高三導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、考試要求了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)），會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三、雙基透視導(dǎo)數(shù)是微

2、積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題：（1）刻畫(huà)函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問(wèn)題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便）等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類型。2導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。3曲線的切線用割線的極限位置來(lái)定義了曲線的切線切線方程由曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)確定，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為：4瞬時(shí)速度用物體在一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)的平均速度的極限來(lái)定義瞬時(shí)速度，5導(dǎo)數(shù)的定義

3、對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)的概念，如果x0時(shí)，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，才能得到f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(3)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：(a)求函數(shù)的增量；(b)求平均變化率；(c)取極限，得導(dǎo)數(shù)。6導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如

4、果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為7、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。當(dāng)時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性

5、。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，已知（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為一個(gè)區(qū)間，否則，不能合并，區(qū)間之間要用逗號(hào)隔開(kāi)。8、已知（1）若恒成立 為上 對(duì)任意 不等式 恒成立（

6、2）若恒成立 在上 對(duì)任意不等式 恒成立四、熱點(diǎn)題型分析題型一：基本導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)用：例1 求下列式子的導(dǎo)數(shù):,題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程例2已知函數(shù)，當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，)處的切線方程；解：（I）當(dāng)時(shí)，由于所以曲線處的切線方程為。即例3.在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當(dāng)x0=-1時(shí)，k有最小值3，此時(shí)P的坐標(biāo)為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-11=0例4.曲線y=x3在點(diǎn)（3，27）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是多少?剖析：求出切線的方程后再求切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).解：曲線在點(diǎn)（3，27）處切線的方程為y=27

7、x54，此直線與x軸、y軸交點(diǎn)分別為（2，0）和（0，54），切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是S=×2×54=54.例5.已知曲線C：y=x33x2+2x，直線l：y=kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)（x0，y0）（x00），求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).剖析：切點(diǎn)（x0，y0）既在曲線上，又在切線上，由導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率.聯(lián)立方程組解之即可.解：直線過(guò)原點(diǎn)，則k=（x01）.由點(diǎn)（x0，y0）在曲線C上，則y0=x033x02+2x0，=x023x0+2.又y=3x26x+2，在（x0，y0）處曲線C的切線斜率應(yīng)為k=（x0）=3x026x0+2.x023x0+2=3x026x0

8、+2.整理得2x023x0=0.解得x0=（x00）.這時(shí)，y0=，k=.因此，直線l的方程為y=x，切點(diǎn)坐標(biāo)是（，）.評(píng)述：對(duì)于高次函數(shù)凡涉及到切線或其單調(diào)性的問(wèn)題時(shí)，要有求導(dǎo)意識(shí).例6.若直線y=3x+1是曲線y=x3a的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值.解：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），對(duì)y=x3a求導(dǎo)數(shù)是=3x2，3x02=3.x0=±1.（1）當(dāng)x=1時(shí)，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3a上，4=13a.a=3.（2）當(dāng)x=1時(shí)，P（x0，y0）在y=3x+1上，y=3×（1）+1=2，即P（1，2）.又

9、P（1，2）也在y=x3a上，2=（1）3a.a=1.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為3或1.例7已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。求的方程；解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。例8.已知函數(shù)，。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（）（i）由得=，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。例9.已知函數(shù)，求()的單調(diào)區(qū)間。解：當(dāng)時(shí)，因此在區(qū)間上，；在區(qū)間上，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，得;因此，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，；即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，.的遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得；因此，在區(qū)間和上，在區(qū)間上，；即函數(shù)

10、的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。例10.已知函數(shù),且(1) 試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；依題意,得由.從而令當(dāng)a>1時(shí),當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：x+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R當(dāng)時(shí)，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.例11.設(shè)函數(shù)。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值?！窘馕觥靠疾楹瘮?shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)。

11、 解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域?yàn)椋?，2）（1） 單調(diào)性的處理，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行穿線判別符號(hào)完成。當(dāng)a=1時(shí)，令當(dāng)為增區(qū)間；當(dāng)為減函數(shù)。（2） 區(qū)間上的最值問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值。當(dāng)有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點(diǎn)取到。例12.已知函數(shù)其中實(shí)數(shù)。（I） 若a=-2，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II） 若在x=1處取得極值，試討論的單調(diào)性。例13.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若對(duì)x,4時(shí)，f（x）c恒成立，求c的取值范圍.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（

12、x）=2a+.f（x）在x=1與x=處取得極值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分別為1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=（2x1）（x+1）.當(dāng)x,時(shí)，f（x）0;當(dāng)x,4時(shí)，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的極小值.又只有一個(gè)極小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范圍為c3ln2.例14.已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱.（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:（1）設(shè)f（x）

13、圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)（x,y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（x,2y）在h（x）圖象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+,g（x）=1,g（x）在（0，2上遞減，10在x（0,2時(shí)恒成立,即ax21在x（0,2）時(shí)恒成立.x（0,2時(shí)，（x21） max=3,a3.例15.已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1 （）若函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式； （）在（）的條件下，求函數(shù)在3，1上的最大值； （）若函數(shù)在區(qū)間2，1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍 解：（1）由過(guò)的切線方程為：而過(guò)故由得 a=2，b=4，c=5 （2）當(dāng) 又在3，1上最大值是13。 （3）y=f(

14、x)在2，1上單調(diào)遞增，又由知2a+b=0。依題意在2，1上恒有0，即當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是例16.已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問(wèn) 是否存在實(shí)數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù)解(1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(

15、x)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存在，則(x)=4x3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，(x)0即4x3+2(2)x0對(duì)于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當(dāng)1x0時(shí)，(x)0即4x2+2(2)x0對(duì)于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當(dāng)=4時(shí)，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在例17.已知三次函數(shù)在和時(shí)取極值，且(1) 求函數(shù)的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，試求、?yīng)滿足

16、的條件解：(1) ，由題意得，是的兩個(gè)根，解得，再由可得(2) ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間上是增函數(shù)函數(shù)的極大值是，極小值是(3) 函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位得到的，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋ǎ┒?，即于是，函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)榱畹没蛴傻膯握{(diào)性知，即綜上所述，、應(yīng)滿足的條件是：，且例18.已知函數(shù)f(x)=x33x2axb在x(1，f(1)處的切線與直線12xy10平行（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解：（1） f(x)3

17、x26xa f(1)3a=12,a=9（2） f(x)3x26x9令f (x)<0，解得x<1或x>3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1），（3，）（3）因?yàn)閒(2)81218b=2b，f(2)81218b22b，所以f(2)>f(2)因?yàn)樵冢?，3）上f (x)>0，所以f(x)在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在2，1上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2，2上的最大值和最小值，于是有 22b20，解得 b2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2，2上的最小值為7例19.已知函數(shù)在處取得極值，（

18、1）用表示；（2）設(shè)函數(shù)如果在區(qū)間上存在極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1） （2）由已知令0若,則當(dāng)時(shí)，>0；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，在有極小值.同理當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在有極小值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在有極小值.例20.已知(1)當(dāng)時(shí), 求證在內(nèi)是減函數(shù);(2)若在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn), 求a的取值范圍.解: (1) , 又二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,在內(nèi), 故在內(nèi)是減函數(shù).(2)設(shè)極值點(diǎn)為則當(dāng)時(shí), 在內(nèi)在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).當(dāng)時(shí)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn). 當(dāng)時(shí),同理可知,在內(nèi)且只有一個(gè)極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí),由(1)知在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn). 故所求a的取值范圍為例21.：設(shè)函數(shù)（1

19、）若的圖象與直線相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且在處取極值，求實(shí)數(shù) 的值；（2）當(dāng)b=1時(shí)，試證明：不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)解：（1）由題意，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）當(dāng)b=1時(shí)，因故方程有兩個(gè)不同實(shí)根不妨設(shè)，由可判斷的符號(hào)如下：當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)因此是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，當(dāng)b=1時(shí)，不論a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍例22.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=±1時(shí)取得極值，且f(1)=1(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由命題意圖利用一階導(dǎo)

20、數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值的方法是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的繼續(xù)深入是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)極值的判定，可使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的理解知識(shí)依托解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化這是解答本題的閃光點(diǎn)錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)是在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用f(±1)=例20：已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍（2）若，（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）證明對(duì)任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實(shí)數(shù)解，所以的取值范圍是，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易

21、知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值對(duì)任意，恒有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且。0的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙技巧與方法考查函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，建立由極值點(diǎn)x=±1所確定的相等關(guān)系式，運(yùn)用待定系數(shù)法求值解(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，x=±1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1, 由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當(dāng)x1或x1時(shí)，

22、f(x)0當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=1例23：設(shè)在上是單調(diào)函數(shù).（1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1） 若在上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須這樣的實(shí)數(shù)a不存在.故在上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，由于.從而0<a3.例24：設(shè)函數(shù)。（1） 若，求的單調(diào)區(qū)間；（2） 若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加（II）由（I）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是當(dāng)時(shí)，.由可得.從而當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，于

23、是當(dāng)時(shí)，.綜合得的取值范圍為.例25：設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值.（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定a的取值范圍.解：（1）=，令得列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）-0+0-極小極大在（a，3a）上單調(diào)遞增，在（-，a）和（3a，+）上單調(diào)遞減時(shí)，時(shí)，（2），對(duì)稱軸，在a+1，a+2上單調(diào)遞減 ，依題，即解得，又a的取值范圍是例26：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。 解：，判別式 若，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以符合題意。 若，恒有，在上為增函數(shù)，所以符合題意。 若即都是增函數(shù)，只須，又所以綜上：的取值范圍為例27：已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)（）對(duì)滿足的一切的值，都

24、有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)的圖象與直線 只有一個(gè)公共點(diǎn)解：（）由題意 令，對(duì)，恒有，即 即 解得故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有（）當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)時(shí)，列表： 極大極小又的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，恒有由題意得即解得 ；綜上，的取值范圍是例28已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值（）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函

25、數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根例29：已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t23)，=-k+t，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況. 解：(1)，=0 即+(t2-3) ·(-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)·=0=0，=4，=1，上式化為-4k+t(

26、t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)= t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖1321所示，可觀察出：(1)當(dāng)k或k時(shí),方程f(t)k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=時(shí),

27、方程f(t)k=0有兩解；(3) 當(dāng)k時(shí),方程f(t)k=0有三解.例30：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求的極值；（）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)解：令，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示+00+極大值極小值所以的極大值=，極小值。（2），所以當(dāng)時(shí)曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。所以當(dāng)時(shí)曲線軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。例31：已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若曲線上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（）由題設(shè)知.令.當(dāng)（i）a>0時(shí)，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（i i）當(dāng)a0時(shí)，若，則，所以在區(qū)間

28、上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).（）由（）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因?yàn)榫€段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以.即所以.故.解得1a0或3a4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1，0)3，4.題型六：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合例32：設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間與極值；()求證：當(dāng)且時(shí)，。例33：設(shè)函數(shù)（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及分類討論的思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能

29、力.【參考答案】例34：設(shè)，是曲線在點(diǎn)處的切線方程，并設(shè)函數(shù)。（I）用，表示；（II）證明：當(dāng)時(shí)，；解：（I）；（II）令，令，因遞減，所以遞增，當(dāng)當(dāng)，所以是唯一極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn)，所以得；當(dāng)時(shí)，；題型七：導(dǎo)數(shù)與解析幾何、立體幾何的結(jié)合。例35.： 所以如圖所示，曲線段OMB是函數(shù)的圖像，軸于A，曲線段OMB上一點(diǎn)處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q.（1）試用表示切線PQ的方程；（2）設(shè)QAP的面積為，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，試求出的最小值；O0OPMBQxyA(6, 0)（3），試求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）切線PQ的方程 （2）令y=0得由解得 . 又0<t<6, 4<t<6， g (t)在(m, n)上單調(diào)遞減，故（m, n）（3）當(dāng)在（0，4）上單調(diào)遞增，P的橫坐標(biāo)的取值范圍為. 例36：用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容