63等比數(shù)列典型例題及詳細(xì)解答

1、1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項若G2a·b_(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn (k，l，m，nN*)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn

2、，仍是等比數(shù)列5等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn.6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_qn_.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列(×)(2)G為a，b的等比中項G2ab.(×)(3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列(×)(4)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列

3、(×)(5)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.(×)(6)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列(×)1(2015·課標(biāo)全國)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案B解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)2×2142，故選B.2設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn.若S23，S415，則S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析根據(jù)題意

4、知，等比數(shù)列an的公比不是1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4S2)2S2·(S6S4)，即1223×(S615)，解得S663.故選C.3等比數(shù)列an中，a42，a55，則數(shù)列l(wèi)g an的前8項和等于()A6 B5 C4 D3答案C解析數(shù)列l(wèi)g an的前8項和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a1·a8)4lg(a4·a5)4lg(2×5)44.4(2015·安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49，a2a38，則數(shù)列an的前n項和等于_答案2n1解析由等比數(shù)列性質(zhì)知a2

5、a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38，q2.數(shù)列an的前n項和為Sn2n1.5(教材改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為_答案27,81解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9×327,27×381.題型一等比數(shù)列基本量的運算例1(1)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和已知a2a41，S37，則S5等于()A. B. C. D.(2)在等比數(shù)列an中，若a4a26，a5a115，則a3_.答案(1

6、)B(2)4或4解析(1)顯然公比q1，由題意得解得或(舍去)，S5.(2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，則兩式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思維升華等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解(1)在正項等比數(shù)列an中，an1an，a2·a86，a4a65，則等于()A. B.C. D.(2)(2015·湖南)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an_.答案(1)D(2)3n1解析(1)設(shè)公比為q，則

7、由題意知0q1，由得a43，a62，所以.(2)由3S1,2S2，S3成等差數(shù)列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比數(shù)列通項ana1qn13n1.題型二等比數(shù)列的判定與證明例2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1 (n2)，an12an2(an2an1) (n2)bnan12an，bn2bn1 (n2)，故bn是首項b13，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知bna

8、n12an3·2n1，故是首項為，公差為的等差數(shù)列(n1)·，故an(3n1)·2n2.引申探究例2中“Sn14an2”改為“Sn12Sn(n1)”，其他不變探求數(shù)列an的通項公式解由已知得n2時，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，當(dāng)n1時上式也成立，故an1是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，an12·2n12n，an2n1.思維升華(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可(2)利用

9、遞推關(guān)系時要注意對n1時的情況進(jìn)行驗證設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n1時，a12×12；當(dāng)n2時，a12a2(a1a2)4，a24；當(dāng)n3時，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.綜上，a24，a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，當(dāng)n2時，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.

10、Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列題型三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3(1)在等比數(shù)列an中，各項均為正值，且a6a10a3a541，a4a85，則a4a8_.(2)等比數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn，若，則公比q_.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因為a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412×551.又an>0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q±1，則可得.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10S5，S1

11、5S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5，q.思維升華(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若mnpq，則有amanapaq”，可以減少運算量(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，公比為qk(q1)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a92a，a22，則a1等于()A. B.C. D2(2)等比數(shù)列an共有奇數(shù)項，所有奇數(shù)項和S奇255，所有偶數(shù)項和S偶126，末項是192，則首項a1等于()A1 B2C3 D4答案(1)C(2)C解析(1

12、)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1，故選C.(2)設(shè)等比數(shù)列an共有2k1(kN*)項，則a2k1192，則S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13，故選C.12分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用典例(12分)已知首項為的等比數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：Sn(nN*)思維點撥(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項公式；(2)求出前n項和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明規(guī)范解答(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為2S

13、2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比數(shù)列an的通項公式為an×n1(1)n1·.3分(2)證明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS1.8分當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以SnS2.10分故對于nN*，有Sn.12分溫馨提醒(1)分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類討論有已知Sn與an的關(guān)系，要分n1，n2兩種情況等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q1，q1討論項數(shù)的奇、偶數(shù)討論等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論(2)數(shù)列與函

14、數(shù)有密切的聯(lián)系，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，一般是求數(shù)列中的最大項或最小項，可以利用圖象或者數(shù)列的增減性求解，同時注意數(shù)列的增減性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別.方法與技巧1已知等比數(shù)列an(1)數(shù)列c·an(c0)，|an|，a，也是等比數(shù)列(2)a1ana2an1amanm1.2判斷數(shù)列為等比數(shù)列的方法(1)定義法：q(q是不等于0的常數(shù)，nN*)數(shù)列an是等比數(shù)列；也可用q(q是不等于0的常數(shù)，nN*，n2)數(shù)列an是等比數(shù)列二者的本質(zhì)是相同的，其區(qū)別只是n的初始值不同(2)等比中項法：aanan2(anan1an20，nN*)數(shù)列an是等比數(shù)列失誤與防范1特別注意q1時，Snna1這一特殊情

15、況2由an1qan，q0，并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10.3在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤4等比數(shù)列性質(zhì)中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列，不能忽略條件q1.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘)1已知等比數(shù)列an中，a2a31，a4a52，則a6a7等于()A2 B2C4 D4答案C解析因為a2a3，a4a5，a6a7成等比數(shù)列，a2a31，a4a52，所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7)，解得a6a74.2等比數(shù)列an滿足an0，nN*，且a3·a2n322n(n2)，則當(dāng)n1時，

16、log2a1log2a2log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3·a2n3a22n，從而得an2n.方法一log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)·(a2a2n2)··(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)方法二取n1，log2a1log221，而(11)24，(11)20，排除B，D；取n2，log2a1log2a2log2a3log22log24log286，而224，排除C，選A.3在正項等比數(shù)列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，a

17、n1anan1324，則n等于()A12 B13C14 D15答案C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故選C.4若正項數(shù)列an滿足lg an11lg an，且a2 001a2 002a2 0102 016，則a2 011a2 012a2 020的值為()A2 015·1010 B2 015·1011C2 016·1010 D2 016·1011答案C解析lg an11lg an，lg 1，10，數(shù)列an是等比數(shù)列，a2 001a

18、2 002a2 0102 016，a2 011a2 012a2 0201010(a2 001a2 002a2 010)2 016×1010.5已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若存在mN*，滿足9，則數(shù)列an的公比為()A2 B2 C3 D3答案B解析設(shè)公比為q，若q1，則2，與題中條件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6等比數(shù)列an中，Sn表示前n項和，a32S21，a42S31，則公比q為_答案3解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，a43a3，q3.7等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比不為1.若a11，則對任意的nN*，都有a

19、n2an12an0，則S5_.答案11解析由題意知a3a22a10，設(shè)公比為q，則a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，則S511.8已知數(shù)列an的首項為1，數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn，若b10·b112，則a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3··bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.9數(shù)列bn滿足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an的前n項和Sn.解(1)由bn1

20、2bn2，得bn122(bn2)，2，又b12a2a124，數(shù)列bn2是首項為4，公比為2的等比數(shù)列bn24·2n12n1，bn2n12.(2)由(1)知，anan1bn12n2 (n2)，an1an22n12 (n>2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，an(222232n)2n22n22n12n.Sn2n2(n2n4)10已知數(shù)列an和bn滿足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實數(shù)，n為正整數(shù)(1)證明：對任意實數(shù)，數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)證明：當(dāng)18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列證明(1)假設(shè)存在一個實數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aa1

21、a3，即22492490，矛盾所以an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故當(dāng)18時，數(shù)列bn是以(18)為首項，為公比的等比數(shù)列B組專項能力提升(時間：20分鐘)11設(shè)an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai1的矩形的面積(i1,2，)，則An為等比數(shù)列的充要條件是()Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同答案D解析Aiaiai1，若An為等比數(shù)列，則為常數(shù)，即，.a1，a3，a5，a2n1，和a2，a4，a2n，成等比數(shù)列，且公比相等反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，且公比相等，設(shè)為q，則q，從而An為等比數(shù)列12若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a