關(guān)于導(dǎo)數(shù)的29個(gè)典型習(xí)題

1、關(guān)于導(dǎo)數(shù)的29個(gè)典型習(xí)題習(xí)題1設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)類(有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù))，且若在時(shí)是比高階的無窮小，試確定的值。解 由題設(shè)知 . 由洛比達(dá)法則知 故聯(lián)立可解出習(xí)題2 設(shè)其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.(1) 求(2) 討論在上的連續(xù)性.解 (1) 當(dāng)時(shí)，用公式有當(dāng)時(shí)，用定義求導(dǎo)數(shù)，有 (2) 因在處有而在處連續(xù)，故習(xí)題3 證明：若（圓），其中為定數(shù) 則 定數(shù)。證 求導(dǎo)， 即 再導(dǎo)一次， 即 注 恰是圓的半徑.習(xí)題4 證明：若在內(nèi)可導(dǎo)，且 則證 作輔助函數(shù)應(yīng)Cauchy中值定理.,由Cauchy中值定理有（顯然）或 或 因 即 于是，.即 習(xí)題5 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且 證明證 以及任意，則有即 由題設(shè)知下面

2、求使為最小。為此令解出而故知在處為最小. 從而可知習(xí)題 6 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且 試證使得 證 取數(shù)由介值定理知使在區(qū)間上分別應(yīng)用微分中值定理有從而 顯然,當(dāng)取 則 且 代入得 習(xí)題7 求在處的100 階導(dǎo)數(shù)值。解 由Taylor公式有.故 習(xí)題8 設(shè)證明 證 設(shè)應(yīng)用Lagrange中值定理有 又設(shè) 則當(dāng)時(shí), 此時(shí) 單減.從而即 習(xí)題10 設(shè)在內(nèi)有定義，存在，且滿足 如果求證 證 故 使欲證只需證明反證法，若則又為極大，故但另一方面矛盾。故知若則仿上面的證明，有另一方面矛盾。故命題得證。習(xí)題11設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，又設(shè)聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，求證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使證 對(duì)在上分別應(yīng)用Lagra

3、nge中值定理，使由于三點(diǎn)在同一直線上，所以再對(duì)在上應(yīng)用Rolle定理可得：使習(xí)題12 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)試證 使得證 令 則在上二階可導(dǎo)，且對(duì)在上分別應(yīng)用Rolle定理，使對(duì)由于在上可導(dǎo)，再用Rolle定理，使得而令即得所求證的等式。習(xí)題13 設(shè)二階可導(dǎo)，且求證 證 二階可導(dǎo)，且可導(dǎo)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，使為最小值，且再由Taylor公式有其中介于與之間，分別取得當(dāng)時(shí)，由前式推出當(dāng)時(shí)，由后式推出由此即得 習(xí)題14 設(shè)試證 證 令則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由得唯一駐點(diǎn)由于在上的最大值為1，最小值為于是習(xí)題15 設(shè)在上二階可導(dǎo)，則在內(nèi)必存在一點(diǎn)使證 將在處展開，令即類似在處展開，令則有相減得

4、所以其中 ，即在內(nèi)存在一點(diǎn)，使 習(xí)題16設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證明證 將在點(diǎn)展開，求出的值：相減因此因?yàn)?故有當(dāng)時(shí)，即習(xí)題17 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且其最大值在內(nèi)達(dá)到：試證證(類似方法處理，先將在某點(diǎn)展開，再將0,1分別代入)設(shè)是的最大值點(diǎn)，則有且應(yīng)用Taylor公式有因此于是 習(xí)題22 設(shè)且證明使（提示：用三階Taylor公式，將在處展開，然后分別用0,1代,相減，利用條件便有即于是，即在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使）第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性1 增量：變量從初值變到終值，終值與初值的差叫變量的增量，記作，即。（增量可正可負(fù)）。例1 分析函數(shù)當(dāng)由變到時(shí)，函數(shù)值的改變量。2函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的

5、定義定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自變量的增量=趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增也趨向于零，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。 定義3：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式的一切，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式：，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。注：1、上述的三個(gè)定義在本質(zhì)上是一致的，即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1） 函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義（函數(shù)在點(diǎn)有定義），（2） 存在；（3）。 3函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)、右連續(xù)的定義： （1）函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)Û在內(nèi)有定義，且（即）。

6、（2）函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)Û在內(nèi)有定義，且（即）。 顯然，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)Û函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)。 (3)、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是存在的充分條件，而非必要條件。3、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義定義4：如果函數(shù)在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都是連續(xù)的（如果此區(qū)間包含端點(diǎn)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)），則稱函數(shù)在該區(qū)間上是連續(xù)的。例1：討論下列函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性（1）（2） （3）例2：設(shè)，試確定的值，使函數(shù)在處連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)（一）間斷點(diǎn)概念：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義（在點(diǎn)處可以無定義），如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)： 函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)：（1）函數(shù)在點(diǎn)有定義， （1*） 函數(shù)在點(diǎn)沒有定義（2） 存在； （2*）不存在（3） （3*）存在，但在點(diǎn) 沒有定義， 或（二）.間斷點(diǎn)的分類設(shè)為函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，1、第一類間斷點(diǎn)，都存在， （1）若=，即存在，此類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。函數(shù)在點(diǎn)無定義，函數(shù)在點(diǎn)有定義，但。（2）若¹