線性方程組的數(shù)值解法與非線性方程求解

1、淮 海 工 學(xué) 院實 驗 報 告 書課程名稱： 數(shù)學(xué)實驗 實驗名稱： 線性方程組的數(shù)值解法與非線性方程求解 班 級 數(shù)學(xué)091 姓 名： 耿萍 學(xué)號： 日 期： 2012.4.27 地點 數(shù)學(xué)實驗室 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)平 成績： 數(shù) 理 科 學(xué) 系1. 實驗?zāi)康模海?） 掌握線性方程組的常用數(shù)值解法，包括高斯消去法、LU分解法以及校正法。 （2） 體驗數(shù)值計算的時間復(fù)雜度和計算規(guī)模的關(guān)系。（3） 加深對數(shù)值計算誤差的理解。（4） 學(xué)習(xí)使用迭代法等算法，求解非線性方程。（5） 學(xué)習(xí)如何使用MATLAB解非線性方程組和方程組。2. 實驗內(nèi)容：、（1）輸電網(wǎng)絡(luò)：一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡化為圖所示電路，其中

2、R1,R2,Rn表示負載電阻，r1，r2,rn表示線路內(nèi)阻，I1,I2,In表示負載上的電流，設(shè)電源電壓為V。1)列出求各負載電流I1,I2,In的方程；2）設(shè)R1=R2=Rn=R，r1=r2=rn=r,在r=1，R=6,V=18，n=10的情況求I1,I2,In及總電流I0。 （2）種群的繁殖與穩(wěn)定收獲：種群的數(shù)量因素因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變。種群因雌性個體的繁殖而改變，為方便起見一下種群數(shù)量均指其中的雌性。種群年齡記作bk（每個雌性個體一年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作sk（=1-dk，dk為一年的死

3、亡率），收獲量記作hk，則來年齡k的種群數(shù)量k應(yīng)為1=cigmabkk，k+1=skk-hk（k=1,2,3，n-1）。要求各個年齡的種群數(shù)量每年維持不變就是要使k=k（k=1,2,n）.1)若bk，sk已知，給定收獲量hk，建立求各個年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量k的模型（用矩陣、向量表示）2）設(shè)n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如要求h1h5為500,400,200,100，100，求15.3）要使h1h5均為500，如何達到？ （3） 1）小張夫婦以按揭的方式貸款買了1套價值為20萬的房子，首付了5萬元。每月還款1000元，15年還清。問貸款利

4、率是多少？2）某人欲貸款50萬元購房，他咨詢了兩家銀行，第一家銀行開出的條件是每月還4500元，15年還清；第二家銀行開出的條件是每年45000元，20年還清。從利率方面看，哪家銀行較優(yōu)惠（簡單地假設(shè)年利率=月利率12） （4）用迭代公式y(tǒng)k+1=byk(1-yk)計算序列yk（k=0,1,2，），其中b取1.3,2.8,3.2,3.5,3.55,3.7，任意取y0（0<y0,1）,觀察其收斂性。3. 實驗步驟： （1）1)記r1rn上的電流為iin。 設(shè)電源負極為電勢為0，電阻R1上對應(yīng)節(jié)點電壓為V1，對于任意節(jié)點，根據(jù)KCL定律列出方程：而，可得： k=2，3，n-1；k=1時， ，

5、為與上式形式一致，化為 k=m時 ，k=n時， 設(shè)以上方程組的矩陣形式為：則  k=n時 ，設(shè)以上方程組的矩陣形式為：則 2）代入?yún)?shù)：，V=18，n=10， 輸入程序：>> n=10; %由題目要求設(shè)定A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n); %定義A的對角元素，除（n,n)A12=sparse(n,n,-0.5,n,n); %定義(n,n)A1=A11+A12; %對角元素A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n); %輸入A的上次對角元素A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n); %輸入A的下次對角元素A=A1+A

6、2+A3;b1=0.5nes(n,1); %b的除第一項元素b2=sparse(1,1,18,n,1); %b的第一項元素b=b1-b2;R=Ab得到結(jié)果：R = 26.0000 17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000所以各阻值為(R1，R2，R10)=(26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19)總電阻R0（即輸入等效電阻）為，又得到 （2）1)要使各年齡種群數(shù)量每年維持不變即，依題意得 用矩陣形式表示原方程組為：，  2)代入題中數(shù)據(jù) ， 3)要使h1h

7、5均為500，則h變?yōu)椋狠斎氤绦颍?gt;> frmat bank;A1=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0;h1=500,400,200,100,0' 1=A1h1 frmat bank;A2=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0;h2=500,500,500,500,0'2=A2h2frmat bank;A3=0.6,-1,0,0,0 0,0.8,-1,0,0 0,0,0.8,-1,0 0,0

8、,0,0.6,-1 -1,0,1,2,0;h3=500,500,500,500,0'3=A3h3 結(jié)果：1 = 8481.01 2892.41 1335.44 601.27 140.512 = 10981.01 3892.41 1835.44 601.27 -259.493 = 13467.74 7580.65 5564.52 3951.61 1870.97從1可以看出，第5年齡段：5=140.5>100=h5 ，說明收獲量h5可以達到100。從2可以看出，5為-259.49，但種群數(shù)量不可能為負數(shù)，在本題所給條件下，無法使h1h5均為500。從3可以看出，5=1870>5

9、00=h5，說明收獲量h5可達到500，從而h1h5均可達到500。（3）1)由題目已知條件，假設(shè)第i月月初待還貸款為ai，貸款月利率為r，則可列出： a1=150000 a2=a1(1+r)-1000 an=1000/r+(a1-1000/r)2) 記第一家銀行月利率為s，第二家銀行年利率為t,則： bm=4500/s+(b1-4500/r)輸入程序：1）r=fzer(inline('1000/r+(150000-1000/r)(1+r)180'),1)2）r1=fzer(inline('4500/s+(500000-4500/s)(1+s)180'),1)r

10、2=fzer(inline('45000/t+(500000-45000/t)(1+t)20'),1)if r1<r2/12 disp('第一家月利率小');else disp('第二家月利率小');end實驗結(jié)果：r =0.0021r1 =0.0059 r2 =0.0639 第二家月利率?。?）n=20;y=1:n;y(1)=0.5fr k=1:(n-1) y(k+1)=1.3y(k)(1-y(k);end;y;y = Clumns 1 thrugh 12 0.5000 0.3250 0.2852 0.2650 0.2532 0.2458 0.2410 0.2378 0.2356 0.2341 0.2331 0.2324 Clumns 13 thrugh 20 0.2319 0.2316 0.