向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)

1、2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義教材說(shuō)明 平面向量數(shù)量積具有代數(shù)與幾何的雙重性質(zhì)，因此所涉及的內(nèi)容較為廣泛，如方程、不等式等代數(shù)問(wèn)題；夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問(wèn)題。 平面向量數(shù)量積是數(shù)學(xué)中知識(shí)與能力的載體，是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具之一，值得一提的是在教材的后續(xù)兩章的學(xué)習(xí)中，對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容中某些問(wèn)題的處理都是借助向量的數(shù)量積來(lái)解決的，這正體現(xiàn)了平面向量數(shù)量積的工具性，在解決代數(shù)與幾何問(wèn)題中都有著很強(qiáng)的實(shí)用性。課型 新授課課時(shí) 1課時(shí)（練習(xí) 共2課時(shí)）學(xué)情分析 在學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的概念、向量的線性運(yùn)算及向量的基本定理與坐標(biāo)表示等有關(guān)內(nèi)容，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)

2、起了鋪墊作用；在后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)中，是據(jù)此內(nèi)容用向量代數(shù)方法進(jìn)一步研究了平面圖形的有關(guān)性質(zhì)。本節(jié)以力對(duì)物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對(duì)運(yùn)算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過(guò)情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運(yùn)算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫(huà)幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運(yùn)算來(lái)反映向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量間夾角的關(guān)系解決問(wèn)題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)又是難點(diǎn)。由向量的線性運(yùn)算遷移、引申到向量的乘法運(yùn)算這是個(gè)很自然

3、的過(guò)渡，深入淺出、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。教學(xué)內(nèi)容分析教學(xué)的主要內(nèi)容：以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運(yùn)算與物理知識(shí)聯(lián)系起來(lái)；向量數(shù)量積與向量的長(zhǎng)度及夾角的關(guān)系；進(jìn)一步探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運(yùn)算律。2 / 16教材的編寫的特點(diǎn)：本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修4（版）第二章、第3節(jié)第1課時(shí)。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問(wèn)題的一個(gè)重要工具。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能

4、：（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（3）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系.過(guò)程與方法： 通過(guò)向量的線性運(yùn)算及多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的對(duì)照，強(qiáng)化學(xué)生的類比思想情感態(tài)度與價(jià)值觀： 通過(guò)數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究及應(yīng)用.難點(diǎn)：難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的定義及對(duì)運(yùn)算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。教學(xué)

5、策略選擇與設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂(lè)于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還明確提出了提高學(xué)生的知識(shí)與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過(guò)程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)去看書(shū)，不斷提出問(wèn)題，研究問(wèn)題，并解決問(wèn)題。重視在師生，生生互動(dòng)、交流的過(guò)程中滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀。教學(xué)資源與手段資源：三角板，彩粉筆，電腦，多媒體。手段：通過(guò)師生

6、互動(dòng)，共同探討生成新知，更加有助于學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情景引入1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題問(wèn)題1：表示一個(gè)么角？SF （1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：。（2）這個(gè)公式有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積提問(wèn)學(xué)生易答：表示力的方向與位移的方向的夾角創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問(wèn)題情景，將學(xué)生自然的帶入到課堂的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)。探究問(wèn) 題，形成定義。（1）探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角的定義。問(wèn)題2：你能指出下列圖中兩向量

7、的夾角嗎？ 問(wèn)題3：對(duì)于兩個(gè)非零向量，你能給出它們夾角的定義嗎？學(xué)生容易得到，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種答案，教師給予指導(dǎo) 學(xué)生思考回答，教師予以補(bǔ)充，關(guān)鍵是點(diǎn)出兩向量起點(diǎn)相同，并給出夾角符號(hào)對(duì)于易錯(cuò)點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)。探究問(wèn) 題，形成定義。 問(wèn)題4：思考向量夾角的范圍問(wèn)題5： 表示什么？sF（2）探究向量在方向上的投影問(wèn)題6：對(duì)于兩個(gè)非零向量，向量在向量方向上的投影為什么？你能從圖中作出在方向上的投影嗎？ 有了問(wèn)題2的鋪墊，學(xué)生容易得出0，教師強(qiáng)調(diào)同向時(shí)為0，反向時(shí)為.教師補(bǔ)充：（1）當(dāng)=時(shí)，向量與向量互相垂直，記作.（2）在討論垂直問(wèn)題時(shí)規(guī)定：零向量與任一向量垂直.生答：力F在位移方向上的分量師補(bǔ)充：我們

8、把稱為力F在位移S方向上的投影師生共作向量在方向上的投影通過(guò)提問(wèn)，由學(xué)生自己生成定義，印象更為深刻。由師生合作共同完成，拉近師生距離，增進(jìn)師生感情。探究問(wèn) 題，形成定義。 （3）探究與的數(shù)量積.問(wèn)題7：F（力）是 量， S（位移）是 量，W（功）是 量定義： 叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：.即：=。（板書(shū)三）問(wèn)題8：向量數(shù)量積的運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同?若是非零向量，設(shè)夾角為，完成下表：夾角的范圍的符號(hào)問(wèn)題9：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積=的幾何意義如何？ （板書(shū)四）圖象。對(duì)上述物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量與。怎么來(lái)規(guī)定的含義?教師強(qiáng)調(diào)記法，中的“”不可少

9、，不可寫成.學(xué)生回答。學(xué)生自己動(dòng)手完成表格。以上兩個(gè)環(huán)節(jié)都是從物理模型中抽象出我們要研究的概念，通過(guò)具體問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生得到精確定義，且由形到數(shù)的研究方法符合認(rèn)知規(guī)律。由于課標(biāo)中明確要求“體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系”，因此我舍棄B版教材中向量在軸上的正射影和向量在軸上的數(shù)量?jī)蓚€(gè)概念，而選用其他版本的投影的概念。通過(guò)此問(wèn)題不僅使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識(shí)到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)作好鋪墊。通過(guò)此問(wèn)題讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識(shí)數(shù)量積的概念，從中體會(huì)數(shù)量積與向量投影的關(guān)系探究問(wèn) 題，形成定義。問(wèn)題10：請(qǐng)同學(xué)們用一

10、句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積（板書(shū)五）學(xué)生回答。數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學(xué)習(xí)了數(shù)量積的概念后，學(xué)生就會(huì)明白功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。練習(xí)鞏固，總結(jié)性質(zhì)。練習(xí)1：已知求. 已知求. 已知求.已知求.已知求.已知求.問(wèn)題11：(1)嘗試將練習(xí)中的的結(jié)論推廣到一般向量，你能得到哪些結(jié)論？ (2) 比較與的大小,你能得到什么結(jié)論？性質(zhì)：當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，學(xué)生作答。是為了鞏固數(shù)量積定義，分別設(shè)置了同向、反向、垂直的兩個(gè)向量，為學(xué)生總結(jié)性質(zhì)做好鋪墊， 為單位向量時(shí)，即為在方向上的投影，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)使用數(shù)量積表示角，體會(huì)數(shù)量積的初步應(yīng)用.特別地即求長(zhǎng)度。且-證垂

11、直。如果是單位向量，則即向量與單位向量的數(shù)量積就是向量在向量方向上的投影.-求夾角.學(xué)生討論。在學(xué)生討論交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步明晰數(shù)量積的性質(zhì)，證明留待課后學(xué)生嘗試加以證明。本環(huán)節(jié)通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，一是鞏固數(shù)量積定義，二是滲透由特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力辨析質(zhì)疑，初步應(yīng)用。練習(xí)2：(1)判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由. 0； 0； ；若，則對(duì)任一非零有；，則與中至少有一個(gè)為；與是兩個(gè)單位向量，則.若，則.(2)已知ABC中，,，當(dāng)通過(guò)（1）使學(xué)生在與向量的線性運(yùn)算、實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算比較的基礎(chǔ)上全面認(rèn)識(shí)數(shù)量積這一重要運(yùn)算.通過(guò)（2）使學(xué)生感受數(shù)量積在三角形中的應(yīng)用價(jià)值?；驎r(shí)，試判斷ABC的形狀。小結(jié)提升1、本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量數(shù)量積的基本應(yīng)用是什么？3、你收獲了哪些研究問(wèn)題的方法？通過(guò)小結(jié)使學(xué)生進(jìn)一步理解和貫通本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。板書(shū)設(shè)計(jì)向量數(shù)量積的物理背景與定義一、與的夾角 練習(xí)二、在方向上的投影 三、與的數(shù)量積 1、定義 4、性質(zhì) 2、幾何意義