《復(fù)變函數(shù)與積分變換》復(fù)習(xí)(研究生)2013

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換研究生復(fù)習(xí)計算題部分一、 填空題1. 假設(shè)，則材=P14，兩個復(fù)數(shù)的商等于它們的模的商；兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)和除數(shù)的輻角之差2. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式是，幅角主值= 。P463. 復(fù)數(shù)= ，= 計算過程可見第三題。P464. 設(shè) 解析，則， = 。P41，柯西。黎曼方程5. 設(shè)C為自原點(diǎn)到的直線段，則積分=用牛頓-萊布尼茲公式。6. 級數(shù)是 條件收斂 填發(fā)散、條件收斂或絕對收斂。7. =。請分別用柯西積分公式或留數(shù)定理計算8. 設(shè).，則 是可去奇點(diǎn)選：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)， = 0 。9. 函數(shù)的奇點(diǎn)是都是一級極點(diǎn)10. 是 的 本性奇點(diǎn) 選：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，

2、= 1 。11. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式是。12. 拉普拉斯變換的定義是。13. 假設(shè), 則 。二、 計算1. 說明函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系。討論的連續(xù)、可導(dǎo)、解析性。答：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系是：解析可導(dǎo)連續(xù)，反之不成立。 對，設(shè)，則，即 。由于都是連續(xù)函數(shù)，故在復(fù)平面上處處連續(xù)。由于。顯然可微，但只在處滿足柯西-黎曼方程。因此只在處可導(dǎo)，但在復(fù)平面上處處不解析。2. 分別求 和 的模、幅角、實(shí)部、虛部。解：所以模為 ，幅角4 + 2 k (主值為4 -)，實(shí)部、虛部。所以模為 ，幅角 + 2 k (主值為 )，實(shí)部 、虛部 。3. 求,解：。其中k = 0時可得相應(yīng)主值。4.

3、 驗(yàn)證 是調(diào)和函數(shù)，并求，使函數(shù)為解析函數(shù)。解：，因此u是調(diào)和函數(shù)。下面用偏積分法求v：由，得到；再由，得，所以當(dāng)時，為解析函數(shù)。三、 求以下積分1. ，其中C是從0到的直線段。解：由于z e z 是解析函數(shù)，用分部積分法可得2. 其中C是從0到的直線段解：由于被積函數(shù)不解析，此題只能沿曲線來計算積分。直線段的參數(shù)方程為 z =(2 + i)t ( t從0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3. 設(shè)，求6分解：所以 進(jìn)而得 4. 求積分,為不通過的閉曲線.解：當(dāng)a不在C內(nèi)時，由柯西-古薩基本定理，得 當(dāng)a在C內(nèi)時，由高階導(dǎo)數(shù)公式，得 。5. 解：的一級極點(diǎn)有z = 0.5+k，其中

4、在C內(nèi)。且由法則可求得在各極點(diǎn)處的留數(shù)為。故由留數(shù)定理得同理； 四. 函數(shù)的展開式1. 求在內(nèi)的羅朗展開。2. 在內(nèi)的羅朗展開。3. 將函數(shù) 展成 z 的羅朗級數(shù)，并指出收斂范圍。解：1. 對，因?yàn)樵趦?nèi)有 ，故在 內(nèi)有 2. 對，在內(nèi)時3. 四、 積分變換部分1. 求拉氏變換，。解：2. 求以下函數(shù)的拉氏逆變換 , 解: 證明題部分1. 應(yīng)用棣莫弗公式證明 2. 證明：如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且在D內(nèi)是一個常數(shù)， 那么是常數(shù)。3. 證明4. 證明如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對收斂，則它在收斂圓所圍成的閉區(qū)域上絕對收斂。綜合題部分1. 寫出指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的表達(dá)式，并指出它們的特性，例如，解析性導(dǎo)數(shù)是什么，周期性，是否有界等。2. 設(shè)函數(shù)在處分別有m級及n級零點(diǎn),試問在處具有什么性質(zhì)(解析？零點(diǎn)？可去奇點(diǎn)？極點(diǎn)？本性奇點(diǎn)？), 并根據(jù)m, n的不同情況求出它們的留數(shù)(其中m,n為非負(fù)整數(shù))3. 描述什么是洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)，