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1、金融工程|專題報告2015 年 5 月 20 日證券研究報告指數(shù)高階矩?fù)駮r策略性擇時策略研究之八報告摘要：l高階矩的與影響在描繪資產(chǎn)的的資產(chǎn)定價理論中，通過期望（實(shí)際上是一階原點(diǎn)矩）來，方差（中心矩）來刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險。這樣做的基礎(chǔ)2005-04-08 至 2015-04-301%1843.14%33.82%44.04%2.61回測區(qū)間開倉閾值是假設(shè)資產(chǎn)價格服從正態(tài)分布。但在實(shí)際中，這一點(diǎn)很難保證，特別是在市場遭遇之時，資產(chǎn)價格迅速下降，震幅明顯上升，波動率迅速累積率率升高，資產(chǎn)價格會是非平穩(wěn)的高斯分布，這樣僅僅用一階和資產(chǎn)價格的時間序列就會是不恰當(dāng)?shù)?。此時高階矩會異常發(fā)散，迅我們不可以忽略高階

2、矩的來刻畫勝率盈虧比l高階矩對于市場指數(shù)具有領(lǐng)先效果通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際市場中S0260514070002-8646zhangchao分析師：態(tài)分布的假設(shè)，僅僅用趨勢項與波動項去刻畫資產(chǎn)價格時間序列的變化，就會忽略掉許多重要的高階矩的量級飛速增大，達(dá)到了的數(shù)倍甚至成百上千倍，表現(xiàn)出明顯的發(fā)散效應(yīng)。而在一個震蕩的，并且不明顯長期趨勢的市場中，高階相關(guān)研究：矩對于市場走勢仍然具有一定的作用。特別是奇數(shù)階高階矩，在幾次基于加權(quán)趨勢葉變換的長期2014-08-28短時間的下降趨勢中，都表現(xiàn)出了發(fā)散效應(yīng)，量級大幅提升，而且先于市場指數(shù)變化。這一現(xiàn)象啟發(fā)我們，可以通過高階矩來建模擇時策略，市場趨勢。探尋

3、拋物線逼近下的創(chuàng)業(yè)板拐點(diǎn)2014-07-11從擇時變換到波浪理論2014-01-02l高階矩?fù)駮r模型及其改進(jìn)與拓展我們利用 2005 年 4 月至 2015 年 4 月的滬深 300 指數(shù)進(jìn)行了實(shí)證分析，相位指標(biāo)在短線擇時中的應(yīng)用2013-09-02率的 5 階矩進(jìn)行擇時，發(fā)現(xiàn)可以獲得顯著利用日，然后出現(xiàn)的問題我們進(jìn)行了改進(jìn)，設(shè)定了開倉閾值，提升了模型的效果，率達(dá)到 33.82%。接著我們又驗(yàn)證了其它高階奇數(shù)階矩，發(fā)現(xiàn)其它奇數(shù)階高低延遲趨勢線與性擇時2013-07-26變換下的短線擇時2013-06-17階矩也可以獲得顯著。為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)健性，我們計算價格（而非策略基于股指期貨在率）的 3

4、階、5 階和 7 階矩，在這三種指數(shù)上進(jìn)行擇時，結(jié)果更加非2012-10-17驗(yàn)證了模型是的。最后我們進(jìn)行單向做多分析，發(fā)現(xiàn)無論是日率時間表現(xiàn)的短線擇時研究還是價格的高階矩也都可以獲得的，模型的廣泛的適用性。識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)1 / 22表：高階矩?fù)駮r模型統(tǒng)計數(shù)據(jù)圖：高階矩?fù)駮r模型累計凈值曲線金融工程|專題報告目錄索引一、高階矩的定義4二、高階矩的與影響4三、高階矩對于指數(shù)擇時的領(lǐng)先效應(yīng)9四、高階矩?fù)駮r模型12五、高階矩?fù)駮r模型實(shí)證分析13六、高階矩?fù)駮r模型的展17七、單向做多的檢驗(yàn)20八、總結(jié)21識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)2 / 22金融工程|專題報告圖表索引

5、圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖1：道瓊斯指數(shù)走勢圖（1925 年至 1944 年）52：2 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)對比圖（2004 年至 2014 年）103：3 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)對比圖（2009 年至 2014 年）114：5 階矩對于滬深 300 指數(shù)的作用125：5 階矩 EMA（不同 alpha）與滬深 300 指數(shù)比較126：高階矩?fù)駮r模型凈值與滬深 300 指數(shù)比較137：不同開倉閾值下的累計凈值曲線對比158：不同奇數(shù)階高階矩?fù)駮r模型的累計凈值曲線對比169：價格的 3 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)對比圖（2005 年至 2014 年）1810：改進(jìn)的不同階

6、高階矩?fù)駮r模型凈值與滬深 300 指數(shù)比較1911：單向做多的高階矩?fù)駮r模型凈值20表表表表表1：高階矩?fù)駮r統(tǒng)計數(shù)據(jù)142：不同開倉閾值下的擇時統(tǒng)計數(shù)據(jù)153：不同奇數(shù)階高階矩的擇時統(tǒng)計數(shù)據(jù)174：改進(jìn)的高階矩?fù)駮r統(tǒng)計數(shù)據(jù)195：單向做多的高階矩?fù)駮r統(tǒng)計數(shù)據(jù). 20識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)3 / 22金融工程|專題報告一、高階矩的定義矩，是統(tǒng)計學(xué)中的一個常用的指標(biāo)，用來反映數(shù)據(jù)分布的形態(tài)特點(diǎn)。矩也被稱為動差，它代表總體數(shù)據(jù)中所有變量值與任意一個給定常數(shù)的差的 k 次方的算術(shù)平均數(shù)。矩有原點(diǎn)矩、中心矩等不同類型，在和中心矩。的統(tǒng)計中我們比較常用的是原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩是檢驗(yàn)變量關(guān)于 0 的

7、偏離程度，具體定義如下： 𝑛𝑥𝑖 𝑘𝑖=1𝜇𝑘 =𝑛中心矩檢驗(yàn)的是變量關(guān)于期望的偏離程度，具體定義如下： 𝑛(𝑥𝑖 𝑥 )𝑘𝑛𝑖=1𝑣𝑘 = 𝑛𝑥𝑖其中𝑥 =𝑖=1為算術(shù)平均?？梢姡浑A中心矩為 0，中心矩就是方差。𝑛在，方差（的資

8、產(chǎn)定價理論中，通過期望（實(shí)際上是一階原點(diǎn)矩）來描繪資產(chǎn)的中心矩）來刻畫資產(chǎn)的風(fēng)險。在此之后，CAPM 模型在內(nèi)的主流金融學(xué)理論也是主要通過一階以及來實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)配臵，尋找空間。這樣做的基礎(chǔ)是假設(shè)資產(chǎn)價格服從正態(tài)分布。但在實(shí)際中，這一點(diǎn)很難保證，資產(chǎn)價格的分布并不如假設(shè)的那樣，有時會是非平穩(wěn)的高斯分布，這樣僅僅用一階和矩來刻畫資產(chǎn)價格的時間序列就會是不恰當(dāng)?shù)?。我們不可以忽略高階矩的影響。以及在統(tǒng)計學(xué)中，三階中心矩被稱為偏度，四階中心矩被稱為峰度。偏度是指分布概率函數(shù)分布不對稱的程度；峰度是指概率分布圖形的尖峭程度或是峰凸程度，是分布集中趨勢高峰的形狀。在傳統(tǒng)的金融學(xué)理論中很少有考慮三階以上矩的資產(chǎn)定

9、價模型，五階及更高階矩的矩納入考慮范圍，通過高階矩變化含義也較為模糊。在本篇報告中高階市場走勢制定策略實(shí)現(xiàn)。二、高階矩的與影響在中著各種類型的投資者，對于市場參與者的總體行為分析兩種截然不同的模型，即群體模型與代表者模型。代表者模型即傳統(tǒng)的市場出清模型假設(shè)供給和需求曲線會相交于一點(diǎn)，如果有偏離也會有“看不見的手”推動市場回歸的均衡狀態(tài)。在代表者模型中，假設(shè)金融資產(chǎn)價格的演化是，的分趨勢（一階）與波動（）相互且。者通過對一階矩與析尋找空間，從而使市場達(dá)到均衡狀態(tài)，保證市場有效（EMH）。的資產(chǎn)定價理論以及 CAPM 模型是典型的代表者模型。在傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價理論中，假設(shè)資產(chǎn)的價格是服從正態(tài)分布的，

10、即為的高斯分布。這樣我們就可以通過一階矩與二級矩完全的刻畫價格的變化規(guī)律。在一個有效的市場中，市場價格可以用線性的隨機(jī)微分方表示，價格變化服從高斯分布。此時，價格偏離一個標(biāo)準(zhǔn)差的概率是 31.8%，兩個標(biāo)準(zhǔn)差為 4.6%，偏離三個標(biāo)準(zhǔn)差的概率約為 0.3%。識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)4 / 22金融工程|專題報告但是在實(shí)際中，我們需要考慮到價格的變動會在肥尾效應(yīng)，否則如此窄小的尾部是無法解釋市場中頻繁發(fā)生的的。在實(shí)際市場中，市場內(nèi)部者的結(jié)構(gòu)是復(fù)雜的，者的規(guī)模強(qiáng)度甚至方向都會受到資產(chǎn)價格或者心理預(yù)期的影響而變化，形成一定的反饋效應(yīng)。這也正是行為金融學(xué)中所強(qiáng)調(diào)的價值感受對于資產(chǎn)價格以及

11、投資者的投資決策有著不容忽視的影響。市場中幾乎不純“理性”的投資者。人類的心中多多少少著不的因素以及抉擇時會有著從眾的考慮。這一方面使得人們會在同樣的時間對同樣的事物可能產(chǎn)生完全不一樣的，另一方面也使得這種心理作用可能會因?yàn)閺谋娦睦矶粺o限放大，導(dǎo)致群體效應(yīng)。在現(xiàn)實(shí)中很可能著不的均衡狀態(tài)，各種投資者的行為匯總起來可能無法達(dá)到完全的市場出清。價格的變化也不一定是的，有可能服從非平穩(wěn)的高斯分布。特別是在市場遭遇之時，資產(chǎn)價格迅速下降，震幅明顯上升，波動率迅速升高。如前面所闡述的一樣，此時并不能再用理性來描繪投資者的行為，市場無法迅速達(dá)到均衡狀態(tài)，并不符合有效市場理論，所以此時也就無法用平穩(wěn)的高斯分

12、布來解釋的形成過程，的傳統(tǒng)活動或者擇時策略也會明顯失效。金融的一個重要特點(diǎn)就是在的期間價格的時間序列呈現(xiàn)高度相關(guān)且波動劇烈的，從高斯分布下零相關(guān)并且沒有記憶性的假設(shè)。這樣我們就難以用平穩(wěn)高斯分布來定量地對非穩(wěn)態(tài)時間序列進(jìn)行刻畫。我們可以觀察一下世界金融史上影響最嚴(yán)重的一次20 世紀(jì)30 年代大，如圖 1 所示，用它來觀察價格時間序列的非穩(wěn)態(tài)特點(diǎn)。圖1：道瓊斯指數(shù)走勢圖（1925年至1944年）450400350300250200150100500數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，Bloomberg從圖中可以看出，對于前的平穩(wěn)時期，我們可以認(rèn)為道瓊斯指數(shù)的走勢服從，即將價格的時間序列分解為一個固定的趨

13、勢以及趨勢附近的波動是合理的。但在后半部分，當(dāng)?shù)拉偹怪笖?shù)，市場發(fā)生時，在這種大幅波動（特別是從 1929 年到 1932 年時間，即紅線所圈部分）的情況下，趨勢會比波動小很多，價格的高階矩也不可以忽略不計。所以此時如果依舊按照傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論中通過趨勢與波動率來進(jìn)行資產(chǎn)配臵將會產(chǎn)生嚴(yán)重的后果。這種高階矩的識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)5 / 22金融工程|專題報告現(xiàn)象也表明，從長期來看的話，還沒有一個足以描述資產(chǎn)價格走勢的具有穩(wěn)態(tài)分布函數(shù)的隨機(jī)過程，所以并不符合市場理念的且自身能夠保持相對的金融市場。因此我們要有必要采用非穩(wěn)態(tài)隨機(jī)過程建模，研究資產(chǎn)價格時間序列的變化規(guī)律。在傳統(tǒng)的金融計

14、量模型中，通常會假設(shè)隨機(jī)過程在統(tǒng)計上服從某種靜態(tài)的同分布。現(xiàn)在我們考慮隨機(jī)過程的形式，假設(shè)一個隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)是空間（在這里即是資產(chǎn)價格）與時間的函數(shù)，并且隨時間的變化滿足在統(tǒng)計物理中被稱為主方程的偏微分方程，即：𝜕 𝑃 𝑥, 𝑡 = 𝑑𝑥𝑑𝑡𝑊 𝑥, 𝑡 𝑥, 𝑡 𝑃 𝑥, 𝑡 𝑊 𝑥, ⻖

15、5; 𝑥, 𝑡 𝑃 𝑥, 𝑡 (1)𝜕𝑡其中， 𝑥 表示一隨機(jī)過程，𝑃 𝑥, 𝑡 是該隨機(jī)過程的概率分布函數(shù)，𝑊 𝑥, 𝑡 𝑥, 𝑡 則代表其轉(zhuǎn)移概率，含義是從𝑡時刻到𝑡時刻隨機(jī)過程變量從𝑥取值變化成為𝑥的概率。主方程的定價等研究。在物理、生物和化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，在金融中

16、也應(yīng)用于在主方程（1）中，包含有一個隨機(jī)過程的所有階矩，完整地描繪了隨機(jī)過程。但是具體到求解過程中，我們必須要對方程進(jìn)行簡化，需要對高階矩進(jìn)行截斷，只保留到某階矩。在傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論中，鞅測度或者隨機(jī)游走均是將主方程截斷到方差，是一個擴(kuò)散過程的最簡單的形式。這樣簡化了數(shù)學(xué)上的計算，但卻也忽略了實(shí)際市場中的非線性。在這里我們用群體模型生滅過描繪時間序列變化，這樣就避免了原先傳統(tǒng)隨機(jī)游走或擴(kuò)散過程中對于金融系統(tǒng)復(fù)雜性的忽視所帶來的不足。我們可以將主方程改寫成單步離散的形式，即𝑥 𝑥 = ±1，含義是每次跳躍的均可。將𝑡 𝑡取

17、極限，就可以得到生滅過程的幅度為 1 個主方程：，向上或者𝜕 𝑃 𝑥, 𝑡 𝑊+ 𝑥 1 𝑃 𝑥 1, 𝑡 + 𝑊 𝑥 + 1 𝑃 𝑥 + 1, 𝑡 𝑊+ 𝑥 + 𝑊+ 𝑥 𝑃(𝑥, 𝑡)𝜕𝑡(2)其中，𝑊+ = &

18、#119882; 𝑥 + 1 𝑥 ，𝑊 = 𝑊 𝑥 1 𝑥 。如果𝑊+ = 𝑊，那么就可以將主方程轉(zhuǎn)化為一個線性的生滅過程，與傳統(tǒng)的用來描述時間序列變化的擴(kuò)散過程等價。在這種情況下，隨機(jī)過程會具有一個確定性的趨勢，即𝑑𝐸𝑥 𝑡 = (𝑊 𝑊 )(3)+𝑑𝑡（3）式表明這個隨機(jī)過程是具有長期趨勢，即系統(tǒng)是有記憶性的。隨機(jī)過程的波動率ҵ

19、90;2則是一個隨著期望E𝑥 𝑡 而變化的值，即𝑥𝑊 +𝑊 𝑊 𝑊 𝑡2+𝐸 𝑥 𝑡 𝑒𝜎 = 1(4)+𝑡𝑊+𝑊線性生滅過程可以通過趨勢以及波動率來進(jìn)行描繪，是傳統(tǒng)金融學(xué)理論所描述的擴(kuò)散過程。但是在實(shí)際市場中，如果我們具體分析投資者的行為，就會發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)金融學(xué)理論所依仗的假設(shè)基礎(chǔ)并不嚴(yán)格成立。當(dāng)資產(chǎn)價格很低時，投資者總體期望價格上漲并進(jìn)行 ，

20、所以會有𝑊+ > 𝑊，此時價格上漲是由相對比較一致的個體投資者的微觀行為集體推動的，行為比較一致，所以波動率較小。而隨著資產(chǎn)價格識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)6 / 22金融工程|專題報告的不斷上漲，市場開始不斷加大，波動率逐漸攀升。當(dāng)資產(chǎn)價格上升到一定幅度，有些投資者認(rèn)為產(chǎn)生，開始撤出，所以𝑊+首先發(fā)生突然的轉(zhuǎn)折，這會導(dǎo)致𝑊+ < 𝑊。而當(dāng)破滅的時候，投資者的預(yù)期又開始趨于，資產(chǎn)價格的波動率回歸到較小的區(qū)域。所以，生滅過程的轉(zhuǎn)移概率并非恒定一致，而是依賴于市場價格，導(dǎo)致市場行為受到市場狀態(tài)的影

21、響，從而進(jìn)一步影響市場狀態(tài)，這也正是市場的反身性，即互動反饋機(jī)制。注意到買入單的增多會推動資產(chǎn)價格上漲，賣出單的增多會促使資產(chǎn)價格下跌，𝑊+與𝑊可以被認(rèn)為是資產(chǎn)需求與供給的結(jié)果。投資者會在不同的價格空間采取不同的行為，這使得系統(tǒng)行為會對系統(tǒng)本身的狀態(tài)產(chǎn)生依賴。與此同時，互動反饋機(jī)制會導(dǎo)致記憶性，即系統(tǒng)達(dá)到當(dāng)前特定的狀態(tài)是由過去曾經(jīng)實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)所決定。這也就使得價格-波動的互動反饋?zhàn)屬Y產(chǎn)價格的時間序列產(chǎn)生記憶性，即資產(chǎn)價格是與歷史相關(guān)的。我們在確定采用非線性生滅過描述資產(chǎn)價格的時間序列之后，就可以采用展開高階矩的來對主方程進(jìn)行求解，從而尾部風(fēng)險出現(xiàn)、資產(chǎn)價格大幅下跌

22、的情況。我們回到生滅過程的主方程，用資產(chǎn)價格𝑆替代隨機(jī)過程變量，即𝜕𝜕𝑡𝑃 𝑆, 𝑡 = 𝑊+ 𝑆 1 𝑃 𝑆 1, 𝑡 + 𝑊 𝑆 + 1 𝑃 𝑆 + 1, 𝑡 𝑊+ 𝑆 + 𝑊+ 𝑆 𝑃(𝑆, 𝑡)(5)從數(shù)學(xué)上

23、來看，主方程不一定會穩(wěn)態(tài)分布。在原先的經(jīng)典學(xué)模型中，風(fēng)險是通過來測量的，但這是缺乏理論支撐的簡單化的數(shù)學(xué)假設(shè)。如同我們前面分析的一樣，在復(fù)雜的中，我們需要均衡理論，不能再假設(shè)以上的高階矩都收斂。我們可以運(yùn)用泊松分布，把主方程（5）轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式下的 Fokker-Planck 方程𝜕 2𝜕𝑓 = 𝜕 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼2 + 𝑎 𝑎 𝛼3 𝑓 , t +Ү

24、86; 𝛼 + 𝑎 12312123𝜕𝛼 2𝜕𝑡𝜕𝛼𝑎2𝛼2+3𝑎3 2𝑎3𝛼3𝑓,t 𝜕3𝜕𝛼3𝑎2𝛼2+3𝑎3 𝑎3𝛼3𝑓,t+𝜕4𝜕𝛼4𝑎3𝛼3&

25、#119891;,t(6)其中，向量𝑎 = (𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3)是轉(zhuǎn)移概率𝑊+ 𝑥 在基𝑋 = (1, 𝑆, 𝑆 𝑆 1 , 𝑆 𝑆 𝑆 2 )中展開的描述，即𝑊 𝑥 = 𝑎 。同理，𝑎 = (𝑎 , 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 )是w

26、882; 𝑥 1在+0123基𝑋 = (1, 𝑆, 𝑆 𝑆 1 , 𝑆 𝑆 1 𝑆 2 )中展開的描述，即𝑊 𝑥 = 𝑎 。而𝑓 , t 則𝑒𝛼 𝛼 𝑆 𝑓(𝛼, 𝑡)。是泊松分布函數(shù)，且滿足𝑃 𝑆, 𝑡 = 𝑑𝛼

27、𝛼𝑆!注意到方程（5）并不著穩(wěn)態(tài)的分布函數(shù)，所以這里𝑓 , t 并非真正的系統(tǒng)分布，僅僅是通過對于的各階矩來進(jìn)行模擬的擬概率分布。我們可以通過參數(shù)來泊松分布所產(chǎn)生的矩的階數(shù)，在這里我們截斷到了四階矩，是因?yàn)楝F(xiàn)在我們已明確知道三階矩與四階矩在統(tǒng)計學(xué)上所代表的含義?？梢愿鶕?jù)不同的需求將不斷變化的概率函數(shù)利用泊松分布進(jìn)行函數(shù)變換，從而就可以得到函數(shù)𝑃 𝑆, 𝑡 的矩表示方程，即為方程（6）。接下來我們需要將方程（6）轉(zhuǎn)換為隨機(jī)微分方程，這一轉(zhuǎn)換是通過添加“擬過程”得到的：識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的

28、免責(zé)7 / 22金融工程|專題報告𝑑𝑥 = 𝑥, 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑥, 𝑡 𝑑𝑊 + 𝑥, 𝑡 𝑑𝑈 + 𝑥, 𝑡 𝑑𝑉(7)其中 U 和 V 是三階與四階的噪聲源。在這里我們只展開到四階矩，假設(shè)更高階的矩均為零。方程（5）至（7）描繪了的群體行為。在群體模型中，不能夠僅僅用方差來衡量風(fēng)險，我們需要將風(fēng)險描繪擴(kuò)大

29、到四階矩。由于, , 1(8)𝑐其中2𝑐 = 𝑎 𝑎 + 2 𝑎 𝑎 𝜂 + 3 𝑎 𝑎 𝜂 (9)123123是方程 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼2 + 𝑎 𝑎 𝛼3 = 0(10)123123的解。所以，方程（5）至（7）能夠成立需要有𝜕𝜕𝛼23

30、 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼 0(11)123123否則的話性消失，趨勢也會，高階矩會發(fā)散向無窮大，無法用隨機(jī)過描述時間序列。由此我們可以得出，當(dāng)發(fā)生尾部風(fēng)險時，需要有𝜕𝜕𝛼23 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼 + 𝑎 𝑎 𝛼 = 0(12)12312

31、3在方程（12）中，如果𝑎 = 𝑎= 0，𝑎 = 𝑎= 0，𝑎 = 𝑎= 𝑐，那么我們就231231回歸到了傳統(tǒng)的隨機(jī)游走過𝜎0𝑑𝑊 = 𝑑𝑥程，此時方程（12）可寫為；𝜕 0 𝛼 = 0(13)𝜕𝛼這是一個在一切狀態(tài)下都可以成立的平凡恒等式 0=0，缺少特別的意義，且在這種狀態(tài)下，出現(xiàn)情況，所以也發(fā)生。如果𝑎 = w

32、886;= 0，𝑎 = 𝑎= 0，𝑎 𝑎 ，那么就是線性生滅過程，可以得到231231趨勢與波動𝑑𝐸𝑥 𝑡 = (𝑊 𝑊 )(14)+𝑑𝑡𝑊 +𝑊2 𝑊 𝑊 𝑡𝜎 =+𝐸 𝑥 𝑡 𝑒 1(15)+𝑡𝑊+⻔

33、2;此時方程（12）可寫為：𝜕𝜕𝛼 𝑎 𝑎 𝛼 = 0(16)11它只有一個解𝛼 = 0，結(jié)合𝑑𝐸𝑥 𝑡 = (𝑊 𝑊 )，此時需有𝑎 < 𝑎。這代表著一+11𝑑𝑡個市場將會持續(xù)下跌，直到價格跌到 0，任何波動率的增長率會是發(fā)散到無窮大。這，因?yàn)樵陂L期𝑎 < 𝑎 不可能一直成立，否則

34、的也意味著或者11識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)8 / 22金融工程|專題報告話市場將會消失。如果𝑎 𝑎 ，𝑎 𝑎 ，𝑎 𝑎 ，那么過程就是非線性生滅過程，會具有高階123123矩發(fā)散的特點(diǎn)。所以方程（12）會有非零解。高階矩的，特別是奇數(shù)階的高階矩是因?yàn)閮r格時間序列的非線性所導(dǎo)致的，即前面提到的雙向互動反饋機(jī)制。趨勢和波動相互影響所以導(dǎo)致高階矩的，這意味著一方面短期行為會參考長期的趨勢，而另一方面長期趨勢也會受到短期行為的影響。這種雙向互動反饋機(jī)制可能會致使就不再具有，但這種注定長期，當(dāng)達(dá)

35、到方程（12）有限的非零解時𝑊+和𝑊。會預(yù)性，就會破滅。所以，此時也就再在統(tǒng)計意義上𝑑𝐸𝑥 𝑡 = (𝑊 𝑊 )成為了兩個發(fā)散的數(shù)的相減，不再具有數(shù)學(xué)意義。+𝑑𝑡期混亂，無法形成長期預(yù)期，即趨勢。這時也正是行為金融中所謂的人們的非理性的狀態(tài)。此時投資者情緒，會大幅拋售金融資產(chǎn)，無法無窮大的轉(zhuǎn)移概率，所以不有的概率分布，從開始的高階矩發(fā)散。以上是在市場處于非平穩(wěn)狀態(tài)下的分析，此時高階矩異常發(fā)散，迅速增大，與之伴隨的是資產(chǎn)價格的迅速下跌。受

36、到這一現(xiàn)象啟發(fā)，我們可以設(shè)計高階矩?fù)駮r策略，通過高階矩來市場方向，并應(yīng)用于滬深 300 指數(shù)進(jìn)行實(shí)證。三、高階矩對于指數(shù)擇時的領(lǐng)先效應(yīng)接下來，我們觀察滬深 300 指數(shù)的高階矩對于指數(shù)是否有領(lǐng)先效應(yīng)，即，是否可以通過觀察高階矩的變動來市場趨勢。如果在市場中，如同我們前面分析的一樣，在下行的市場趨勢中伴隨著有高階矩的上升，并且高階矩的升高是先于資產(chǎn)價格下跌的，那么我們就可以通過高階矩來制定擇時策略，把握市場趨勢。在高階矩的計算方面，由于日算，即 k 階矩計算公式為：率的均值很小，所以我們采用原點(diǎn)矩進(jìn)行計 𝑁 𝑥 𝑘𝑣𝑘

37、; = 𝑖=1 𝑖 (17)𝑁此處𝑥𝑖為指數(shù)的日率。下面我們分別觀察指數(shù)日率的到七階矩，并與滬深 300 指數(shù)進(jìn)行對比，觀察期從 2004 年 2 月到 2014 年 11 月，具體如下圖所示。識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)9 / 22金融工程|專題報告圖 2：2 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)對比圖（2004 年至 2014 年）700060005000400030002000100000.20%0.15%0.10%0.05%0.00%700060005000400030002000100000.006

38、%0.004%0.002%0.000%-0.002%-0.004%-0.006%滬深300 3階矩滬深300 2階矩700060005000400030002000100000.0008%0.0006%0.0004%0.0002%0.0000%700060005000400030002000100000.00006%0.00004%0.00002%0.00000%-0.00002%-0.00004%-0.00006%滬深300 4階矩滬深3005階矩700060005000400030002000100000.000000%0.000000%0.000000%0.000000%0.000000

39、%700060005000400030002000100000.000005%0.000004%0.000003%0.000002%0.000001%0.000000%滬深300 6階矩滬深300 7階矩數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊從上圖中的效果來看，支持我們前面的分析實(shí)際市場并不，二階矩并不恒定。如果我們用采用正態(tài)分布的假設(shè)，僅僅用趨勢項與波動項去刻畫資產(chǎn)價格時間序列的變化，就會忽略掉許多重要的，無法得到完整的有意義的結(jié)，陡然升高。在之后的市場中論。注意到在 2008 年的熊市中，明顯異于也是屢有震蕩，并不平穩(wěn)。所以如果我們依據(jù)傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論來根據(jù)期望和方差來進(jìn)行資產(chǎn)配臵對沖

40、，就會出現(xiàn)明顯的漏洞，承擔(dān)不必要風(fēng)險與損失。觀察日率的 3 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)之間的，我們可以發(fā)現(xiàn)，他們具有一個共同的特點(diǎn)，那就是在 2008 年的熊市前異常變化。在這段時間內(nèi)高階矩的量級飛速增大，達(dá)到了的數(shù)倍甚至成百上千倍。這與我們前面通過分析得出的資產(chǎn)價格符合非線性生滅過程的結(jié)論相符。在非線性生滅過程中，不能像傳統(tǒng)資產(chǎn)定價理論中的隨機(jī)游走模型一樣將高階矩截斷忽略，在這種情況下，高階矩會有明顯的發(fā)散效應(yīng)。所以在資產(chǎn)配臵中，進(jìn)行風(fēng)險對沖的時候我們也應(yīng)該考慮到高階矩的。特別是在中，以往的經(jīng)驗(yàn)告訴我們，時金融資產(chǎn)的相數(shù)會異常增大，能會變得可能關(guān)聯(lián)性不高或者可以很進(jìn)行風(fēng)險分散的不同資產(chǎn)

41、在此時有可緊密，同時出現(xiàn)大幅下跌。通過傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價理論配臵資產(chǎn)會無法達(dá)到降低風(fēng)險的作用。識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)10 / 222004-2-112005-2-112006-2-112007-2-112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-112004-2-112005-2-112006-2-112007-2-112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-112004-2-112005-2-112006-2-112007

42、-2-112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-112004-2-112005-2-112006-2-112007-2-112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-112004-2-112005-2-112006-2-112007-2-112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-112004-2-112005-2-112006-2-112007-2-

43、112008-2-112009-2-112010-2-112011-2-112012-2-112013-2-112014-2-11金融工程|專題報告由于 2007 年年底開始的大熊市導(dǎo)致高階矩的數(shù)量級別過于異常，在圖上直接掩蓋住了后期市場中高階矩的變化規(guī)律，所以在接下來，我們觀察 2009 年 1 月至 2014年 11 月的 3 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)的。圖 3：3 至 7 階矩與滬深 300 指數(shù)對比圖（2009 年至 2014 年）40000.003%0.002%0.001%0.000%-0.001%-0.002%-0.003%-0.004%-0.005%40003000200

44、0100000.0004%0.0003%0.0002%0.0001%0.0000%滬深300 3階矩滬深300 4階矩3000200010000400030002000100000.00001%0.00001%0.00000%-0.00001%-0.00001%-0.00002%-0.00002%40003000200010000.000001%0.000001%0.000001%0.000001%0.000001%0.000000%0.000000%0.000000%滬深300 5階矩滬深300 6階矩040000.0000000%0.0000000%0.0000000%0.0000000%

45、0.0000000%-0.0000001%-0.0000001%滬深300 7階矩3000200010000數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊可以看出，在一個震蕩的，并且不明顯長期趨勢的市場中，高階矩對于市場走勢仍然具有一定的作用。以 5 階矩為例，如圖 4 中所圈出部分，在幾次短時間的下降趨勢中，5 階矩都表現(xiàn)出了發(fā)散效應(yīng)，量級大幅提升，而且先于滬深 300指數(shù)變化。而在市場呈平穩(wěn)上升的趨勢中，5 階矩并沒有明顯變化，在 0 附近。這一現(xiàn)象啟發(fā)我們，可以通過高階矩來建模擇時策略，市場趨勢。識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)11 / 22金融工程|專題報告圖 4：5 階矩對于滬深

46、300 指數(shù)的作用400035003000250020001500100050001.00E-07滬深3005階矩5.00E-080.00E+00-5.00E-08-1.00E-07-1.50E-07-2.00E-07數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊四、高階矩?fù)駮r模型通過觀察比較圖 2 與圖 3，我們發(fā)現(xiàn)高階矩，特別是奇數(shù)階矩，對于市場走勢具備有一定的領(lǐng)先性。即在市場即將出現(xiàn)下降趨勢，特別是在下降趨勢的起始階段， 高階矩的量級會異常增大。通過這一現(xiàn)象可以構(gòu)建擇時策略，我們稱之為高階矩?fù)駮r模型。注意到圖 2 與圖 3 中高階矩曲線變化劇烈，所以我們考慮對高階矩曲線進(jìn)行指數(shù)移動平均（Ex

47、potenial Moving Average）處理。嘗試不同的移動平滑參數(shù)，參數(shù)值越大，對于市場走勢的敏感性越好，但平滑性所有下降，在這里我們以 5 階矩為例，取不同𝛼值進(jìn)行比較，如圖 5 所示。圖 5：5 階矩 EMA（不同 alpha）與滬深 300 指數(shù)比較700060005000400030002000100005.00E-074.00E-073.00E-072.00E-071.00E-070.00E+00-1.00E-07-2.00E-07-3.00E-07-4.00E-07-5.00E-07滬深3000.20.4數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊識別風(fēng)險，

48、發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)12 / 22金融工程|專題報告接下來以五階矩模型為例，高階矩?fù)駮r模型的構(gòu)建。1）計算每天日率的五階矩，計算公式如（17）式所示，計算數(shù)據(jù)長度為 20。2） 在T 日收盤后，計算出 T 日（含）之前的五階矩。3） 對五階矩進(jìn)行指數(shù)移動平均處理，具體計算公式如下：EMA = (18)參數(shù)𝛼取值范圍為從 0.05 至 0.5，間隔 0.05，𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑡代表 𝑡日的高階矩，這樣我們就得到了不同參數(shù)下的 T 日（含）之前的平滑五

49、階矩序列。4）滾動窗口樣本外推。每隔 90 個日，利用T 日之前 90 個日的窗口期數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)確定，需要確定的參數(shù)為指數(shù)移動平均系數(shù)𝛼。通過窗口期數(shù)據(jù)對不同𝛼的指數(shù)移動平均得到的結(jié)果進(jìn)試，按照切線法（詳見短線擇時策略研究之三低延遲趨勢線與性擇時）確定 T 日使得窗口期累積最大的指數(shù)移動平均參數(shù)𝛼max （該值每次可能會發(fā)生變化），得到的參數(shù)𝛼max 有效期為 90 天，直至下一次參數(shù)確定前。5） 按照切線法，如果T 日五階矩的 EMA(𝛼max )大于T-1 日的 EMA(𝛼max )，那么T+1

50、 日的信號為+1，T+1 日看多，建倉價為 T 日收盤價；否則信號為-1，T+1 日看空。6） 計算過程設(shè)臵 10%止損線，如果單次擇時虧損超過 10%即保持空倉位，直至擇時信號變化。在接下來的部分中在市場指數(shù)中對這一模型進(jìn)行實(shí)證分析。五、高階矩?fù)駮r模型實(shí)證分析首先，我們采用 2005 年 4 月 8 日滬深 300 指數(shù)上市日至 2015 年 4 月 30 日的滬深 300 指數(shù)日收盤價作為數(shù)據(jù)進(jìn)行回測檢驗(yàn)。通過雙向的對高階矩?fù)駮r模型進(jìn)行實(shí)證分析，檢測模型的效果。累積表 1 所示。用復(fù)利計算。具體結(jié)果如圖 6 及圖 6：高階矩?fù)駮r模型凈值與滬深 300 指數(shù)比較滬深300指數(shù)高階矩模型累計凈

51、值70006000500040003000200010000201816142數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)13 / 22金融工程|專題報告表 1：高階矩?fù)駮r統(tǒng)計數(shù)據(jù)累積率1646.24%率32.43%比率47.96%次數(shù)106平均率6.24%平均盈虧比（絕對值）2.24單次最大虧損-12.17%最大連續(xù)虧損次數(shù)7數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊通過對滬深 300 指數(shù)將近 10 年數(shù)據(jù)進(jìn)行回測我們發(fā)現(xiàn)高階矩?fù)駮r模型的累積收益率為 11646.24%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過市場指數(shù)本身。這相當(dāng)于率 32.43%，住了擇時信號錯較高的水平。觀察累計凈值曲線

52、，在十年的回測期中基本誤所導(dǎo)致的風(fēng)險損失，高階矩?fù)駮r模型的累積凈值基本是平滑上升的，沒有急速的上升或下降，各個時間段的相對，整體波動相對較小。同時，我們也注意到，高階矩?fù)駮r模型的最大回撤達(dá)到了-35.90%，單次最大虧損達(dá)到了-12.17%。這也意味著投資者可能會在短期內(nèi)一定的虧損，我們需要對于模型進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)。特別是 2015 年初的時間，高階矩?fù)駮r模型的累計凈值出現(xiàn)了較大的回撤，這意味著高階矩?fù)駮r信號在這波大牛市的行情中出現(xiàn)了誤判。仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，在這段時間內(nèi)，經(jīng)過平滑的高階矩序列變化較小，可能后一天的平滑高階矩僅僅比前一天的略有上升或下降就觸發(fā)信號變化，從而產(chǎn)生信號誤判。所以， 我們可

53、以為高階矩序列變化設(shè)定一個閾值，當(dāng)后一天的平滑高階矩較前一天的變化幅度超過一定閾值后再觸發(fā)擇時信號，如果變化幅度沒有達(dá)到閾值則保持倉位為空。具體模型改進(jìn)如下。1）與之前相似，計算每天日數(shù)據(jù)長度為 20。率的五階矩，計算公式如（17）式所示，計算2） 在T 日收盤后，計算出 T 日（含）之前的五階矩。3） 對五階矩進(jìn)行指數(shù)移動平均處理，具體計算公式如下：EMA = (19)參數(shù)𝛼取值范圍為從 0.05 至 0.5，間隔 0.05，𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑡代表 𝑡日

54、的高階矩，這樣我們就得到了不同參數(shù)下的 T 日（含）之前的平滑五階矩序列。4）滾動窗口樣本外推。每隔 90 個日，利用T 日之前 90 個日的窗口期數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)確定，需要確定的參數(shù)為指數(shù)移動平均系數(shù)𝛼。通過窗口期數(shù)據(jù)對不同𝛼的指數(shù)移動平均得到的結(jié)果進(jìn)試，按照切線法確定 T 日使得窗口期累積最 大的指數(shù)移動平均參數(shù)𝛼max（該值每次可能會發(fā)生變化），得到的參數(shù)𝛼max 有效期為識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)14 / 22最大連續(xù)次數(shù)6單次最大43.39%平均虧損率-2.78%虧損次數(shù)115最大回撤率-35.90%擇時次數(shù)22

55、1金融工程|專題報告90 天，直至下一次參數(shù)確定前。5） 按照切線法，如果 T 日五階矩的 EMA(𝛼max )大于 T-1 日的 EMA(𝛼max )×(1+k)，那么 T+1 日的信號為+1，T+1 日看多，建倉價為 T 日收盤價；如果 T 日五階矩的 EMA(𝛼max )小于T-1 日的 EMA(𝛼max )×(1-k)，那么 T+1 日的信號為-1，T+1 日看空，建倉價為 T 日收盤價；否則 T 日五階矩的 EMA(𝛼max )介于 T-1 日的EMA(𝛼max )&#

56、215;(1-k)與 EMA(𝛼max )×(1+k)之間時信號為 0，T+1 日保持倉位為空。k 為對應(yīng)開倉閾值。6） 計算過程設(shè)臵 10%止損線，如果單次擇時虧損超過 10%即保持空倉位，直至擇時信號變化。我們分別對于開倉閾值取 1%和 2%的情況下進(jìn)行實(shí)證分析，并與取 0%時（即原先模型）效果進(jìn)行對比，如圖 7 與表 2 所示。圖 7：不同開倉閾值下的累計凈值曲線對比閾值0%閾值1%閾值2%20181614121086420數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊表 2：不同開倉閾值下的擇時統(tǒng)計數(shù)據(jù)閾值 0%閾值 1%閾值 2%累積率1646.24%1843.

57、14%1096.11%率32.43%33.82%27.60%比率47.96%44.04%38.46%次數(shù)106122130平均率6.24%5.58%5.33%平均盈虧比（絕對值）2.242.612.83單次最大虧損-12.17%-12.36%-11.65%識別風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)價值請務(wù)必閱讀末頁的免責(zé)15 / 22最大連續(xù)次數(shù)645單次最大43.39%41.99%40.61%平均虧損率-2.78%-2.14%-1.88%虧損次數(shù)115155208最大撤率-35.90%-26.61%-38.58%擇時次數(shù)221277338金融工程|專題報告最大連續(xù)虧損次數(shù)757數(shù)據(jù)來源：廣發(fā)證券研發(fā)中心，wind 資訊

58、設(shè)定開倉閾值的意義是為開倉設(shè)定了一定的條件。如果閾值取值過低可能會因?yàn)楦唠A矩微小的變化導(dǎo)致信號頻繁變化而產(chǎn)生誤判，帶來不必要的損失；而如果閾值取值過高可能會致使部分時間保持倉位為空，錯過擇時信號，損失投資機(jī)會。所以這個開倉閾值的取值需要適度，既不能過高也不能過低。通過 3 種不同開倉閾值下的實(shí)證檢驗(yàn)結(jié)果分析，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)開倉閾值取定為 1% 時效果相對較好。雖然在前面大部分時間中，閾值為 1%的累計凈值曲線低于閾值為0%的累計凈值曲線，收入較為平穩(wěn)，波動較小，但是通過對于 15 年初行情趨勢的正確把握，避免了較大的回撤，從而實(shí)現(xiàn)了更高的累計凈值。通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)我們也可以看出，閾值取 1%是回撤僅有-26.61%，遠(yuǎn)小于閾值取 0%時的-35.90%。而率卻提高了 1%，從而達(dá)到了更高的累積益下降而回撤上升，效果并不理想。率。而當(dāng)閾值取 2%則顯得有些過大，收綜合來看，高階矩?fù)駮r模型對于閾值