩木塊的質量分別為和，子彈穿過兩木塊的時間各為和，設子彈在木塊中所受的阻力為恒力，求子彈穿過后，兩木塊各以

6、多大速度運動. 解：子彈穿過第一木塊時，兩木塊速度相同，均為，初始兩木塊靜止， 由動量定理，于是有設子彈穿過第二木塊后，第二木塊速度變?yōu)?，對第二塊木塊，由動量定理有 解以上方程可得 2-12一端均勻的軟鏈鉛直地掛著，鏈的下端剛好觸到桌面. 如果把鏈的上端放開，證明在鏈下落的任一時刻，作用于桌面上的壓力三倍于已落到桌面上那部分鏈條的重量.解：設開始下落時，在任意時刻落到桌面上的鏈長為，鏈未接觸桌面的部分下落速度為，在時間內又有質量（為鏈的線密度）的鏈落到桌面上而靜止. 根據(jù)動量定理，桌面給予的沖量等于的動量增量，即 所以 由自由落體的速度得這是時刻桌面給予鏈的沖力. 根據(jù)牛頓第三定律，鏈對桌面的

7、沖力，方向向下，時刻桌面受的總壓力等于沖力和時刻已落到桌面上的那部分鏈的重力之和，所以 所以即鏈條作用于桌面上的壓力3倍于落在桌面上那部分鏈條的重量.2-13一質量為50kg的人站在質量為100kg的停在靜水中的小船上，船長為5m，問當人從船頭走到船尾時，船頭移動的距離. 解:以人和船為系統(tǒng)，整個系統(tǒng)水平方向上動量守恒 設人的質量為，船的質量為，應用動量守恒得 其中，分別為人和小船相對于靜水的速度， 可得人相對于船的速度為 設人在時間內走完船長，則有 在這段時間內，人相對于地面走了 所以 船頭移動的距離為2-14質量為的木塊靜止在光滑的水平桌面上，質量為，速度的子彈水平地射入木塊，并陷在木塊內

8、與木塊一起運動.求：(1)子彈相對木塊靜止后，木塊的速度和動量；(2)子彈相對木塊靜止后，子彈的動量；(3) 在這個過程中，子彈施于木塊的沖量.解：子彈相對木塊靜止后，其共同速度設為，子彈和木塊組成系統(tǒng)動量守恒（1） 所以 （2）子彈的動量（3）針對木塊，由動量守恒知，子彈施于木塊的沖量為2-15質量均為的兩輛小車沿著一直線停在光滑的地面上，質量為的人自一輛車跳入另一輛車，接著又以相同的速率跳回來. 試求兩輛車的速率之比.解： 質量為的人，以相對于地面的速度從車A跳到車B，此時車A得到速度，由于車是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由動量守恒得人到達車B時，共同得速度為，由動量守恒得人

9、再由車B以相對于地面的速度跳回到車A，則車B的速度為，而車A與人的共同速度為，如圖所示，由動量守恒得聯(lián)立方程解得： 所以車B和車A得速率之比為2-16體重為的人拿著重為的物體跳遠，起跳仰角為，初速度為. 到達最高點時，該人將手中的物體以水平向后的相對速度拋出，問跳遠成績因此增加多少？解：人和物體組成系統(tǒng)在最高點拋出物體前后沿水平方向動量守恒，注意到對地面這個慣性參考系 從最高點到落地，人做平拋運動所需時間跳遠距離增加為 2-17鐵路上有一平板車，其質量為，設平板車可無摩擦地在水平軌道上運動. 現(xiàn)有個人從平板車的后端跳下，每個人的質量均為，相對平板車的速度均為. 問在下述兩種情況下，平板車的末速

10、度是多少？（1）個人同時跳離；（2）一個人、一個人的跳離. 所得結果是否相同.解：取平板車和個人為研究對象，由于在水平方向上無外力作用，故系統(tǒng)在該方向上動量守恒. 取平板車運動方向為坐標軸正方向，設最初平板車靜止，則有所以個人同時跑步跳車時，車速為（2）若一個人、一個人地跳車，情況就不同了. 第一個跳車時，由動量守恒定律可得第二個人跳車時，有以此類推，第個人跳車時，有所以因為故2-18質量為的物體作直線運動，受力與坐標關系如圖2-18所示。若時，試求時，圖2-18 解：在到過程中，外力功為力曲線與軸所圍的面積代數(shù)和40J 由動能定理為：即 2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圓形屏障

11、. 有一質量為的滑塊以初速度沿切線方向進入屏障一端，如圖2-19所示,設滑塊與屏障間的摩擦因數(shù)為，試證明當滑塊從屏障另一端滑出時，摩擦力作功為 圖2-19解：滑塊做圓周運動，依牛頓定律，有： 法向： 切向：由以上兩式，可得 對上式兩邊積分，有可得 由動能定理可得摩擦力做功為2-20質量為的木塊靜止于光滑水平面上，一質量為，速率為的子彈水平射入木塊后嵌在木塊內，并于木塊一起運動，求：（1）木塊施于子彈的力所做的功；（2）子彈施于木塊的力所做的功；（3）木塊和子彈系統(tǒng)耗散的機械能.解：把子彈和木塊當作一個系統(tǒng)，動量守恒因而求得子彈和木塊共同速度（1）（2）（3）2-21一質量kg的物體放在光滑的水

12、平桌面上，并與一水平輕彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)N/m. 今有一質量1kg的小球以水平速度4m/s飛來，與物體相撞后以2m/s 的速度彈回，試問：(1) 彈簧被壓縮的長度為多少？(2) 小球和物體的碰撞是完全彈性碰撞嗎？(3) 如果小球上涂有黏性物質，相撞后可與粘在一起，則（1），（2）所問的結果又如何？ 解：碰撞過程中物體、彈簧、小球組成系統(tǒng)的動量守恒 m/s小球與彈簧碰撞，彈簧被壓縮，對物體有作用力，對物體，由動能定理（1） 彈簧被壓縮的長度 m（2）4.2J（3）小球與物體碰撞后粘在一起，設其共同速度為，根據(jù)動量守恒及動量定理 此時彈簧被壓縮的長度m2-22 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，

13、掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質量為，如2-22圖求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比 圖2-22 解: 彈簧及重物受力如2-22圖所示平衡時，有 又 所以靜止時兩彈簧伸長量之比為彈性勢能之比為2-23 如題2-23圖所示，一物體質量為2kg，以初速度3ms-1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度 圖2-23解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有式中，再代入有關數(shù)據(jù)，解得 再次運用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關數(shù)據(jù)，得 ,則木

14、塊彈回高度2-24鉛直平面內有一光滑的軌道，軌道的部分是半徑為的圓. 若物體從處由靜止下滑，求應為多大才恰好能使物體沿圓周運動?圖2-25解：木塊如能通過點，就可以繞整個圓周運動. 設木塊質量為，它在點的法向運動方程為 式中為圓環(huán)給木塊的法向推力. 顯然0時，木塊剛好能通過點，所以木塊剛好能繞圓周運動的條件為選木塊和地球為系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能守恒，所以可得 聯(lián)立求解得即高度為時木塊剛好能繞圓周運動2-25兩個質量分別為和的木塊和，用一個質量忽略不計、倔強系數(shù)為的彈簧連接起來，放置在光滑水平面上，是緊靠墻壁，如圖示. 用力推木塊使彈簧壓縮，然后釋放. 已知，求(1) 釋放后，、兩木塊速度相等時的瞬

15、時速度的大??；(2) 釋放后，子彈的最大伸長量.圖2-26解：釋放后，子彈恢復到原長時將要離開墻壁，設此時的速度為，由機械能守恒，由 得離開墻壁后，系統(tǒng)在光滑水平面上運動，系統(tǒng)動量守恒，機械能守恒，有 （1）當時，求得： （2）（2）彈簧有最大伸長量時，由式（2）得 2-26兩塊質量各為和的木塊，用勁度系數(shù)為的輕彈簧連在一起，放置在地面上，如圖示，問至少要用多大的力壓縮上面的木塊，才能在該力撤去后因上面的木板升高而將下面的木板提起？圖2-27解： 將和彈簧和地球視為一個系統(tǒng)，該系統(tǒng)在壓力撤離后，只有保守力作用，所以機械能守恒. 設壓力撤離時刻為初態(tài)，恰好提離地面時為末態(tài)，初態(tài)、末態(tài)時動能均為零

16、. 設彈簧原長時為坐標原點和勢能零點， 則 式中為壓力作用時彈簧的壓縮量，則式中為恰好能提離地面時彈簧的伸長量，此時要求聯(lián)立以上幾個方程解得故能使提離地面的最小壓力為2-27一質量為的三角形木塊放在光滑的水平面上，另一質量為的立方木塊由斜面最低處沿斜面向上運動，相對于斜面的初速度為，如圖所示，如果不考慮木塊接觸面上的摩擦，問立方木塊能沿斜面上滑多高？圖2-28 解：三角形木塊與立方木塊組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用， 水平方向動量守恒. 初始時，立方木塊速度為，其水平方向分量為，三角形木塊靜止；當立方木塊達最高點時，相對于三角形木塊靜止，設二者共同的速度為，則 在運動過程中，兩木塊和地球組成

17、的系統(tǒng)只有重力做功，機械能守恒，得 由以上兩式得立方木塊沿斜面上滑的高度為 2-28兩個形狀完全相同、質量都為M的弧形導軌A和B，放在地板上，今有一質量為的小物體，從靜止狀態(tài)由A的頂端下滑，A頂端的高度為，所有接觸面均光滑. 試求小物體在B軌上上升的最大高度（設A、B導軌與地面相切）圖2-29 解：設小物體沿A軌下滑至地板時的速度為，對小物體與A組成的系統(tǒng)，應用機械能守恒定律及沿水平方向動量守恒定律，有 （1） （2）解得 （3）當小物體以初速沿B軌上升到最大高度H時，此時小物體相對B的速度為零，設小物體與B相對地沿水平方向的共同速度為，根據(jù)動量守恒與機械能守恒，有 （4） （5）聯(lián)立（3）（

18、5）解得2-29 一質量為200g的砝碼盤懸掛在勁度系數(shù)N/m的彈簧下，現(xiàn)有質量為100g的砝碼自30cm高處落入盤中，求盤向下移動的距離（假設砝碼與盤的碰撞是完全非彈性碰撞）圖2-30解：第一階段：砝碼落入盤中以前，由機械能守恒有 第二階段：砝碼與盤碰撞，因為完全非彈性碰撞，其共同速度設為，在垂直方向，砝碼和盤組成系統(tǒng)之碰撞內力遠大于重力、彈簧的彈性力，可認為在 垂直方向動量守恒，因而有 第三階段：砝碼和盤向下移動過程中機械能守恒，注意到彈性勢能零點是選在彈簧的原長處解以上方程可得 向下移動的最大距離為2-30倔強系數(shù)為的輕彈簧，一端固定，另一端與桌面上的質量為的小球B相連接. 推動小球，將彈簧壓縮一端距離后放開，假定小球所受的滑動摩擦力大小為且恒定不變，滑動摩擦系數(shù)與靜摩擦系數(shù)可視為相等. 試求必須滿足什么條件時，才能使小球在放開后就開始運動，而且一旦停止