就一元一次方程與實際問題淺談數(shù)學(xué)教法教育教學(xué)專業(yè)

1、目 錄摘要 1Abstract 11 列一元一次方程解實際問題的思路21.1關(guān)于一元一次方程的教學(xué)要點21.2關(guān)于一元一次方程的教學(xué)策略31.3解實際問題的一般步驟（解題思路）32一元一次方程教學(xué)所存在的問題173就以上問題為例淺談數(shù)學(xué)教法183.1聯(lián)系生活選例題，在生活中學(xué)數(shù)學(xué)3.2加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)參考文獻 19致謝20就一元一次方程與實際問題淺談數(shù)學(xué)教法馬曉娟 摘要:隨著新課改的不斷推進，初中數(shù)學(xué)得到了巨大的發(fā)展，教學(xué)質(zhì)量提升飛速。本文是以一元一次方程與實際問題為主要討論對象，把涉及到的各類實際方程題型進行了總結(jié)，細分為行程問題、工程問題、和倍差問題、調(diào)配問題、分配問題、配套問題、銷

2、售問題、增長率問題、數(shù)學(xué)問題、古典問題、方案設(shè)計成本分析問題、積分問題和濃度問題13種問題，并以解實際問題為例子探討新課改后數(shù)學(xué)教學(xué)方法。關(guān)鍵詞: 一元一次方程 新課改 數(shù)學(xué)教法A elementary introduction to the mathematical teaching method for the onetime equation and the practical problem Ma Xiaojuan Abstract: This article is the ellipse, hyperbola and parabola as the main discussion o

3、bject, involves the focus, the fixed point on the curve for the most value questions are summarized, subdivided into six types, and each topic in elliptic, hyperbolic and parabolic instance is given, and compared.Keywords: One element first order equation New curriculum reform Mathematics teaching m

4、ethod引言： 初中數(shù)學(xué)一元一次方程的教學(xué)，首先需要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力。在數(shù)學(xué)一元一次方程教學(xué)過程中，教師需要尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)意愿，讓學(xué)生成為教學(xué)的主體，充分發(fā)揮學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、探索問題，最終解決問題的能力。所以，一元一次方程的教學(xué)過程，教師要靈活采用多種教學(xué)方法，例如情景教學(xué)、合作教學(xué)等，既要保證學(xué)生能夠?qū)W會一元一次方程的解答，又要培養(yǎng)學(xué)生向著更高的目標發(fā)展。1列一元一次方程解實際問題的思路1.1關(guān)于一元一次方程的教學(xué)要點 一元一次方程的教學(xué)，需要運用建模思想。對產(chǎn)生于實際問題的一元一次方程而言，不僅需要考慮方程的運算和數(shù)值，還應(yīng)該將方程投

5、入到具體的問題中進行分析，不僅能完成一元一次方程的教學(xué)任務(wù)，還能幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新與實踐的能力。所以在一元一次方程的教學(xué)中運用數(shù)學(xué)建模思想，將實際問題向著方程轉(zhuǎn)換，增強學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法解決生活中的實際問題。 例如“在某商店出售某類商品，價格是58元錢，一件賺了14%，另一件虧了14%，請問老板不虧不賺嗎”。對于這種問題就可以采用數(shù)學(xué)建模的思想，幫助學(xué)生將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，最終列出方程，對問題進行解答。 其次，教師要讓學(xué)生認識到方程等式兩邊的聯(lián)系，通過引導(dǎo)學(xué)生對方程一邊的分析，最終得出一元一次方程的答案。對于一元一次方程的解題步驟通常是，移項、合并同類項，將未知數(shù)系數(shù)化為“1”最終解

6、出方程。一元一次方程教學(xué)中要教會學(xué)生先考慮特殊，再考慮一般。從已知條件出發(fā)，通過尋找已知量與未知量的關(guān)系，最終列出一元一次方程，然后開始求解。 例如“一塊正方形鐵皮，在每個角取下相同的正方形，折成底面積為30平方厘米，體積為9000立方厘米的長方形盒子，請問原正方形邊長是多少？”教師可以提醒學(xué)生關(guān)于方程兩邊關(guān)系確定的方法，一邊是體積，那另一邊應(yīng)該是什么。學(xué)生通過仔細思考，也能得出體積相等的結(jié)論，最終列出一元一次方程進行求解，得出結(jié)論。 最后教師還需要考慮方程的特殊性，幫助學(xué)生認識到方程的特殊性可以更好地理解現(xiàn)實中一些難以解決的問題，從特殊中尋找解題的突破，運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，讓問題變得簡單。

7、 例如，汽車追趕或者相遇的問題，許多學(xué)生看見汽車速度不同，行駛的距離也不相同，對問題的解答會失去信心。教師可以在此時提醒學(xué)生運用汽車行駛的時間一致的關(guān)系，最終讓學(xué)生根據(jù)時間這一特殊關(guān)系，將追趕問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于時間的一元一次方程，解決實際問題。1.2關(guān)于一元一次方程的教學(xué)策略 教師需要創(chuàng)新教學(xué)思維和內(nèi)容，不能在教學(xué)過程中對教材進行生搬硬套。對學(xué)生更不能采用填鴨式教學(xué)方法，轉(zhuǎn)變教學(xué)思維，教師需要幫助學(xué)生培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下發(fā)散思維，發(fā)揮出創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的能力，真正提高對于數(shù)學(xué)一元一次方程的理解與解答。教師應(yīng)該多利用一些和學(xué)生生活場景類似的應(yīng)用題對學(xué)生進行一元一次方程的考察，幫助學(xué)生在

8、實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，最后解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與效率。 其次，對初中學(xué)生而言，年齡的特點以及心理的發(fā)展導(dǎo)致他們對于抽象的數(shù)學(xué)知識掌握能力較差。初中一元一次方程的學(xué)習(xí)同樣如此，所以教師還需要運用更多的教學(xué)方法幫助學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，快速掌握解決一元一次方程的方法。教師可以為學(xué)生設(shè)立生活化的情景教學(xué)，讓學(xué)生不僅可以自己解決課本上的生活問題，還能實實在在地運用一元一次方程進行創(chuàng)造新問題。 例如，教師可以利用一個一元一次方程為學(xué)生設(shè)定一些條件，然后讓學(xué)生根據(jù)這些條件和情景，動腦和動手創(chuàng)造出一個新的問題，幫助學(xué)生掌握一元一次方程的舉一反三練習(xí)。讓學(xué)生對一元一次方程的運用更加嫻熟，充分培養(yǎng)了

9、學(xué)生動手創(chuàng)造的能力。 同時，教師在教授學(xué)生一元一次方程的過程中需要及時從學(xué)生處得到反饋，針對學(xué)生的情況調(diào)整教學(xué)方法，讓學(xué)生參與教學(xué)活動，加強學(xué)生于教師之間的互動，增進師生友誼。在學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程的過程中，教師要與學(xué)生隨時保持聯(lián)系與互動，多聽取學(xué)生的意見。由于中國的學(xué)生與教師在課堂上存在較大的身份“差異”，所以導(dǎo)致許多學(xué)生不敢在教師面前表露過多意見。初中數(shù)學(xué)教師需要多與學(xué)生互動，增強學(xué)生的信任，讓學(xué)生敢于表達自己，愿意配合教師共同進行一元一次方程的教學(xué)。1.3解實際問題的一般步驟（解題思路） （1）審審題：審明題意，找出已知條件，并找出能夠表示出本題含義的相等關(guān)系（找出等量關(guān)系）。（2）設(shè)設(shè)

10、出未知數(shù)：根據(jù)問題和題意，找出最佳未知數(shù)設(shè)出未知數(shù)（3）列列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，寫出有關(guān)的含字母的關(guān)系式，然后利用已知條件找出的等量關(guān)系列出方程。（4）解解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)。（5）驗檢驗：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際。（6） 答寫出答語。2一元一次方程教學(xué)所存在的問題作為一名數(shù)學(xué)教師以及根據(jù)自己所學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，我們深知從小學(xué)到初中，實際應(yīng)用題一直是教師和學(xué)生頭痛的一大難題，特別是一元一次方程的應(yīng)用題，學(xué)生初學(xué)列方程解應(yīng)用題時，往往弄不清解題步驟，不明白題目中的一些數(shù)學(xué)含義，以致分析問題不夠明確。初一學(xué)生在解應(yīng)用題時,主要存在四方面的困難:(1) 找不出相等關(guān)

11、系;往往學(xué)生在拿到實際問題的題目，都感到無從下手，沒有明確的解題思路，找不到突破口，從而也不明白數(shù)學(xué)的等量關(guān)系是是如何列出來(2) 找出相等關(guān)系后,不會列方程;即便是找出等量關(guān)系，例如在積分問題中，學(xué)生很容易明白：總場積分=勝場積分+負場積分，卻不清楚這個等量式子該如何列出來。(3) 習(xí)慣用算術(shù)方法,不會使用代數(shù)式解題。有些時候，學(xué)生習(xí)慣小學(xué)的解題思路，像等積變形問題，很容易使用小學(xué)慣用的算式去解答。 （4）對解題方法掌握不夠牢固、使用不夠熟練。而在這四方面中,最重要的是要抓相等關(guān)系,等量關(guān)系找到了,如何列方程就可以解決，在等量關(guān)系式找到后只要明確未知數(shù)，就可以使用代數(shù)式解題，對于學(xué)生使用算式

12、解題問題就解決了。即使做過很多題目但對一元一次方程解應(yīng)用題的方法掌握不夠牢固，熟練等問題的存在。打磨了學(xué)生的耐心，直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。興趣是最好的老師，為了提高學(xué)生的積極性，也為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性，如何讓去教實際問題，應(yīng)該是每個初中老師最該思考的問題，因為一元一次方程與實際問題是整個初中關(guān)于代數(shù)和實際問題的最基礎(chǔ)的東西。3就以上問題為例淺談數(shù)學(xué)教法3.1聯(lián)系生活選例題，在生活中學(xué)數(shù)學(xué)知識來源于生活，而數(shù)學(xué)根植于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)在生活中的每個角落都可以找尋得到。生活是數(shù)學(xué)的大舞臺，回歸生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，既是讓數(shù)學(xué)自身的魅力得到充分發(fā)揮，又讓學(xué)生積極主動找到學(xué)到了

13、富有真情實感的、能動的、有活力的數(shù)學(xué)知識。聯(lián)系實際生活學(xué)數(shù)學(xué)，并非回到生活中放任自流地學(xué)習(xí)，而是充分發(fā)揮課堂這個平臺，并重在數(shù)學(xué)與生活的緊密結(jié)合。我們要重視生活中的數(shù)學(xué)素材，落實數(shù)學(xué)是來源于生活但又是服務(wù)于生活的精神，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)魅力，感受數(shù)學(xué)樂趣，更好地通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)促進自身的發(fā)展。3.2加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精華，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所要具備的最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)生只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想，才能充分的應(yīng)用知識，形成能力與技巧。因此，作為數(shù)學(xué)教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該特別重視數(shù)學(xué)思想的滲透，重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。數(shù)學(xué)知識形成數(shù)學(xué)思想，它在發(fā)展和應(yīng)用的過程中，應(yīng)結(jié)合具

14、體數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)，讓學(xué)生在參與教學(xué)活動的過程中通過獨立思考、相互交流、逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想。同樣，教學(xué)活動經(jīng)驗也需要在“做”的過程和思考的過程中積淀形成，教學(xué)中要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在讀書中體會數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生“能在閱讀中思考，在思考中閱讀”。3.3案例分析基于以上兩點，我就以解一元一次方程部分應(yīng)用題為例，作一下簡單分析。我認為解一元一次方程實際問題的關(guān)鍵是找出題目中的數(shù)量關(guān)系，每道應(yīng)用題都包含著事物的情節(jié)和數(shù)量，且都含有已知條件和問題。學(xué)生們只有對這兩部分了解掌握，才能將實際問題概括為數(shù)學(xué)問題，正確找出等量式列出

15、方程，這就是需要學(xué)生們抓住關(guān)鍵語句，明白出題意圖并理清解題思路。且我們通?？梢园褢?yīng)用題的條件和問題通過線段圖或列表表示出來，可以使抽象的數(shù)量關(guān)系更直觀具體的表示出來，找出已知數(shù)，更容易輕松地列出一元一次方程應(yīng)用題。最后根據(jù)解題的一般步驟來解答檢驗。一元一次方程的實際問題的教學(xué)我采用歸類的數(shù)學(xué)思想進行教學(xué)，因為每一類的題型都應(yīng)用這不同的數(shù)學(xué)方法，而在教會學(xué)生如何答題的同時教會答題的方法是對初一學(xué)生有很大的幫助的，現(xiàn)列舉其中常見的數(shù)學(xué)問題加以闡述。1、 和、差、倍、分問題。這一類題需要注意關(guān)鍵詞弄清各量之間的關(guān)系，找出等量關(guān)系式（1）倍數(shù)關(guān)系：通過 “是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾”等

16、關(guān)鍵詞來體現(xiàn)。（2）多少關(guān)系：通過 “多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。例：某單位今年為災(zāi)區(qū)捐款25000元，比去年的2倍還多1000元，去年群了多少元？分析：題目中已知有: 今年的捐款錢數(shù)=去年的2倍還多1000元 未知的有：去年捐款的數(shù)量 通過分析我們可以看出能夠包含全部題意的等式是： 今年的量=去年的量×2+10002、等積變形問題。這一類問題是根據(jù)物體形狀改變但體積不變?yōu)橹匾c，而且要了解各物體的體積面積該如何求并牢記體積面積公式，我們常用數(shù)量關(guān)系為：（1）形狀面積變了，周長沒變。 （2）原料體積成品體積例:現(xiàn)有直徑為0.8m的圓柱形鋼坯30m，可足夠鍛造直徑為0.4m，長

17、為3m的圓柱形機軸多少個？分析：這道題用的等量關(guān)系式是：原料體積=成品提交 我們已知鋼坯的直徑與長就可以求出鋼坯的體積也知道機軸的直徑和體積也可以求出體積從而我們就可以列出等式： 鋼坯體積=機軸體積3、勞力調(diào)配問題：這一類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：（1）既有調(diào)入又有調(diào)出。（2）只有調(diào)入，沒有調(diào)出，調(diào)入部分變化，其余不變。（3）只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出部分變化，其余不變。 例：在甲處勞動的有27人，在乙處勞動有19人，現(xiàn)另外調(diào)20人去支援，使在甲處工作的人數(shù)是乙處的2倍，問往甲、乙處各調(diào)多少人？線段圖:表格圖： 相等關(guān)系：甲原有人數(shù)調(diào)入人數(shù)（乙原有人數(shù)調(diào)入人數(shù)）×24、數(shù)字問題一

18、元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)），如兩位數(shù) 10a+b；三位數(shù)100a+10b+c。還有就是數(shù)字問題中的一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，技術(shù)用2n+1或2n-1表示，二連續(xù)的偶數(shù)使用2n+2或2n-2來表示，而在求解數(shù)字問題時我們一般運用整體設(shè)元思想。例：有一個三位數(shù)，個位上的數(shù)為百位數(shù)上的2倍，十位數(shù)上的數(shù)比百位數(shù)上的數(shù)字大1，若將此數(shù)順序?qū)φ{(diào)（個位變百位）所得的數(shù)比原數(shù)的2倍少49，求原數(shù)。分析：已知條件：（1） 三位數(shù)：那么這個數(shù)的關(guān)系式就是：100a+10b+c（2） 三

19、個數(shù)字之間的關(guān)系：個位數(shù)是百位上的2倍，十位上的數(shù)比百位上的書大1（3） 等量關(guān)系時的關(guān)鍵點：所得的數(shù)比原數(shù)的2倍少49（4） 找未知數(shù)：個位與十位上的數(shù)字都與百位數(shù)有關(guān)，則可設(shè)百位數(shù)上的數(shù)字為x，那么個位上的數(shù)為2x，十位上的數(shù)字x+1，對調(diào)后，百位為2x，十位為x+1，個位數(shù)上的數(shù)字為x（5） 得出等量關(guān)系式：100x+10(x+1)+2x×2-49=100×2x+10(x+1)+x5、工程問題這類問題中有三個量且要清楚它們的系：工作總量工作效率×時間 而且我們通常把一個整體，一件工程，一條路都可看做成單位“1”，從而利用單位1和工作時間去求出效率。還要明白的

20、是，一項工作多人完成時，所有工作都是同向進行，那么總的工作效率就為個人工作效率之和，而一件工作多方向完成，一個正向完成另外一個反向消耗，那么他們的工作效率為兩方向之差，最經(jīng)典的就是水池注水問題，一管進一管出。例：一件工作，甲單獨做20小時完成，乙單獨做12小時完成。 問：甲乙合做，需幾小時完成這件工作？ 分析：這道題中一件工作可以的出它的工作量是單位1，那么甲乙的工作效率就可以得出。從而可以得出合作效率并列出方程。6、行程問題（1）行程問題中的三個基本量及其關(guān)系：路程速度×時間（2）基本類型有：a相遇問題。 b追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題。 c航行問題：順水速=靜水速+水流速 逆水速=靜水速-水流速 水流速度=（順水速-逆水速）÷2例：甲乙兩人相距40千米，甲先出發(fā)1.5小時乙再出發(fā)，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度