三角形的內(nèi)切圓和外接圓

1、三角形外接圓半徑的求法及應用方法一：r=ab/(2h)三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商。AD是4ABC的高，AE是ABC的外接圓直徑.求證ABAC=AE-AD證：連接AO延長交圓于點E,連接BE,則/ABE=90°./E=/C,/ABE=/ADC90RtAABERtAADCABAEADACAB-AOAE-AD方法二：2R=a/SinA,a為/A的對邊在銳角ABC中，外接圓半徑為R。求證：2R=AB/SinC證：連接AO并延長交圓于點E,連接BE,則/ABE907-.AE=AB/SinEC-ZCEEE,SinC=SinE.AE=AB/SinC.2R=AB/Sin

2、C若C為鈍角，則SinC=Sin(180oC)應用一、已知三角形的三邊長，求它的外接圓的半徑例1已知：如圖，在ABC中，AC=13,BC=14,AB=15,求ABC外接圓。O的半徑r.分析：作出直徑AR構造RHABD.只要求出ABC中BC邊上的高AE,用方法一就可以求出直徑AD.解：作AE!BC,垂足為E.設CE=x,AC2-CE2=AE'=AB'-BE2,.132-x2=152-(14-x)2.x=5，即CE=5,AE=12R=ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8.ABC外接圓。O的半徑r為竺.8例2已知：在ABC中，AB=13,BC=12,AO5,求ABC勺外

3、接圓的半徑R.分析：通過判定三角形為直角三角形，易求得直角三角形外接圓的直徑等于斜邊。應用二、已知三角形的二邊長及其夾角（特殊角），求外接圓的半徑例3已知：如圖，在ABC中，AO2,BO3,/C=60°,求ABC接圓。的半徑R.ABM 7分析：考慮求出角的對邊長AB,然后用方法一或方法二解題.解：作直徑AR連結BD.作A已BG垂足為E.WJ/DBA=90°,/D=/O600,/CAM/DA氏900-600=300CE=1AC=1,AE=62R=ACAB/2AE=2xZ7/(2x.3)應用三、已知三角形的一邊長二角度或對角的度數(shù)（特殊角），求它的外接圓的半徑用方法二例4已知A

4、D=5,AC=7,CD=3,AB=1O3,求它的外接圓的半徑解從A作AMLBC于M則aDmD=AM2=AC(MMCD即52_MD=72(MM3)2.AB*AC1073*7rG-2R=：Y7=-FMI1-r«-AM-7-y3.222得R=14,則ABC外接圓面積S=兀&=1967t.例5如圖3,已知拋物線y=x24x+h的頂點A在直線y=4x1上，求拋物線的頂點坐標；拋物線與x軸的交點B、C的坐標；ABC的外接圓的面積.解A(2,一9);B(1,0);C(5,0).從A作AMLx軸交于M點，WJBM=MC=3,AM=9./.AB=AC=4*.爐=3而，AB*AC37103屈_J

5、lr=-三角形內(nèi)切圓半徑r的求法1vSaABC=1/2(a+b+c)r：r=2S3BC(a+b+c)2RtMBC中,r=(a+b-c)/2三角形的內(nèi)切圓和外接圓【知識要點】1、三角形的外接圓(1)過三角形三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，三條邊中垂線的交點，叫做三角形的外心。三角形的外心到各頂點的距離相等.(2)銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜邊中點，外接圓半徑R|(c為斜邊長).2、三角形的內(nèi)切圓(1)到三角形三條邊距離都相等的圓，叫三角形的內(nèi)切圓，三角形中，三個內(nèi)角平分線的交點，叫三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到三條邊的距離相等，內(nèi)心都在三角形的

6、內(nèi)部.2S-(2)若三角形的面積為Sabo,周長為a+b+c,則內(nèi)切圓半徑為：rABC,當a,b為abc直角三角形的直角邊，c為斜邊時，內(nèi)切圓半徑rab或rabc.abc23、圓內(nèi)接四邊形的性質(1)圓內(nèi)接四邊形的對角互補；(2)圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的對角.注意：圓內(nèi)接平行四邊形為矩形；圓內(nèi)接梯形為等腰梯形.4、兩個結論：圓的外切四邊形對邊和相等；圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長.【典型例題】一、填空和選擇(1)一個三角形的內(nèi)心，外心都在三角形內(nèi)，則這個三角形一定是A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形(2)如右圖，I是ABC的內(nèi)心，則下列式子正確的是()ABBI

7、C=180-2/AB、/BIC=2/AC、/BIC=90+/A/2D、/BIC=90-/A/2(3)ABC外切于。O,E、F、G分別是。O與各邊的切點，則EFG的外心是ABC的。(4)直角三角形的兩條直角邊分別為5和12,那么它的外接圓的半徑為,內(nèi)切圓半徑為.(5)等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑分別為r,R,則r:R=.(6)圓外切等腰梯形底角為60,腰長為10,則圓的半徑長為.(7)等邊三角形一邊長為2,則其內(nèi)切圓半徑等于.(8)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑的和高的比是.(9)ABC的內(nèi)切圓。I與ABBGCA分別切于DE、F點，且/FID=/EID=135,則ABC為.例2.如圖，4

8、ABC中,I是內(nèi)心，AI交BC于D,交ABC的外接圓于E。求證：(1)IE=EC,(2)IE2=EDEA例3 .如圖,已知ABC內(nèi)接于。O, AE切。O于點A, BC/ AE,求證： ABC是等腰三角形P例4.已知 ABC三邊長為6, 8,10,則它的內(nèi)心，外心間的距離為【經(jīng)典練習】、選擇題1.卜列命題中，正確的有（） 圓內(nèi)接平行四邊形是矩形圓內(nèi)接菱形是正方形圓內(nèi)接梯形是等腰梯形圓內(nèi)接矩形是正方形A.1個B.2個2.在圓內(nèi)接四邊形ABCDh / A:/ B: / C=3: 5: 6,那么/ D=()C.100°D.120°3.如果一個直角三角形的一條直角邊等于它的外接圓的半

9、徑r,那么此三角形的面積與其外接圓的面積之比為（）4.如圖1,四邊形ABCM接于。O,若/ BOD=110 ,則 / BCD=().125°B . 110°5.如圖O一 60 C2； BBDDO,C . 550120° DC . 90°6.如圖3, M 1 ABCM接于。O,點AD上，貝叱BPC為)C=60O 貝 1/ ABC=(.35°B . 400C45°D . 50°7 .如圖4aMNPQ中，過點QM的圓與PQMN分別相交于點E、F,下列結論中正確的/EFN十Q之N;/EFN吆P=180°EF=PN=MQ&#

10、174;ZM=/FERA.1個B.2個C.3個D.4個8 .如圖5,四邊形ABC盅。的內(nèi)接四邊形，AD為。的直徑，若/CBE=50,則圓心角/AOC=A.50°B.80°C.100°D.130°、填空題9 .設I是ABC勺內(nèi)心，。是4ABC的外心，/A=80°,則/BIC=,/BOC=10 .若三角形白三邊長為5、12、13,則其外接圓的直徑長等于,其內(nèi)切圓的直徑長為。11 .直角三角形的一邊為a,它的對角是30°,則此三角形的外接圓的半徑是。12 .如圖6,OI切ABCTDE、F,/C=60°,/EIF=100°

11、,則/B=。圖6圖7B圖8OC13.如圖7,。內(nèi)切于RtAABC/C=90° , D E、F 為切點。若/ AOC=120 ,，/B=;若AB=2cm則AC三 ABC的外接圓半徑二,內(nèi)切圓半徑二14.如圖8,若弓g AD)/ BC, / BAC=70 , / ABC=80 ,貝U / ADC=度，ZACD=度。15.如圖9,四邊形ABCD。的內(nèi)接四邊形，AHCR若/ABC=130，則/DAE=16.如圖10,四邊形ABC此。的內(nèi)接四邊形，AB與DC的延長線交于P。已知/A=60°,/ABC=100,貝叱P=【大展身手】、選擇題1 .下列說法正確的是（）A .三點確定一個圓B

12、C .四邊形都有一個外接圓2 .下列命題中的假命題是（.三角形有且只有一個外接圓D.圓有且只有一個內(nèi)接三角形）A.三角形的外心到三角形各頂點的距離相等B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等C.三角形的外心一定在三角形一邊的中垂線上D.三角形任意兩邊的中垂線的交點，是這個三角形的外心3 .下列圖形一定有外接圓的是（）A.三角形B.平行四邊形C.梯形D.菱形4 .下列說法正確的是（）A.過一點A心圓的圓心可以是平面上任意點B.過兩點AB的圓的圓心在一條直線上C.過三點ABC的圓的圓心有且只有一點D.過四點ABCD的圓不存在5 .在RtAABC,/C=90°,AC=6cmBC=8cm則它的

13、外心與頂點C的距離為（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cmD. 1 2B.到三個頂點距離相等D.外心在三角形內(nèi)6 .等邊三角形的外接圓的半徑等于邊長的（）倍.A.<3B.阻C.百7 .三角形的外心具有的性質是（）A.到三邊距離相等C.外心在三角形外8 .對于三角形的外心，下列說法錯誤的是（）A.它到三角形三個頂點的距離相等B.它與三角形三個頂點的連線平分三內(nèi)角C.它到任一頂點的距離等于這三角形的外接圓半徑D.以它為圓心，它到三角形一頂點的距離為半徑作圓，必通過另外兩個頂點9 .在一個圓中任意引兩條直徑，順次連接它們的四個端點組成一個四邊形，則這個四邊形一定是（）A.菱形B.等腰梯形C.矩形D.正方形10 .如圖所示，圓的內(nèi)接四邊形ABCDDACB延長線交于P,AC和BD交于Q則圖中相似三角形有（）A、1對B、2對C、3對D4對11 ./DC觀圓內(nèi)接四邊形ABCD勺一個外角，那么一定有（）A、/D