變力沿直線所作的功

1、第三節(jié)一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功二、二、 液體的側(cè)壓力液體的側(cè)壓力三、三、 引力問題引力問題四、四、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充補(bǔ)充)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 一、一、 變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 xa 移動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.一個(gè)單求電場力所作的功 . qor

2、abrrdr 11解解: 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí),由庫侖定律庫侖定律電場力為2rqkF 則功的元素為rrqkWdd2所求功為barrqkWd2rqk1ab)11(baqk說明說明:處的電勢為電場在ar arrqkd2aqk機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) , 在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場作用下, S例例2.體, 求移動(dòng)過程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxdx 由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比

3、, 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 例例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖.oxm3xxxdm5在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素功元素)為Wdxxdg9故所求功為50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 05(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板

4、二、液體側(cè)壓力二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hpgh當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問題就需用積分解決 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xpg33g2R例例4. 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d

5、222xxR 說明說明: 當(dāng)桶內(nèi)充滿液體時(shí), )(gxR 小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRPd)(g222奇函數(shù)奇函數(shù)3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令( P350 公式67 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxyRxxxd三、三、 引力問題引力問題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)有一長度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m

6、的質(zhì)點(diǎn) M,M該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖.y2l2l,dxxx細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dkF xm d22xa 故垂直分力元素為cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在試計(jì)算FdxFdyFdxxd利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力.0 xF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22412llmkFaa故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為 y2l2laoxx

7、xdx說明說明:amk22) 若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長時(shí),可視 l 為無窮大 ,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a b) 處時(shí)克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有l(wèi)oxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sindF注意正負(fù)號(hào)3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線

8、上時(shí), 四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充補(bǔ)充)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為l2rmI 的質(zhì)點(diǎn)系),2, 1(,nimrlii質(zhì)量為的距離為與軸21iniirmI若考慮物體物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 , 則需用積分解決 .r機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m例例6. 求圓盤對(duì)通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ; 求圓盤對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .解解: 建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤面密度為 .的對(duì)應(yīng)于d,xxx小圓環(huán)質(zhì)量xx d2對(duì)應(yīng)于d,xxx的小圓環(huán)對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為xxId2d3故圓盤對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為RxxI03d2421R221RMlRoxxxxd)(2RM

9、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 o設(shè)有一個(gè)半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤 , oxRyxxxd平行 y 軸的細(xì)條的對(duì)應(yīng)于d,xxx關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為yId細(xì)條質(zhì)量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圓盤對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸, 建立坐標(biāo)系如圖.內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用微元分析法求出它的微分表達(dá)式 dQ一般微元的幾何形狀有:扇扇、片片、殼殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q ,

10、 并計(jì)算之. 1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應(yīng)用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 條條、段段、環(huán)環(huán)、帶帶、(99考研)思考與練習(xí)思考與練習(xí)提示提示: 作 x 軸如圖.ox30 xxd1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

11、頁 返回 結(jié)束 抓起污x 提升 dx 所作的功為 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 處所需時(shí)間 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 克服抓斗自重: xyoAB2. 設(shè)星形線taytax33sin,cos上每一點(diǎn)處線密度的大小等

12、于該點(diǎn)到原點(diǎn)距離的立方,提示提示: 如圖.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在點(diǎn)O 處有一單 位質(zhì)點(diǎn) ,求星形線在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形線在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoAB),(yxsd引力大小為作業(yè)作業(yè): P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12銳角 取多大時(shí), 薄板所受的壓力 P 最大 .備用題備用題斜邊為定長的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標(biāo)系如圖. 設(shè)斜邊長為 l ,水中, 并使一直角邊與水面相齊, coscotlx