高斯公式48524

1、第十一章第十一章 曲線與曲面積分曲線與曲面積分高斯公式及應(yīng)用高斯公式及應(yīng)用 6、7高斯公式、斯托克斯公式內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧斯托克斯公式斯托克斯公式上上下下2計算步驟：計算步驟：dxdy)z , y, x(R、11、由曲面由曲面 方程解出方程解出 z=z（x，y）并并代入代入R（x，y，z）；2、將曲面將曲面 往往xoy面投影，確定區(qū)域面投影，確定區(qū)域Dxy3、由曲面由曲面 的方向確定積分前的正負號的方向確定積分前的正負號 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(則則“一投一投, ,二代二代, ,三定號三定號”回顧回顧(1)注：當曲面與注：當曲面與 xoy 面垂直時積分為零面垂直時

2、積分為零。上上下下3推廣：推廣：對坐標對坐標yoz的曲面積分計算公式的曲面積分計算公式 取取后后側(cè)側(cè)取取前前側(cè)側(cè)dydzzyzyxPdydzzyzyxPPdydzyzyzDD, 取取左左側(cè)側(cè)取取右右側(cè)側(cè)dxdzzzxyxQdxdzzzxyxQQdxdzyzyzDD),(,),(,(2)(3)對坐標對坐標xoz的曲面積分計算公式的曲面積分計算公式注：當曲面與注：當曲面與 xoz 面垂直時積分為零面垂直時積分為零。注：當曲面與注：當曲面與 yoz 面垂直時積分為零面垂直時積分為零。上上下下4；為則關(guān)于該坐標面的積分一曲線，在某坐標面上的投影是、若注意：01. 02積分不為上只有關(guān)于該坐標面的平行于

3、某坐標面，則在若、122 yx如1122yxz上的圓域如平面00dxdy)z ,y,x(Rdzdx)z ,y,x(Qdydz)z ,y,x(P而則上上下下5四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系四、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 cos,cos,cos0 n, 0cos, 取取上上側(cè)側(cè)若若 1 ,yxzzn 2211cosyxzz 下下 1, yxzzn- - - RdxdydSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dxdydSdzdxdSdydzdS coscoscos1）9998P上上下下6解解: P228n1, y, xn,取下側(cè)曲面 dSzxzIcoscos)(2 利用兩類曲面積分的

4、聯(lián)系利用兩類曲面積分的聯(lián)系.yxcos,yxxcos2222111上上下下7 dSyxzxxzI2221)( 4:22222222211)(21yxDxydxdyyxyxyxx xyDdxdyyx)3(2122 2022220)cos2(21rdrrrd .8 dSyxzxdSyxxz22222211由對稱性知為由對稱性知為0 0y2x上上下下8說明：說明：1 1、兩類曲面積分間的聯(lián)系公式提供了一種兩類曲面積分間的聯(lián)系公式提供了一種計算曲面積分的方法計算曲面積分的方法. .2 2 、可以直接計算、可以直接計算看課本看課本P227P227例例3 3dxdydSdzdxdSdydzdS cosco

5、scos coscoscosdxdydzdxdydzdS 上上下下9例例1 1計算計算 ydzdxxdydzzdxdy, ,其中其中 是柱面是柱面122 yx 被平面被平面0 z及及3 z所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)； Dyz1131:22 yxDxz解：解： zdxdy原積分原積分 xdydz ydzdx0 xzDdxdzx21yzDdydzy21 234343 xoy面面302101dzxdx302101dzydy幾何意義幾何意義上上下下10例例2 2Dyz1131:22 yxDxz解：解：因為曲面法向量為：因為曲面法向量為： cos,cos,cos0

6、22 yxyxn oyx,n曲面的方向余弦為：曲面的方向余弦為：原積分原積分= =dSzyx)coscoscos( dSyxyx 2222)(dSyx 22dS 123 曲面的面積！還可以轉(zhuǎn)化為曲面的面積！還可以轉(zhuǎn)化為P247T4(1)的做法！的做法！上上下下11.azyx,zdxdy的外側(cè)為球面其中計算例222230zdxdy上是奇函數(shù)，從而被積函數(shù)在域是對稱的，并且錯誤解答：由于積分區(qū).分曲面的側(cè)錯誤原因是沒有考慮積兩部分下半球面與上半球面分為將解)()(2112221yxaz取上側(cè)，方程為2222yxaz取下側(cè)，方程為21zdxdyzdxdyzdxdy則上上下下1222222222222

7、2ayxayxdxdy)yxa(dxdyyxa302220342ardrradayax21zdxdyzdxdyzdxdy則 湊微分湊微分上上下下13之間部分的外側(cè)表面在是錐面如果此題中的曲面1022zyxz,zn2軸正向的夾角大于與則法向量Ddxdyyxzdxdy223210220drrd1022yx| )y, x(D取負側(cè)上上下下144122yx| )y,x(Dxy且曲面取下側(cè)為負值，xyDyxzdxdyyxedxdyyxe2222222120rdrredr)ee(22.zzyxzdxdyyxez之間部分曲面的下側(cè)與介于為錐面計算曲面積分例2142222平面上的投影區(qū)域為在解xoyxyo練習

8、練習上上下下15一、高一、高 斯斯 公公 式式n1 1、高斯公式、高斯公式dSRQP)coscoscos( 或或 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(這里這里 是是 的整個邊界曲面的外側(cè)，的整個邊界曲面的外側(cè)， cos,cos,cos是是 上點上點),(zyx 處的法向量的方向余弦處的法向量的方向余弦. . (高斯公式高斯公式)xyzo n（x，y，z）在區(qū)域在區(qū)域內(nèi)變化內(nèi)變化（x，y，z）在曲在曲面上變化面上變化上上下下16Gauss公式的實質(zhì)：公式的實質(zhì)： 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系的曲面積分之間的

9、關(guān)系. .使用使用Guass公式時應(yīng)注意公式時應(yīng)注意: :1 1. .RQP,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導導數(shù)數(shù); ; 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在 RQzyxP,),(zdxdyydzdxxdydzV31上上下下17為奇函數(shù)關(guān)于若為偶函數(shù)關(guān)于若方向為外側(cè)，則面對稱關(guān)于設(shè)分片光滑閉曲面第二類曲面積分上zR,RdxdyzR,dxdy)z , y, x(R:,xoy:20補充：對稱性補充：對稱性上上下下18.azyx,zdxdy的外側(cè)為球面其中計算例22223解解2, zR,Q,P00,zR,yQ,xP100dxdydzGauess1公式原式334a簡單多了！簡單多了??？若上

10、題改為：dxdyz2上上下下194122yx| )y,x(Dxy且曲面取下側(cè)為負值，xyDyxzdxdyyxedxdyyxe2222222120rdrredr)ee(22.zzyxzdxdyyxez之間部分曲面的下側(cè)與介于為錐面計算曲面積分例2142222平面上的投影區(qū)域為在解xoyxyo練習練習不適合用不適合用Gauess公式！公式！上上下下20 xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP P231, 0, 0, zRyQzyxPdxdydz)zy(原式 dzrdrdzr )sin(.29 rdzzrdrd 203010sin先一后二，柱面坐標先一后二，柱面坐標上上下下21P228解：解

11、：)yx(z:42221補充取取上上側(cè)側(cè)，1 11原積分原積分dv11xyDdxdy2842簡單多了！簡單多了！上上下下22xyDxyzoh 1 解：解：)(:2221hyxhz 補補充充取取上上側(cè)側(cè)，1 11dzzyx2421h 1)(2dvzyx xyDdxdyh24h421h 原積分原積分P231 coscoscosdxdydzdxdydzdS 上上下下23.214h zdv21hrhzdzrdrd0202hdzzz022 zdv21222hyx .214h (柱面坐標柱面坐標)(截面法截面法)zdzdzyxdzzyx222由對稱性知為由對稱性知為0 0上上下下24小結(jié)小結(jié)dSRQP)c

12、oscoscos( 或或 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式Gauss公式的實質(zhì)：公式的實質(zhì)： 表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系的曲面積分之間的關(guān)系. .使用使用Guass公式時應(yīng)注意公式時應(yīng)注意: :1 1. .RQP,是是對對什什么么變變量量求求偏偏導導數(shù)數(shù); ; 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)在在 RQzyxP,),(上上下下25為奇函數(shù)關(guān)于若為偶函數(shù)關(guān)于若方向為外側(cè)，則面對稱關(guān)于設(shè)分片光滑閉曲面第二類曲面積分上zR,RdxdyzR,dxdy)z , y, x(R:,xoy:

13、20補充：對稱性補充：對稱性上上下下26定定理理 設(shè)設(shè) 為為分分段段光光滑滑的的空空間間有有向向閉閉曲曲線線, , 是是以以 為為邊邊界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面, , 的的正正向向與與 的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則, , 函函數(shù)數(shù)),(zyxP, ,),(zyxQ, , ),(zyxR在在包包含含曲曲面面 在在內(nèi)內(nèi)的的一一個個空空間間區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù), , 則則有有公公式式 二、斯托克斯二、斯托克斯( (stokes) )公式公式n1 1、斯托克斯公式、斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( (斯托克斯公式

14、斯托克斯公式) RdzQdyPdx (1) (1)實質(zhì)：表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界實質(zhì)：表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系曲線上的曲線積分之間的關(guān)系. .(2)(2)當當是是xoy面的平面閉區(qū)域時，面的平面閉區(qū)域時，斯托克斯公斯托克斯公式此時為格林公式式此時為格林公式.注：注：上上下下27 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式上上下下28例例 1 1 計計 算算 曲曲 線線 積積 分分ydzxdyzdx , ,

15、 其其 中中 是是 平平 面面1 zyx被被 三三 坐坐 標標 面面 所所 截截 成成 的的三三 角角 形形 的的 整整 個個 邊邊 界界 , ,它它 的的 正正 向向 與與 這這 個個 三三 角角 形形 上上 側(cè)側(cè)的的 法法 向向 量量 之之 間間 符符 合合 右右 手手 規(guī)規(guī) 則則 . . 解解1由斯托克斯公式由斯托克斯公式, , 原積分原積分= = dxdydzdxdydzP2400 xyDxyzn111dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( yRxQzP ;yzDd23原式dzdydzdxdydxdzdy21上上下下29zdxydzxdy原式Sd解解223利用斯托

16、克斯公式利用斯托克斯公式0 xyDxyzn111zyx3131311:zyx) 1, 1, 1 (31nyzxSd)3(31yxDyxdd33上上下下30zoyx1解解: 因在因在 上有上有,1222yx故故:原式原式 = tttdsincos2022221162txcostysin21 sin21tz )20( t可以用可以用stokes公式做此題公式做此題(6)計算計算 其中其中 是用平面是用平面z=y截球面截球面 所得的截痕，從所得的截痕，從z軸看去逆時針方向。軸看去逆時針方向。 xyzdz1222 zyxP246總習總習T26)上上下下31解：方法二，用斯斯托克斯公式轉(zhuǎn)化成曲面積分解：

17、方法二，用斯斯托克斯公式轉(zhuǎn)化成曲面積分xyzz=ydxdyyy 221021024 162 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( 原積分原積分= yzdxdzxzdydz yzdxdzDxy1222 yx xyDdxdyy2面面yoz yzdxdydxdycoscosyz 1 , 1, 021 n(6)計算計算 其中其中 是用平面是用平面z=y截球面截球面 所得的截痕，從所得的截痕，從z軸看去逆時針方向。軸看去逆時針方向。 xyzdz1222 zyxP246總習總習T26)cosdxdycosdzdxcosdydzdS上上下下32例例 2 2 dzyxdyxzdxzy)

18、()()(222222 其其中中 是是平平面面23 zyx截截立立方方體體: :10 x, , 10 y, ,10 z的的表表面面所所得得的的截截痕痕, ,若若從從 ox 軸軸的的正正向向看看去去, ,取取逆逆時時針針方方向向. . 解：解：取取為為平平面面23 zyx的的上上側(cè)側(cè)被被 所所圍圍成成的的部部分分. . 則則1 , 1 , 131 nzxyo n P241dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2 dS)zyx(34dS2334 xyDdxdy332.29 xyD23 yx21 yx上上下下33.)()(,1

19、badxxfdMfbaR時時上區(qū)間上區(qū)間當當.),()(,2 DdyxfdMfDR時時上區(qū)域上區(qū)域當當積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分 dvzyxfdMfR),()(,3時時上區(qū)域上區(qū)域當當.),()(,3 dszyxfdMfR時時上空間曲線上空間曲線當當.),()(,3 SdSzyxfdMfSR時時上曲面上曲面當當曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR時時上平面曲線上平面曲線當當曲線積分曲線積分上上下下34計算上的聯(lián)系計算上的聯(lián)系)( ,),(),()()(21面積元素面積元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD

20、)( ,),(),()()(),(),(2121體積元素體積元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2弧長元素弧長元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),()(曲曲面積元素面積元素dS xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),()(投影投影面積元素面積元素dxdydsQPQdyPdxLL)coscos( dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 上上下下35理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1.1.定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.3.三重積分