隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布專題復(fù)(共22頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布(專題復(fù)習(xí))適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差；2均值與方差的性質(zhì)；3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差；4正態(tài)分布教學(xué)目標(biāo)1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題2利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義教學(xué)重點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念；正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0，1) 。教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望；通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線教學(xué)

2、過(guò)程一、 課堂導(dǎo)入“離散型隨機(jī)變量的分步列，均值和方差”在“排列與組合”知識(shí)的延伸，在本講的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們將通過(guò)具體實(shí)例理解隨機(jī)變量及其分布列、均值和方差的概念，認(rèn)識(shí)隨機(jī)變量及其分布對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性要求同學(xué)們會(huì)用隨機(jī)變量表達(dá)簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件，會(huì)用分布列來(lái)計(jì)算這類事件的概率，計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題在高考中，這部分知識(shí)通常有一道解答題，占1214分左右，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值二、 復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定()(2)隨機(jī)變量

3、的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差 ()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布()2設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)(k2,4,6,8,10)，則D()等于()A5 B8 C10 D163設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3,4)，若P(<2a3)P(>a2)，則a等于()A3 B. C5 D.4有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X

4、)_.5在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是_附：1. 2. B 3. D 4. 5. 0.7三、 知識(shí)講解考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差稱D(X) (xiE(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差考點(diǎn)2均值與方差的性質(zhì)(1) E(aXb)aE(X)b.(2

5、)D(aXb)a2D(X)(a，b為常數(shù))考點(diǎn)3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1) 若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)_p_，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)_np_，D(X)np(1p)考點(diǎn)4正態(tài)分布(1) 正態(tài)曲線：函數(shù)，(x)e，x(，)，其中和為參數(shù)(>0，R)我們稱函數(shù)、(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為_(kāi)1_；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著_的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，_越小_，曲線越“

6、瘦高”，表示總體的分布越集中；_越大_，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b (a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<Xb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(<X)0.682_6；P(2<X2)0.954_4；P(3<X3)0.997_4.四、 例題精析考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1 (2013·浙江)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c

7、1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E()，D()，求abc.【規(guī)范解答】(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E()，D()2·2·2·.化簡(jiǎn)得解得a3c，b2c，故abc321.【總結(jié)與反思】(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)

8、行計(jì)算(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機(jī)變量X的期望為E(X)，則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aXb的期望是aE(X)b，方差為a2D(X)考點(diǎn)二 二項(xiàng)分布的均值、方差例2 (2012·四川)某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E()【規(guī)范解答】(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1·p，解得p.(2)由題意，得P(0)C3，P(1)C2×，P(2)

9、C××2，P(3)C3.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123P故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×3×.(或B(3，)，E()3×.)【總結(jié)與反思】求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析是否服從二項(xiàng)分布，如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量考點(diǎn)三 正態(tài)分布的應(yīng)用例3在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?085分的有17人試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人【規(guī)范解答】依題意，由8085分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求9

10、0分以上同學(xué)的人數(shù)成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，80，5，75，85.于是成績(jī)?cè)?75,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，成績(jī)?cè)?80,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的×68.26%34.13%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.13%17，解得x50.又2801070，2801090，成績(jī)?cè)?70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.成績(jī)?cè)?80,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的50%47.72%2.28%.即有50×2.28%1(人)，即成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)僅有1人【總結(jié)與反思】答此類題目關(guān)鍵是利用

11、正態(tài)曲線的對(duì)稱性表示出所給區(qū)間的概率利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x，只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x0.考點(diǎn)四 離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題例4甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是，求P2的值；(3)設(shè)P2，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次設(shè)表示摸出紅球的總次數(shù)，求的分布列和均值【規(guī)范解答】(1)設(shè)甲袋中紅球的

12、個(gè)數(shù)為x，依題意得x10×4.(2)由已知，得，解得P2.(3)的所有可能值為0,1,2,3.P(0)××，P(1)×××C××，P(2)×C×××2，P(3)×2.所以的分布列為0123P所以E()0×1×2×3×.【反思與總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列第四步：求均值和方差第五步：反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范五、課程小結(jié)1均值與方差的常用性質(zhì)掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來(lái)方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)2基本方法(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的均值 、方差，求的線性函數(shù)ab的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解3關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法