高考必考高中數(shù)學(xué)函數(shù)的凹凸性

1、高考必考-函數(shù)的凹凸性在高考中的應(yīng)用 目的: 了解函數(shù)的凹凸性,掌握增量法解決凹凸曲線問題。 培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新能力，鼓勵學(xué)生進(jìn)行研究型學(xué)習(xí)。教學(xué)重點(diǎn)：掌握增量法解決凹凸曲線問題教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的凹凸性定義及圖像特征教學(xué)過程：一、 課題導(dǎo)入 1. 2013屆高三第一次月考試題12得分統(tǒng)計表班級考試人數(shù)答對人數(shù)答錯人數(shù)正確率高三（1）班（理）54193535.1%高三（11）班(文）61124919。7%2。組織學(xué)生現(xiàn)場解答月考試題12并進(jìn)行得分統(tǒng)計,以引出課題-題目：一高為、滿缸水量為的魚缸的截面如圖1所示,其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出若魚缸水深為時水的體積為，則函數(shù)（)的大致圖象可能是圖

2、2中的（）（選自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第12合期）的試題集綿 圖1 圖2函數(shù)凹凸性問題是近幾年高考與平時訓(xùn)練中的一種新題型這種題情景新穎、背景公平，能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，體現(xiàn)“高考命題范圍遵循教學(xué)大綱，又不拘泥于教學(xué)大綱”的改革精神但由于函數(shù)曲線的凹凸性在中學(xué)教材中既沒有明確的定義，又沒有作專門的研究，因此，就多數(shù)學(xué)生而言，對這類凹凸性曲線問題往往束手無策;而教師的“導(dǎo)數(shù)”理解又不能被學(xué)生所接受所以，對這類非常規(guī)性問題作一探索,并引導(dǎo)學(xué)生去得到一般性的解法，無疑對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及在迅速準(zhǔn)確解答高考中出現(xiàn)此類的試題都是十分重要的.二、 新課講授1、凹凸函

3、數(shù)定義及幾何特征引出凹凸函數(shù)的定義：如圖3根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征可知:函數(shù)與都是增函數(shù)。但是與遞增方式不同.不同在哪兒?把形如的增長方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)，而形如的增長方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)。凹凸函數(shù)定義（根據(jù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編高等數(shù)學(xué)第201頁）：設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對（a,b）上任意兩點(diǎn)、，恒有:（1)，則稱為（a，b）上的凹函數(shù)；(2）,則稱為(a，b）上的凸函數(shù).凹凸函數(shù)的幾何特征:幾何特征1（形狀特征）圖4（凹函數(shù)） 圖5(凸函數(shù)） 如圖，設(shè)是凹函數(shù)y=曲線上兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo)，則，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于A，交于B， 凹函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位

4、于弦的下方；凸函數(shù)的形狀特征是:其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位于弦的上方。簡記為：形狀凹下凸上。幾何特征2（切線斜率特征) 圖6（凹函數(shù)） 圖7（凸函數(shù))設(shè)是函數(shù)y=曲線上兩點(diǎn)，函數(shù)曲線與之間任一點(diǎn)A處切線的斜率:凹函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而增大；凸函數(shù)的切線斜率特征是:切線的斜率y=隨x增大而減小；簡記為：斜率凹增凸減。幾何特征3（增量特征)圖8(凹函數(shù)) 圖9（凸函數(shù)） 圖10（凹函數(shù)） 圖11（凸函數(shù)）設(shè)函數(shù)（）為凹函數(shù),函數(shù)(）為凸函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖8、9所示,由圖10、11可知，當(dāng)自變量逐次增加一個單位增量時，函數(shù)()的相應(yīng)增量,越來越大；函數(shù)（）的相應(yīng)增量，

5、越來越小；由此，對的每一個單位增量，函數(shù)的對應(yīng)增量（1,2,3，）凹函數(shù)的增量特征是：越來越大;凸函數(shù)的增量特征是：越來越?。缓営洖椋涸隽堪即笸剐?。弄清了上述凹凸函數(shù)及其圖象的本質(zhì)區(qū)別和變化的規(guī)律，就可準(zhǔn)確迅速、簡捷明了地解決有關(guān)凹凸的曲線問題函數(shù)凹凸性的應(yīng)用應(yīng)用1 凹凸曲線問題的求法下面我們用增量特征（增量法）準(zhǔn)確迅速、簡捷明了地解決有關(guān)凹凸的曲線問題題目:一高為、滿缸水量為的魚缸的截面如圖12所示，其底部碰了一個小洞,滿缸水從洞中流出若魚缸水深為時水的體積為，則函數(shù)(）的大致圖象可能是圖13中的（） 圖12 圖13解：據(jù)四個選項(xiàng)提供的信息（從），我們可將水“流出”設(shè)想成“流入”，這樣，每當(dāng)

6、增加一個單位增量時，根據(jù)魚缸形狀可知V的變化開始其增量越來越大，但經(jīng)過中截面后則越來越小,故關(guān)于的函數(shù)圖象是先凹后凸的，因此，選例1向高為的水瓶中注水，注滿為止,如果注水量V與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖14所示，那么水瓶的形狀是（圖15中的）（）（1998年全國高考題）圖15 圖14 解：因?yàn)槿萜髦锌偟乃浚醋⑺?V關(guān)于的函數(shù)圖象是凸的,即每當(dāng)增加一個單位增量，V的相應(yīng)增量越來越小這說明容器的上升的液面越來越小，故選 圖16例2在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度隨著時間變化的情況由微機(jī)記錄后再顯示的圖象如圖16所示現(xiàn)給出下面說法：前5分鐘溫度增加的速度越來越快; 前5分鐘溫度增加的速度越來越

7、慢； 5分鐘以后溫度保持勻速增加； 5分鐘以后溫度保持不變其中正確的說法是（） 解：因?yàn)闇囟汝P(guān)于時間的圖象是先凸后平行直線，即5分鐘前每當(dāng)增加一個單位增量,則相應(yīng)的增量越來越小，而5分鐘后是關(guān)于的增量保持為0，故選 注：本題也選自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2001年第12合期的試題集綿,用了增量法就反成了“看圖說畫”A BC D例3(06重慶 理）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x，f(x）表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f（x）的圖象是（ ） 圖17解：易得弓形AxB的面積的2倍為f(x)=sin由于是直線，每當(dāng)增加一個單位增量，的對應(yīng)增量不變；而sin是正弦曲線,在0，上是凸的，在，

8、2上是凹的,故每當(dāng)增加一個單位增量時，對應(yīng)的增量(=1，2，3，）在0，上越來越小,在，2上是越來越大，故當(dāng)增加一個單位增量時，對應(yīng)的f(x)的變化，在0，上其增量f（x)（1，2，3,)越來越大，在，2上，其增量f(x）則越來越小，故f(x）關(guān)于的函數(shù)圖象，開始時在0，上是凹的，后來在,2上是凸的，故選D例4（07 江西） 四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示盛滿酒后他們約定:先各自飲杯中酒的一半設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系正確的是（)圖18Ah2h1h4 Bh1h2h3 Ch3h2h

9、4 Dh2h4h1解: 設(shè)內(nèi)空高度為H， 剩余酒的高度關(guān)于酒杯中酒的體積函數(shù)從左到右依次為V1（h）、V2(h）、V3（h）、V4（h)，根據(jù)酒杯的形狀可知函數(shù)V1（h)、V2（h）、V4（h)的圖象可為圖19 因?yàn)楹瘮?shù)V1（h）、V2（h）為凹函數(shù), V1（h)當(dāng)h從H,h增加一個單位增量， V（1，2，3,）增大,則h1> 0.5H =h4；同理V2(h)當(dāng)h從H,h增加一個單位增量，V(1,2,3，）增大，則h2> 0。5H =h4；所以h1 h4、 h2 h4；由V1（h)、V2（h）圖象可知，h從Hh2，V1（h)>V2（h)，而0。5 V1(h）V1(h）,V2（

10、h）=0。5 V2（h）,則當(dāng)V1（h）=0。5 V1（h)時h1 h2，所以答案為A. 應(yīng)用2 凹凸函數(shù)問題的求法例1、(2005·湖北卷） 在y=2x， y=log2x， y=x2， y=cos2x這四個函數(shù)中,當(dāng)0<x1<x21時, 恒成立的函數(shù)的個數(shù)是( ).A。0 B。1 C。2 D。3分析：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,考察各函數(shù)的圖象。注意到對任意x1，x2I，且x1x2,當(dāng)f（x)總滿足 時，函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，應(yīng)選B。本小題主要考查函數(shù)的凹凸性，試題給出了四個基本初等函數(shù)，要求考生根據(jù)函數(shù)的圖像研究函

11、數(shù)的性質(zhì)凹凸性，對試題中的不等關(guān)系式:，既可以利用函數(shù)的圖像直觀的認(rèn)識，也可以通過代數(shù)式的不等關(guān)系來理解?？疾榈闹攸c(diǎn)是結(jié)合函數(shù)的圖像準(zhǔn)確理解凹凸的含義。例2、（05北京卷理13）對于函數(shù)f(x）定義域中任意的x1，x2（x1x2），有如下結(jié)論： f（x1x2)=f（x1)·f（x2)； f（x1·x2)=f（x1)+f（x2）；0； 。 當(dāng)f(x）=lgx時，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是 （） 。本題把對數(shù)的運(yùn)算（）、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（）、對數(shù)函數(shù)圖像的凹凸性（）等知識有機(jī)的合成為一道多項(xiàng)填空題，若對函數(shù)的性質(zhì)有較清楚的理解便不會有困難，而靠死記硬背的考生就會有問題。通過以上

12、的例子可以看出在高三復(fù)習(xí)時，有必要留意以高等數(shù)學(xué)知識為背景的創(chuàng)新題與信息題，也有必要讓學(xué)生了解簡單高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)結(jié)合的知識，這樣既可以達(dá)到簡化運(yùn)算、避免易錯點(diǎn)的目的,還可以突破難點(diǎn)，找到規(guī)律性的解題途徑，更為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。同時使學(xué)生們認(rèn)識到知識學(xué)的越多、越深入，解決起問題來越有規(guī)律性、越簡單。從而使他們渴望學(xué)習(xí)，渴望積累，更進(jìn)一步的增加分析問題，解決問題的能力。三、 學(xué)生練習(xí)1、如圖20所示，半徑為2的切直線于，射線從出發(fā)繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)過程中，交于記為、弓形的面積為=（），那么（）的圖象是圖18中的（） 圖20 圖212、如圖22所示，液體從球形漏斗漏入一圓柱形燒杯中，開始時漏斗中盛滿液體,經(jīng)過3分鐘漏完，已知燒杯中液面上升的速度是一個常量，是漏斗中液面下落的距離,則與下落時間（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示可能是圖11中的（）圖22 圖233、（94年高考)已知函,判斷與的大小，并加以證明.4、 在, 四個函數(shù)中,當(dāng)時,使成立的函數(shù)是 ( ) A. B . C. D。解答：1、解：易得弓形的面積為=2(sin)由于是直線，每當(dāng)增加一個單位增量，的對應(yīng)增量不變;而sin是正弦曲線，在0，上是凸的,在，2上是凹的，故每當(dāng)增加一個單位增量時,對應(yīng)的增量（=1，2，3，)在0，上越來越小,在，2上是越來越大，故當(dāng)增加一個單位增量時,對應(yīng)的的變化，開始時在0，上其增