專(zhuān)題幾何最值問(wèn)題含詳細(xì)答案

1、專(zhuān)題10 幾何最值問(wèn)題【十二個(gè)基本問(wèn)題】1如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為（）A B11cm C13cm D17cm第1題 第2題 第3題 第4題2已知圓錐的底面半徑為r20cm,高h(yuǎn)，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，螞蟻爬行的最短距離為_(kāi)3如圖，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，則EF的最小值為（）A2B2.2C2.4D2.54如圖，在矩形ABCD中，AB10，BC5若點(diǎn)M、N分別是線段AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BMMN

2、的最小值為（）A10B8C5D65如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角處（1）請(qǐng)你畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；（2）當(dāng)AB4,BC5時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到最短路徑的距離6如圖，已知P為AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且AOB30°，點(diǎn)、分別在OA、OB上，求作點(diǎn)、使的周長(zhǎng)最小，連接OP，若OP10cm，求的周長(zhǎng)7如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AEDF連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是_ 第7題 第8題 第9題8如圖

3、，在等腰RtABC中,BAC90°,ABAC,BC點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為 9如圖，O的半徑為1，弦AB1，點(diǎn)P為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn),ACAP交直線PB于點(diǎn)C，則ABC的最大面積是（）A B C D10如圖，已知拋物線y與一直線相交于A(1，0)，C(2，3)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)M(3，m)，求使MNMD的值最小時(shí)m的值；(3)若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能

4、，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值11如圖，拋物線l交x軸于點(diǎn)A(3，0)、B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)將拋物線l沿y軸翻折得拋物線(1)求的解析式；(2)在的對(duì)稱(chēng)軸上找出點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說(shuō)出理由；(3)平行于x軸的一條直線交拋物線于E、F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑12(2016朝陽(yáng)）小穎在學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間線段最短”查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)：ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小【特例】如圖1，點(diǎn)P為等邊ABC的中心，將ACP繞

5、點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ADE,從而有DEPC，連接PD得到PDPA，同時(shí)APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四點(diǎn)共線，故PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一點(diǎn)P，易知點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角不相等，可證明B、P、D、E四點(diǎn)不共線，所以PAPBPCPAPBPC,即點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小13問(wèn)題提出（1）如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，填空：當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）問(wèn)題探究（2）點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=6，AB=3

6、，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE，找出圖中與BE相等的線段，請(qǐng)說(shuō)明理由，并直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值問(wèn)題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，BPM=90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)如圖4，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BC=4，若對(duì)角線BDCD于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)角線AC的最大值14如圖所示，已知拋物線ya(x3)(x1)(a0)，與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)

7、A的直線y與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？答案1平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題解：如圖所示：長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm,高為5cmPA424212(cm),QA5cm,PQ13cm故選：C2解：設(shè)扇形的圓心角為n，圓錐的頂為E

8、,r20cm,h由勾股定理可得母線l80cm,而圓錐側(cè)面展開(kāi)后的扇形的弧長(zhǎng)為2×20n90°即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AA'答：螞蟻爬行的最短距離為故答案為：3解：連接AP,在ABC中，AB3,AC4,BC5，即BAC90°又PEAB于E,PFAC于F，四邊形AEPF是矩形，EFAP，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4,EF的最小值為2.4,故答案為：2.44解：過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點(diǎn)，過(guò)E作EF垂直AB交AB于F點(diǎn)，ACAC邊上的高為所以BEABCEFB,即EF8故選：B5解：（1）如圖，木柜的表

9、面展開(kāi)圖是矩形或故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的或（2）螞蟻沿著木柜表面矩形爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是螞蟻沿著木柜表面矩形矩形爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)螞蟻沿著木柜表面爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是故最短路徑的長(zhǎng)是（3）作于E，是公共角，即則為所求6解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M、N，連接MN，分別交OA、OB于點(diǎn)、連接OM、ON、此時(shí)的周長(zhǎng)最小的周長(zhǎng)MN，M、N分別是P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，MOAAOP,NOBPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30°,MON2×30°60°,OMN是等邊三角形，又的周長(zhǎng)MN，MNP的周長(zhǎng)MNMOPO10cm7解：

10、在正方形ABCD中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE和DCF中,ABEDCF(SAS),12,在ADG和CDG中,ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90°,1BAH90°,AHB180°90°90°,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,則OHAO1,在RtAOD中,OD根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OHDHOD,當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí),DH的長(zhǎng)度最小,最小值ODOH(解法二：可以理解為點(diǎn)H是在RtAHB,AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí),DH長(zhǎng)度最小)故答案為：8 解：連結(jié)AE，如圖1，BAC90°,A

11、BAC,BCABAC4，AD為直徑，AED90°,AEB90°,點(diǎn)E在以AB為直徑的O上，O的半徑為2，當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2,在RtAOC中，OA2,AC4，OCCEOCOE即線段CE長(zhǎng)度的最小值為故答案為9解：連結(jié)OA、OB，作ABC的外接圓D，如圖1，OAOB1,AB1，OAB為等邊三角形，AOB60°,APB30°,ACAP,C60°,AB1，要使ABC的最大面積，則點(diǎn)C到AB的距離最大，ACB60°,點(diǎn)C在D上，ADB120°,如圖2，當(dāng)點(diǎn)C優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C到AB的距離最大，此時(shí)ABC為等邊三

12、角形，且面積為ABC的最大面積為故選：D10 解：(1)由拋物線y過(guò)點(diǎn)A(1,0)及C(2,3)得,解得 ,故拋物線為y又設(shè)直線為ykxn過(guò)點(diǎn)A(1,0)及C(2,3)得,解得 故直線AC為yx1;(2)如圖1,作N點(diǎn)關(guān)于直線x3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,則N(6,3),由(1)得D(1,4),故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y當(dāng)M(3,m)在直線DN上時(shí),MNMD的值最小,則m(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),點(diǎn)E在直線AC上,設(shè)E(x,x1),如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E上方,則F(x,x3),F在拋物線上,x3解得,x0或x1(舍去)E(0,1);當(dāng)點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長(zhǎng)線

13、上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E下方,則F(x,x1)由F在拋物線上x(chóng)1解得x或x或綜上,滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1)、或(4)方法一：如圖3,過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G,設(shè)Q(x,x1),則PQ又面積的最大值為方法二：過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q,交x軸于點(diǎn)H；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G,如圖3,設(shè)Q(x,x1),則又S_(APH)S_(直角梯形PHGC)S_(AGC)APC的面積的最大值為11解：(1)如圖1所示,設(shè)經(jīng)翻折后,點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、依題意,由翻折變換的性質(zhì)可知點(diǎn)坐標(biāo)不變,因此,拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn),設(shè)拋物線的解析式為y則有：,解得a1,b2,c3,故拋物

14、線的解析式為：y(2)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x1,如圖2所示,連接并延長(zhǎng),與對(duì)稱(chēng)軸x1交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求此時(shí)設(shè)P為對(duì)稱(chēng)軸x1上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn),則有：|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形兩邊之差小于第三邊),故即最大設(shè)直線的解析式為ykxb,則有：,解得kb3,故直線的解析式為：y3x3令x1,得y6,故P(1,6)(3)依題意畫(huà)出圖形,如圖3所示,有兩種情況當(dāng)圓位于x軸上方時(shí),設(shè)圓心為D,半徑為r,由拋物線及圓的對(duì)稱(chēng)性可知,點(diǎn)D位于對(duì)稱(chēng)軸x1上,則D(1,r),F(1r,r)點(diǎn)F(1r,r)在拋物線y上,r化簡(jiǎn)得：0解得 ( gh(17)1)/(2)(舍去),此圓的半徑為當(dāng)圓位于x

15、軸下方時(shí),同理可求得圓的半徑為綜上所述,此圓的半徑為或12解：（1）如圖1，將ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ADE,PAD60°,PACDAE,PADA、PCDE、APCADE120°,APD為等邊三角形，PAPD,APDADP60°,APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四點(diǎn)共線，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC的值最?。?）方法一：如圖2，分別以AB、BC為邊在ABC外作等邊三角形，連接CD、AE交于點(diǎn)P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60°,ABED

16、BC,在ABE和DBC中， ，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60°,在DO上截取DQAP，連接BQ，在ABP和DBQ中， ，ABPDBQ(SAS), BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60°,PBAQBA60°,即PBQ60°,PBQ為等邊三角形，PBPQ，則PAPBPCDQPQPCCDAE，在RtACE中，AC6、CE8，AECD10，故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值為10方法二：如圖3，由（2）知，當(dāng)APBAPCBPC120°時(shí),APBPPC的值最小，把CPB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

17、;得CPB,由（2）知A、P、P、B共線，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30°,ACB90°,AB1013解：（1）點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BCa,ABb，當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BCABab,故答案為：CB的延長(zhǎng)線上,ab;（2）CDBE，理由：ABD與ACE是等邊三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60°,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD與EAB中，CADEAB(SAS),CDBE；線段BE長(zhǎng)的最大值線段CD的最大值，由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延

18、長(zhǎng)線上，最大值為BDBCABBC369；（3）如圖1，連接BM，將APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PBN,連接AN，則APN是等腰直角三角形,PNPA2,BNAM，A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),OA2,OB5，AB3，線段AM長(zhǎng)的最大值線段BN長(zhǎng)的最大值，當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，最大值A(chǔ)BAN,AN最大值為如圖2，過(guò)P作PEx軸于E，APN是等腰直角三角形，PEAEOEBOABAE（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形BCM,ABDCBM60°,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC定值,BDC90°,點(diǎn)D在以BC為直徑的O上運(yùn)動(dòng)，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC上方,DMBC時(shí)，DM的值最大，最大值A(chǔ)C的最大值為14解：(1)ya(x3)(x1),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為(1,0),直線y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,by當(dāng)x2時(shí),y則點(diǎn)D的坐標(biāo)為點(diǎn)D在拋物線上,a(23)(21)解得,a則拋物線的解析式為y(2)如圖1中,作PHx軸于H,設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)(m,n),當(dāng)BPAABC時(shí),BACPBA,tanBAC