固體物理習(xí)題

1、第三章第三章 晶格振動(dòng)晶格振動(dòng) 3.1 原子質(zhì)量為原子質(zhì)量為m，間距為，間距為a的一維單原子鏈，如果原子的振動(dòng)的一維單原子鏈，如果原子的振動(dòng)位移為位移為 naqtAtxn cos試求：試求：（1）格波的色散關(guān)系；）格波的色散關(guān)系；（2）每個(gè)原子對時(shí)間平均的總能量。）每個(gè)原子對時(shí)間平均的總能量。解：解： 11 nnnnnxxxxxm nnnxxx211 (1) 式中，式中， , 3 , 2 , 1nxn為原子位移；為原子位移； 為恢復(fù)力常數(shù)。為恢復(fù)力常數(shù)。 個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫成個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫成（1）在單原子晶格中，若只計(jì)相鄰原子的互作用，第）在單原子晶格中，若只計(jì)相鄰原子的互作用，第n依

2、題設(shè)，原子的振動(dòng)位移可表示為依題設(shè)，原子的振動(dòng)位移可表示為 aqntAxaqntAxnaqtAxnnn1cos1coscos11 (2) 將將(2)式代入式代入(1)式，得式，得 aqntAxmn1cos2 naqtaqnt cos21cos因?yàn)橐驗(yàn)?aqnaqtaqnt cos1cos aqnaqtaqnaqtsinsincoscos 因此因此 1coscos22 aqnaqtAxmn 2aqsinx41cosaqx22nn故得格波的色散關(guān)系為故得格波的色散關(guān)系為 2aqsinm422（2） 原子鏈上總能量可寫為原子鏈上總能量可寫為 21nnn2nnxx21xm21E 其中求和遍及鏈上的所有

3、原子。其中求和遍及鏈上的所有原子。 dtxx21xm21T1ET021nnn2nn T0T021nn2ndtxx21T1dtxm21T1 naqtAtxn cos aq1ntAcostx1n 22T02nAm41dtxm21T1 cosaq1A21dtxx21T12T021nn cosaq1A21Am41E222n cosaq1A21Am41NE222 又因?yàn)橐痪S單原子鏈的色散關(guān)系為又因?yàn)橐痪S單原子鏈的色散關(guān)系為 2aqsinm422或者或者 cosaq1m22 所以所以 cosaq1m212 22Am21 得平均總能量得平均總能量3.2 證明：在由兩種不同質(zhì)量證明：在由兩種不同質(zhì)量M、m(M

4、m)的原子所組成的一維的原子所組成的一維復(fù)式格子中，如果波矢復(fù)式格子中，如果波矢q取邊界值取邊界值 (a為相鄰原子間為相鄰原子間距距)，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為，則在聲學(xué)支上，質(zhì)量為m的輕原子全部保持不動(dòng)；在光學(xué)的輕原子全部保持不動(dòng)；在光學(xué)支上，質(zhì)量為支上，質(zhì)量為M的重原子保持不動(dòng)。的重原子保持不動(dòng)。aq2 證明：如圖所示，設(shè)質(zhì)量為證明：如圖所示，設(shè)質(zhì)量為m的輕原子位于的輕原子位于2n-1，2n+2，2n+3，.各點(diǎn)；設(shè)質(zhì)量為各點(diǎn)；設(shè)質(zhì)量為M的輕原子位于的輕原子位于2n-2，2n，2n+2，各點(diǎn)。各點(diǎn)。a am mM M2n-32n-32n-22n-22n-12n-12n2n2n+12n+12n+

5、22n+22n+32n+3 1222122 nnnnnxxxxxm nnnxxx212122 設(shè)試探解為設(shè)試探解為 aqntinAex1212 aqntinAex22 和和 式中，式中，A為輕原子的振幅；為輕原子的振幅；B為重原子的振幅；為重原子的振幅； 為角頻率；為角頻率； 2 q為波矢。為波矢。 nnnnnxxxxxm212122212 122222 nnnxxx 令令 表示原子間的恢復(fù)力系數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程寫為表示原子間的恢復(fù)力系數(shù)，運(yùn)動(dòng)方程寫為 將試探解代入運(yùn)動(dòng)方程有將試探解代入運(yùn)動(dòng)方程有 ABeeAmiaqiaq22 BAeeBMiaqiaq22 經(jīng)整理變成經(jīng)整理變成 02cos20cos

6、2222BMAaqBaqAm (1)(1) 要要A、B有不全為零的解，方程有不全為零的解，方程(1)的系數(shù)行列式必須等于零，的系數(shù)行列式必須等于零，從中解得從中解得 212224cos2aqmMMmMmmM (2)(2) 式中的式中的“+”“”分別給出兩種頻率，對應(yīng)光學(xué)支格波和聲學(xué)支分別給出兩種頻率，對應(yīng)光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波。上式表明，格波。上式表明， 是是q的周期函數(shù)的周期函數(shù)， 邊界值，即邊界值，即 aqa4141 。當(dāng)。當(dāng)q取取 aq41 時(shí)，從時(shí)，從(2)式得式得 ,2,22121 Mm 將將 和和 依次代入依次代入(1)式，得到兩種原子的振幅比分別為式，得到兩種原子的振幅比分別為光

7、學(xué)支：光學(xué)支： aqmMaqMBAcos1cos222 聲學(xué)支：聲學(xué)支： MmaqmaqBA 1cos2cos22 因?yàn)橐驗(yàn)?, 01 , 01 MmmM而且而且 當(dāng)當(dāng) aq41 時(shí)，時(shí)，cosaq=cosaq=0 0 由上式得到由上式得到0, BBA即即0,0 AAB即即由此可見，當(dāng)波矢由此可見，當(dāng)波矢q取邊界值時(shí)，聲學(xué)支中輕原子保持不動(dòng)取邊界值時(shí)，聲學(xué)支中輕原子保持不動(dòng)(A=0)，光學(xué)支中重原子也保持不動(dòng)，光學(xué)支中重原子也保持不動(dòng)(B=0)。3.3 一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為一維復(fù)式格子，原子質(zhì)量都為m,晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，任一個(gè)原，任一個(gè)原子與最近鄰原子的間距為子與最近鄰原子的間距為

8、b,若原子與最近鄰原子和次近鄰原子若原子與最近鄰原子和次近鄰原子的恢復(fù)力常數(shù)為的恢復(fù)力常數(shù)為 和和 ，試列出原子的運(yùn)動(dòng)方程并求出色散，試列出原子的運(yùn)動(dòng)方程并求出色散關(guān)系。關(guān)系。 123n-1nn+1 n+2N-1Na解：解： 此題為一維雙原子鏈。此題為一維雙原子鏈。設(shè)第設(shè)第2n1nn1nu,u,u,u 2n1,nn,1,n 個(gè)原子的個(gè)原子的位移分別為位移分別為。第第1n 與第與第1n 個(gè)原子屬個(gè)原子屬于同一原子，第于同一原子，第n與第與第2n 個(gè)原子屬于同一原子，個(gè)原子屬于同一原子，于是于是第第n和第和第1n 原子受的力分別為原子受的力分別為 1nn1n1n2nuuuuf n1n21n2n11

9、nuuuuf 其運(yùn)動(dòng)方程分別為其運(yùn)動(dòng)方程分別為 1nn1n1n22n2uuuudtudm n1n21n2n121n2uuuudtudm 設(shè)格波的解分別為設(shè)格波的解分別為 tqna21ita2nqinAeAeu tqna21itqba2nqi1nBeeBu代入運(yùn)動(dòng)方程，得代入運(yùn)動(dòng)方程，得 iqa122BeAABAm ABBAeBm2iqa12 整理得整理得 0BeAmiqa12221 0BmAe221iqa12 由于由于A和和B不可能同時(shí)為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即不可能同時(shí)為零，因此其系數(shù)行列式必定為零，即 iqa12221em 0me221iqa12 解上式可得解上式可得 212221

10、212222122qasin16m4m2m2m 21222121212qasin411m由上式可知，存在兩種獨(dú)立的格波。由上式可知，存在兩種獨(dú)立的格波。聲學(xué)格波的色散關(guān)系為聲學(xué)格波的色散關(guān)系為 21222121212A2qasin411m 21222121212O2qasin411m光學(xué)格波的色散關(guān)系為光學(xué)格波的色散關(guān)系為3.4 由原子質(zhì)量分別為由原子質(zhì)量分別為 兩種原子相間排列組成的一維復(fù)兩種原子相間排列組成的一維復(fù)式格子，晶格常數(shù)為式格子，晶格常數(shù)為 ，任一個(gè)原子與最近鄰原子的間距，任一個(gè)原子與最近鄰原子的間距為為 ，恢復(fù)力常數(shù)為，恢復(fù)力常數(shù)為 ，與次近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)，與次近鄰原子間

11、的恢復(fù)力常數(shù) ，試求試求Mm,ab12（1）格波的色散關(guān)系；）格波的色散關(guān)系；（2）求出光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率最大值和最小值。）求出光學(xué)波和聲學(xué)波的頻率最大值和最小值。解：解：（1）只考慮最近鄰原子的相互作用）只考慮最近鄰原子的相互作用 12n2n212n2n12nxxxxxM 2n12n122n12n212nxxxxxm 得得 naqtiqba22nti12nBeeBx naqtiaq22nti2nAeAex 將將 的值代回方程得到色散關(guān)系的值代回方程得到色散關(guān)系12n2nx,x 2aqsin16mM MmMm2mM2221212212（2）（a）當(dāng)上式?。┊?dāng)上式取+號時(shí)為光學(xué)波號時(shí)為光學(xué)波

12、cosaq18mM MmMm2mM221212212o 221212212min o16mM MmMm2mM當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：1cosaq 當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：1cosaq 21212max oMmMmMm2mM （b）當(dāng)?。┊?dāng)取-號時(shí)為聲學(xué)波號時(shí)為聲學(xué)波 cosaq18mM MmMm2mM221212212A當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：1cosaq 221212212max A16mM MmMm2mM當(dāng)當(dāng) 時(shí)：時(shí)：1cosaq 0min A 3.5 證明由證明由N個(gè)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)量為m的相同原子組成的一維單原子晶格，每的相同原子組成的一維單原子晶格，每單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為 2122m

13、2N 證明：證明：一維單原子鏈只有一支格波一維單原子鏈只有一支格波2aqsin2aqsinm2m 據(jù)模式密度的一般表示式據(jù)模式密度的一般表示式 sq3N13cqds2V（1）因?yàn)閷σ痪S單原子鏈波矢空間的波矢密度因?yàn)閷σ痪S單原子鏈波矢空間的波矢密度2L，且只有一支，且只有一支格波。格波。 所以由（所以由（1）式得）式得 2122mmq2a2aqcos2aq 得得 2122mq2Nq22L 3.6 設(shè)有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為設(shè)有一維連續(xù)介質(zhì)，介質(zhì)的彈性模量為E，線密度為，線密度為 試建立一維波動(dòng)方程并求彈性波傳播的相速度。試建立一維波動(dòng)方程并求彈性波傳播的相速度。，解：設(shè)有一坐標(biāo)為解：設(shè)有

14、一坐標(biāo)為x與與x+dx間的介質(zhì)元間的介質(zhì)元, t 時(shí)刻時(shí)刻x點(diǎn)處的位移為點(diǎn)處的位移為u=u(x,t), x+dx點(diǎn)處的位移為點(diǎn)處的位移為u+du。于是，應(yīng)變?yōu)?。于是，?yīng)變?yōu)閤ue 以以E表示彈性模量，按定義，表示彈性模量，按定義，efE 式中式中f是引起形變的力。作用在介質(zhì)元是引起形變的力。作用在介質(zhì)元dx上的凈力為上的凈力為dxxuExudxxuuxE22 設(shè)介質(zhì)的線密度為設(shè)介質(zhì)的線密度為 ，介質(zhì)元的質(zhì)量為，介質(zhì)元的質(zhì)量為 dx ，則有，則有 2222tudxdxxuE 即即2222tuExu (1)(1) 這就是連續(xù)介質(zhì)的波動(dòng)方程，其解為這就是連續(xù)介質(zhì)的波動(dòng)方程，其解為 tqxieutxu

15、 0,式中，式中， 為介質(zhì)彈性波的角頻率；為介質(zhì)彈性波的角頻率； 1 q為波矢；為波矢； 是波長。是波長。 將將u(x,t)代入代入(1)式，得到式，得到 txuEtxuq,22 即即 Eq 2因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為因此，一維介質(zhì)彈性波傳播的相速度為 Eq 3.7 證明一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程，在長波近似下，可以化成證明一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程，在長波近似下，可以化成彈性波方程彈性波方程22222xuvtu 解：解： 如果只計(jì)及近鄰原子間的相互作用，第如果只計(jì)及近鄰原子間的相互作用，第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為為 n1n1n2n22uuudtudm 因?yàn)橐驗(yàn)閚iqa-1nni

16、qa1nueuueu 所以第所以第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程化為個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程化為 niqa-iqa2n2u2eedtudm 在長波近似下，在長波近似下， 2iqaiqa21iqa1e0,qa 運(yùn)動(dòng)方程又化為運(yùn)動(dòng)方程又化為 n22niqa-iqa2n2uqau2eedtudm （1）在長波近似下，當(dāng)在長波近似下，當(dāng)l為有限整數(shù)時(shí)，為有限整數(shù)時(shí)，1limeuulimiqlanln 上式說明，上式說明，在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子在長波近似下，鄰近（在半波長范圍內(nèi)）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集體運(yùn)動(dòng)。以相同的振幅、相同的位相做集體運(yùn)動(dòng)。因此（因此（1）式可統(tǒng)一寫成）式可統(tǒng)一寫

17、成 ln222ln2uqadtudm 第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，正是由這些第二章中固體彈性理論所說的宏觀的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，正是由這些原子的整體的運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成。原子的整體的運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成。 這些原子偏離平衡位置的位移這些原子偏離平衡位置的位移lnu ，即是宏觀上的質(zhì)點(diǎn)位移，即是宏觀上的質(zhì)點(diǎn)位移u。 從宏觀上看，原子的位置從宏觀上看，原子的位置可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離可視為準(zhǔn)連續(xù)的，原子的分離 aln 可視為連續(xù)坐標(biāo)可視為連續(xù)坐標(biāo)x，即，即 uAeAeutqxitalnqiln 于是于是 22ln2xuuq （2）式化為）式化為22222xuvtu 其中其中mav 是用微觀參數(shù)表示的彈性波的

18、波速。是用微觀參數(shù)表示的彈性波的波速。3.8 設(shè)有一個(gè)由相同原子組成的二維正方點(diǎn)陣，原子質(zhì)量為設(shè)有一個(gè)由相同原子組成的二維正方點(diǎn)陣，原子質(zhì)量為M，晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為a，取近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，取近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為 ，設(shè)原子只作垂，設(shè)原子只作垂直表面的橫向振動(dòng)。試求直表面的橫向振動(dòng)。試求 2)長波極限下格波的傳播速度。長波極限下格波的傳播速度。 1)橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系；橫向晶格振動(dòng)的色散關(guān)系； mlmluuf,11 解：解：1)設(shè)設(shè) mlu，垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當(dāng)只考慮最近鄰原子間的垂直于晶格平面的位移，如圖所示。當(dāng)只考慮最近鄰原子間的互相作用時(shí)，由于（互相作用時(shí)，由

19、于（l+1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力代表第（代表第（l，m）個(gè)原子（第）個(gè)原子（第l行、行、m列的原子）列的原子）第（第（l1，m）原子對它的作用力）原子對它的作用力 mlmluuf, 1,2 而而1f和和2f方向是相反的。方向是相反的。（l，m1）原子對（）原子對（l，m）原子的）原子的3f和和 4f得第（得第（l，m）個(gè)原子所受的力）個(gè)原子所受的力，于是，于是 同樣處理（同樣處理（l，m+1）原子和）原子和作用力作用力a aa aml,m1,l m1,l 1ml, 1ml, 把把(1)式代入運(yùn)動(dòng)方程式代入運(yùn)動(dòng)方程FuMml , (2)(2) 并把試探解并把試探解 yxmaql

20、aqtimleuu 0, mlmlmlmliiuuuufF,1,141 1,1, mlmlmlmluuuu mlmlmlmlmlmluuuuuu,1,1, 1, 122 據(jù)此得色散關(guān)系據(jù)此得色散關(guān)系 yxaqaqMcoscos222 (3)(3) 2)長波極限下，長波極限下， yxaqaq 、都是小量都是小量 2xxaq211cosaq 2yyaq211cosaq 同時(shí)代入，消去公因子后得同時(shí)代入，消去公因子后得 42 yyxxiaqiaqiaqiaqeeeeM yxaqaqcoscos22 22222qMaqqMayx 所以所以 aqM 格波的傳播速度格波的傳播速度 Maq 可見，在長波極限

21、下，格波的傳播速度與波矢可見，在長波極限下，格波的傳播速度與波矢q無關(guān)。無關(guān)。(3)式變?yōu)槭阶優(yōu)?22221121122yxaqaqM 3.9 一維單原子鏈，原子質(zhì)量為一維單原子鏈，原子質(zhì)量為m，原子間距為，原子間距為a。計(jì)及所有原。計(jì)及所有原子間的長程作用，且最近鄰、子間的長程作用，且最近鄰、次近鄰、次次近鄰次近鄰、次次近鄰原子間原子間恢復(fù)力恢復(fù)力常數(shù)依次為常數(shù)依次為,3211）求格波的色散關(guān)系；）求格波的色散關(guān)系；2）若恢復(fù)力常數(shù)?。┤艋謴?fù)力常數(shù)取 papaqp0sin 式中，式中， oq常?！爆F(xiàn)象：當(dāng)現(xiàn)象：當(dāng) qqq20 ，pnx 解：解：1)設(shè)第設(shè)第n個(gè)原子對平衡位置的位移為個(gè)原子對平

22、衡位置的位移為 nx，第，第n+p和和n-p個(gè)個(gè)原子的位移分別記為原子的位移分別記為 pnx 和和 , 3 , 2 , 1 p，則第，則第n+p 為常數(shù)，為常數(shù)，p遍取所有的整數(shù)值，試證明遍取所有的整數(shù)值，試證明“科恩科恩(Kohn)反反。和第和第np個(gè)原子對第個(gè)原子對第n個(gè)原子的作用力可寫成個(gè)原子的作用力可寫成 pnnpnpnppxxxxf npnpnpxxx2 鏈上每個(gè)原子與第鏈上每個(gè)原子與第n個(gè)原子都有相互作用，故第個(gè)原子都有相互作用，故第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為方程應(yīng)為 002ppnpnpnppnxxxfxm 設(shè)試探解為設(shè)試探解為 naqtinAex 代入運(yùn)動(dòng)方程可得代入運(yùn)動(dòng)

23、方程可得 022pipaqipaqpeem 02cos2pppaq 故格波的色散關(guān)系為故格波的色散關(guān)系為 02cos12pppaqm 0221sin4pppaqm (1) 2)2)若若 papaqp0sin 代入代入(1)(1)式得式得 020221sinsin4ppaqpapaqm 00221cos21sinsin4ppaqpaqpaqmq 當(dāng)當(dāng) 0qq 時(shí)，由上式得到時(shí)，由上式得到 0022sin20pqpaqmq (2) (2) 因?yàn)橐驗(yàn)?0sin02 paq，(2)式的求和對無窮原子系列進(jìn)行，故式的求和對無窮原子系列進(jìn)行，故必有必有 02qq 2 或或 對對q的關(guān)系曲線在的關(guān)系曲線在

24、0qq 處有一條垂直的切線，即處有一條垂直的切線，即曲線在曲線在0q點(diǎn)處扭折，這就是點(diǎn)處扭折，這就是“科恩反?？贫鞣闯！爆F(xiàn)象?，F(xiàn)象。 3.10 設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為h21，試用德拜模型，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。解：解： d9Nd23D d h21E000 429Nhd29Nh4D3D033D0 DBDNk89Nh89 BDBDDkhk由由所以所以3.11 已知一個(gè)頻率為已知一個(gè)頻率為i 的簡諧振動(dòng)在溫度的簡諧振動(dòng)在溫度T下的平均能量為下的平均能量為121 TkiiiBie 試用愛因斯坦模型求出由試用愛因斯坦模型求出由N個(gè)原子組

25、成的單原子晶體晶格振個(gè)原子組成的單原子晶體晶格振動(dòng)的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。動(dòng)的總能量，并求其在高溫和低溫極限情況下的表達(dá)式。解：由解：由N個(gè)原子組成的單原子晶體共有個(gè)原子組成的單原子晶體共有3N個(gè)自由度，獨(dú)立晶格個(gè)自由度，獨(dú)立晶格振動(dòng)方式數(shù)也等于振動(dòng)方式數(shù)也等于3N，晶體振動(dòng)的總能量便等于晶體振動(dòng)的總，晶體振動(dòng)的總能量便等于晶體振動(dòng)的總能量便等于這能量便等于這3N個(gè)諧振動(dòng)的能量之和，即個(gè)諧振動(dòng)的能量之和，即 NiTkiiNiiBieE3131121 依照愛因斯坦模型，依照愛因斯坦模型， N321，于是上式變?yōu)?，于是上式變?yōu)?1213TkBeNE 1213TkBBBBeT

26、kTkTNk 123xBexxTNk (1)(1) ； 式中式中 TTkxEB BEk 是愛因斯坦是愛因斯坦特征溫度。特征溫度。在高溫極限下，在高溫極限下，x1， xxee 1，從，從(1)式得式得 xBxexTNkE23TEBEBEeNkkN 3233.12 試用德拜模型求試用德拜模型求 解上題。解上題。解：按照德拜模型，頻率在解：按照德拜模型，頻率在 d 之間的獨(dú)立振動(dòng)方式之間的獨(dú)立振動(dòng)方式數(shù)等于數(shù)等于 dNdgD239 (1)(1) 式中式中 D 是德拜截止頻率。因?yàn)閱卧泳w晶格振動(dòng)的總能量是德拜截止頻率。因?yàn)閱卧泳w晶格振動(dòng)的總能量 NiTkiiBieE31121 當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)，格

27、波的頻率分布是準(zhǔn)連續(xù)的，故上式可用下列很大時(shí)，格波的頻率分布是準(zhǔn)連續(xù)的，故上式可用下列積分計(jì)算：積分計(jì)算： dgeEDBTk 0121 deNDBTkD 03331219， 令令 TkxB TDD （D 是德拜特征溫度）將是德拜特征溫度）將上式化簡為上式化簡為 TxDBDdxexxTTNkE 0333129 TxDBDBDdxexTTNkkN0331989(2) (2) 對于高溫極限，對于高溫極限，x1，(2)式中的積分上限式中的積分上限 TD，而且，而且 1111nnxxxxeeee此時(shí)此時(shí)(2)式中的積分變?yōu)槭街械姆e分變?yōu)?103031nTnxxDdxexdxex1590616144141

28、034 nnTyndyeynD因此，從因此，從(2)式求得式求得1598943 DBDBTTNkkNE345389 DBDBTTNkkN 上式表示，在德拜模型中，低溫時(shí)晶格振動(dòng)能與溫度的上式表示，在德拜模型中，低溫時(shí)晶格振動(dòng)能與溫度的4次方次方成正比。成正比。3.13 求頻率在求頻率在 到到 d 間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動(dòng)間隔內(nèi)的聲子數(shù)，并寫出固體振動(dòng)能的表達(dá)式。能的表達(dá)式。解：按照德拜理論，在頻率解：按照德拜理論，在頻率 dvvv 間隔內(nèi)的獨(dú)立振動(dòng)方式間隔內(nèi)的獨(dú)立振動(dòng)方式數(shù)為數(shù)為 dvvvNdvvgD239 式中，式中， Dv為截止頻率；為截止頻率；N為晶體包含的原子數(shù)。達(dá)到熱平衡時(shí)，為

29、晶體包含的原子數(shù)。達(dá)到熱平衡時(shí)， 頻率為頻率為v的振動(dòng)在溫度的振動(dòng)在溫度T時(shí)平均激發(fā)的聲子數(shù)時(shí)平均激發(fā)的聲子數(shù) 11 TkhvBen。 因此，在頻率因此，在頻率 dvvv 間隔內(nèi)的聲子數(shù)為間隔內(nèi)的聲子數(shù)為 dvevvNdvvgednTkhvDTkhvvBB191123 每個(gè)聲子的能量等于每個(gè)聲子的能量等于hv， vdn個(gè)聲子所具有的總能量個(gè)聲子所具有的總能量dvevvNhhvdndETkhvDvB1933 由此求得晶體總振動(dòng)能（略去零點(diǎn)能）由此求得晶體總振動(dòng)能（略去零點(diǎn)能） DBvTkhvDdvevvNhdEE03319 TxDBDdvexTTNk03319式中式中 TkhvxB ，（，（ B

30、Dkhv 是德拜溫度）。是德拜溫度）。 上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，上式中的積分一般的不能用解析方法求得，但在極限的情況下，它有如下簡單的結(jié)果：它有如下簡單的結(jié)果：在高溫極限下：在高溫極限下： TDxDTdxex033311在低溫極限下：在低溫極限下： TxDdxex043151 代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動(dòng)能代入上式，得到晶體在高溫極限下的總振動(dòng)能 TNkEB3 低溫極限下的總振動(dòng)能低溫極限下的總振動(dòng)能3453 DBTTNkE 3.17 3.17 對于對于NaClNaCl晶體，已知恢復(fù)力常數(shù)晶體，已知恢復(fù)力常數(shù) ，試分別求出試分別求出NaClNaCl晶體

31、中光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波的最高頻率和晶體中光學(xué)支格波和聲學(xué)支格波的最高頻率和最低頻率。（已知最低頻率。（已知ClCl和和NaNa的原子量分別為的原子量分別為35.535.5和和23.023.0）cmdyn4105 . 1 解：因?yàn)橐痪S雙原子晶體的色散關(guān)系為解：因?yàn)橐痪S雙原子晶體的色散關(guān)系為 212222cos2aqMmmMmMMm 在本題設(shè)下，式中在本題設(shè)下，式中m、M分別代表分別代表Na、CL原子的質(zhì)量。當(dāng)括號原子的質(zhì)量。當(dāng)括號內(nèi)取內(nèi)取“+”號時(shí)代表光學(xué)支號時(shí)代表光學(xué)支 ，取，取“”號時(shí)代表聲學(xué)支號時(shí)代表聲學(xué)支 。從。從上式得知，光學(xué)支的最大頻率是上式得知，光學(xué)支的最大頻率是 21max11

32、2 Mm 由于由于 gm241066. 10 .23 ， gM241066. 15 .35 ，因而得，因而得 21244max1066. 15 .35166. 10 .231105 . 12 srad131060. 3 而光學(xué)支的最小頻率是而光學(xué)支的最小頻率是 212821min1066. 10 .235 . 122 m srad131080. 2 聲學(xué)支的最大頻率是聲學(xué)支的最大頻率是 212821max1066. 15 .355 . 122 M srad131026. 2 （1）NaCl的恢復(fù)力常數(shù)；的恢復(fù)力常數(shù)； （2）長聲學(xué)波的波速；）長聲學(xué)波的波速； （3）NaCl的彈性模量。的彈性模

33、量。已知已知Cl和和Na的原子量分別為的原子量分別為35.5和和23.0。3.18 對對 于于 NaCl 晶晶 體，測體，測 知知 其其 密密 度度 ，正，正 負(fù)負(fù) 離離子子 的的 平平 衡衡 距距 離離 ，光，光 學(xué)學(xué) 支支 格格 波波 的的 最最 高高 頻頻 率為率為 。試以一維雙原子晶鏈模型計(jì)算：。試以一維雙原子晶鏈模型計(jì)算： 318. 2cmg 101081. 2 a srad18max1060. 3 解：解：(1)對于一維雙原子鏈，格波光學(xué)支的最高頻率為對于一維雙原子鏈，格波光學(xué)支的最高頻率為 21max112 Mm (1) 式中，式中， 為原子間的恢復(fù)力常數(shù)；為原子間的恢復(fù)力常數(shù)；

34、m、M分別代表兩種原子的質(zhì)分別代表兩種原子的質(zhì)量。對于量。對于NaCL，已知，已知Na原子質(zhì)量原子質(zhì)量 ，CL原原子質(zhì)量子質(zhì)量 ，平衡時(shí)，平衡時(shí)， 和和 的距離為的距離為 ， 。因此，從。因此，從(1)式可得其式可得其恢復(fù)力常數(shù)恢復(fù)力常數(shù) gm241066. 10 .23 g1066. 15 .35M24 Na Clm101081. 2 srad18max1008. 3 MmmM max221 2621060. 321 5 .350 .235 .350 .23241066. 1 cmdyn4105 .1 (2)(2)對于聲學(xué)波，在長波極限下，其傳播速度為對于聲學(xué)波，在長波極限下，其傳播速度為

35、212 Mma 所以所以 2124481066. 15 .350 .23105 . 121081. 2 smscm49401094. 45 (3)(3)有彈性波理論知道，波速有彈性波理論知道，波速 E 式中，式中，E E是介質(zhì)的彈性模量；是介質(zhì)的彈性模量； 為介質(zhì)密度。為介質(zhì)密度。 211252102 . 51094. 418. 2cmdynE ， 318. 2cmg 故有故有 已知已知3.19 設(shè)一維晶鏈由二價(jià)正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互設(shè)一維晶鏈由二價(jià)正離子組成，晶鍵靠離子之間的相互斥力而達(dá)到平衡。離子的質(zhì)量為斥力而達(dá)到平衡。離子的質(zhì)量為kg27107 . 1 ，平衡時(shí)的離子，平衡時(shí)的

36、離子 間距為間距為 m10100 . 5 。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。試求縱向格波的最高頻率和最大波速。 解：解： , 3 , 2 , 1 n表示；表示；n1-n1n 2-n2n anx1-nx1nx 2-nx2nx 如圖所示，離子的坐標(biāo)由如圖所示，離子的坐標(biāo)由na由于熱由于熱運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，nx , 3 , 2 , 1 n。庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為庫侖定律，兩粒子間的互相斥力為222422rekreekf 式中，式中，k k為靜電衡量；為靜電衡量；r r為離子間距。為離子間距。 21221244 nnnnnxxaekxxaekxm 2122122444nnnnxxaexxaeke(

37、1)(1) 因?yàn)殡x子偏離平衡位置的熱動(dòng)動(dòng)只是一種微振動(dòng)，可將因?yàn)殡x子偏離平衡位置的熱動(dòng)動(dòng)只是一種微振動(dòng)，可將(1)(1)式式括號中的項(xiàng)在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計(jì)及一次項(xiàng)括號中的項(xiàng)在平衡位置附近按泰勒級數(shù)展開，并只計(jì)及一次項(xiàng)它們離開平衡位置的位移記為它們離開平衡位置的位移記為根據(jù)根據(jù)相互作用，運(yùn)動(dòng)方程可表述為相互作用，運(yùn)動(dòng)方程可表述為如果只考慮相鄰離子間的如果只考慮相鄰離子間的則有則有 212212211114axxaaxxakexmnnnnn 2121221214aaxxaaxxkennnn nnnxxxake 11328令試探解為令試探解為 naqtinAex （2 2）式中，式中

38、，A、 、q分別為振幅、角頻率和波矢。分別為振幅、角頻率和波矢。式得出式得出 aqakeeeakemiaqiaq21sin3228232322 即即 aqaqmake21sin21sin3222max2322 式中式中 max 為格波的最高角頻率：為格波的最高角頻率： 2122132max2432 makeamake （3）把上式代入把上式代入(2)把下列數(shù)據(jù)代入：把下列數(shù)據(jù)代入：mJke 2821030. 2ma10105 kggm2724107 .1107 .1 得到得到 srad142110272810max108 . 1105107 . 11030. 221054 最大波速對應(yīng)于長波極

39、限下的波速。最大波速對應(yīng)于長波極限下的波速。 此時(shí)此時(shí)q q很小，很小，(3)(3)式給出式給出 qamax21 于是，得到最大波速為于是，得到最大波速為maxmaxmax221 aqqaq sm41410105 . 4108 . 12105 3.21 試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù)試用一維單原子鏈模型證明：格林愛森系數(shù) 是一是一 個(gè)常數(shù)。個(gè)常數(shù)。 證明：對于一維單原子鏈，格波的色散關(guān)系為證明：對于一維單原子鏈，格波的色散關(guān)系為 aqm21sin422 (1) 式中，式中， 為晶鏈近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)；為晶鏈近鄰原子間的恢復(fù)力常數(shù)；m為晶格原子的質(zhì)為晶格原子的質(zhì) 量；量；a是原子間距

40、；是原子間距；q為格波的波矢。為格波的波矢。因而因而aq=S/N是一個(gè)與原子間距是一個(gè)與原子間距a無關(guān)的參量，可以把無關(guān)的參量，可以把(1)式寫成式寫成矢矢q只能取分立值只能取分立值 Nasq ，且，且 22NSN （S為整數(shù)），為整數(shù)），設(shè)晶鏈包含設(shè)晶鏈包含N個(gè)原子，波個(gè)原子，波 aqm21sin422(2) 此處此處 aqm21sin42 是一個(gè)與是一個(gè)與a無關(guān)的量，頻率無關(guān)的量，頻率 對原子間距對原子間距a的關(guān)系是通過恢復(fù)力的關(guān)系是通過恢復(fù)力 常數(shù)常數(shù) 相關(guān)聯(lián)的。相關(guān)聯(lián)的。對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù)對于一維單原子鏈，格林愛森常數(shù) Naddlnln lnln21ln (3) 由由(2)

41、式得式得Na為晶鏈的長度。把為晶鏈的長度。把(3)式代入即得式代入即得 dadaaddaNdd 2lnlnlnlnlnln21 (4) 注意到恢復(fù)力常數(shù)注意到恢復(fù)力常數(shù) 是晶格原子互作用能是晶格原子互作用能U的二次微商，的二次微商， 即即 UdaUd 22 因而因而 UdaUddad 故故(4)(4)式可寫作式可寫作UUa 2 因?yàn)閷τ谝阎Ц瘢驗(yàn)閷τ谝阎Ц瘢?U 和和 U 是確定的數(shù)，因此是確定的數(shù)，因此 也是確定也是確定的常數(shù)。此外，的常數(shù)。此外， 的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項(xiàng)引起的，的出現(xiàn)是由于互作用能中的非諧項(xiàng)引起的，如果晶體做嚴(yán)格的諧振動(dòng)，則如果晶體做嚴(yán)格的諧振動(dòng)，則 0 U，

42、必有，必有 0 。 3.22 3.22 證明：固體的體脹系數(shù)證明：固體的體脹系數(shù) ，體積，體積V V和體積彈性模量和體積彈性模量K K間間滿足格林愛森關(guān)系：滿足格林愛森關(guān)系：KVCV 。式中，。式中， VC為固體的定容為固體的定容熱容量；熱容量； 是格林愛森常數(shù)。是格林愛森常數(shù)。 證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)證明：按定義，晶體的體脹系數(shù)pTVV 1 使用熟知的循環(huán)關(guān)系式使用熟知的循環(huán)關(guān)系式 1 TVpVPPTTV上式化為上式化為TVpPVTPVTVV 11 VTVTPKVPTPV 11(1)(1) 式中式中 TVPVK 是體積彈性模量。是體積彈性模量。對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程：對于晶體，有格林愛森常數(shù)狀態(tài)方程： VEdVVdUP (2) 式中，式中，U(V)是是0K時(shí)晶體的互作用能，時(shí)晶體的互作用能， E為晶體熱振動(dòng)的平均為晶體熱振動(dòng)的平均 總