多元函數(shù)微分學

1、7.2 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1. n 維空間維空間n 元有序數(shù)組),(21nxxx的全體所構(gòu)成的集合記作,RnRRRRnnkxxxxkn,2, 1,),(21R中的每一個元素用單個粗體字母 x 表示, 即nR),(21nxxxxnR定義了線性運算的定義:),(21nxxxxR,R),(),(2121nnnyyyxxxyx任給),(2211nnyxyxyxyx線性運算其元素稱為點或 n 維向量. xi 稱為 x 的第 i 個坐標 或 第 i 個分量. .R)0, 0, 0(中的坐標原點或零向量稱為零元n0 0稱為 n 維空間, 的距離距離定義為2211()()nndxyxy),(

2、1nyy y),(R1nnxx x中兩點),(,21nxxxx點特別與零元 0 的距離為22212ndxxx )(0oPPUPP 002. 2. 區(qū)域區(qū)域(1). 鄰域鄰域點集, ),(0PPU稱為點 P0 的 鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圓鄰域)在空間中, ),(),(0zyxPU(球鄰域)說明：說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫成. )(0PU點 P0 的去心鄰域去心鄰域記為PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(2). 內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點

3、P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也含 EE則稱 P 為 E 的內(nèi)點內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點邊界點 .的外點 ,顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . D(3) . 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集； 若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E

4、的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O 整個平面 點集 1),(xyx是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點 PD 與某定點 A 的距離 AP K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱為無無xyO7.2.37.2.3多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式,2hrV )2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbac

5、ba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr定義定義1. 設(shè)非空點集,nDRDPPfu, )(或點集 D 稱為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域值域 .特別地 , 當 n = 2 時, 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當 n = 3 時, 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfuxzy例如, 二元函數(shù)221yxz定義域為1),(22 yxyx圓域說明說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz

6、 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(RyxxyzOOO.2 求下列函數(shù)定義域求下列函數(shù)定義域例例；1)9ln()3(2222 yxyxz.arcsinarcsin)4(byaxz ；)ln(1)2(yxxz ；221)1(yxz 三、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的極限定義定義2. 設(shè) n 元函數(shù),(nDPPfR),點 , ),(0PUDP,)(APf則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當 n =2 時, 記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對一記作，時的極限當0)(PPPfAyxfyyxx),

7、(lim00都有對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切7.2.3 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù).),(lim),(),(),(),()(),(),(.),(),()(2),(),(0000000000AyxfyxyxyxfAAyxfAPfPUDyxPADyxPDyxfPfyxyx 時時的的極極限限，記記作作當當為為函函數(shù)數(shù)成成立立，那那么么就就稱稱常常數(shù)數(shù)時時，都都有有，使使得得當當點點，總總存存在在正正數(shù)數(shù)意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)，對對于于任任如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)的的聚聚點點是是，的的定定義義域域設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)定定義義 例例1. 設(shè))0(1sin)(),(222222yxyx

8、yxyxf求證:.0),(lim00yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim00yxfyx,00),( yxf,022時當yx22yx 222yx ,總有要證 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時，當yx220 xyyx11sinsin總有 2要證 若當點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyx

9、f222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點 (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時yxP不存在 .例例3. 討論函數(shù)函數(shù)例例4. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而620)cos1 (4limrrr此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸,222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r24r故22222200)()cos(1limyxyxyxy

10、x).0 , 0(),(0lim522200 yxyxyxyx證證明明例例.)sin(lim620 xxyyx求求例例2. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性 定義定義7.3),(),(,),(),(,),(),(00000000000yxfyyxxfzzyxfyyxxyxyxyxPyxfz 的改變量的改變量得到函數(shù)得到函數(shù)這時這時的定義域的定義域?qū)儆趯儆谑沟檬沟靡粋€改變量一個改變量分別給分別給個鄰域內(nèi)有定義個鄰域內(nèi)有定義的某的某在點在點設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)).,(),(lim,0lim0000)0,0(),()0,0(),(yxfyyxxfzyxyx 即即如果如果. )(),(),(,),()

11、,(0000不連續(xù)不連續(xù)處間斷處間斷在在否則稱否則稱處連續(xù)處連續(xù)在在則稱則稱yxyxfyxyxfz 例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(0 , 0) 極限不存在, 又如又如, 函數(shù)11),(22yxyxf上間斷，稱為間斷線.122 yx 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周結(jié)論結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意，DQ;)(Qf使(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上

12、二元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):.11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx備用題備用題1. 設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy1 .設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令uvyx2vuxy2vy uvx ),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvfyxyxyx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,12.yxxyxyx)1ln(lim00是否存在？解解: 利用xxy取所以極限不存在.333,0,yxyx)1ln( yxxyxyx)1ln(lim00 3. 證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù).證證:,)