全等三角形經(jīng)典題型——輔助線問(wèn)題

1、全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法(含答案)總論：全等三角形問(wèn)題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.

2、垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”： 遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上

3、相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全等三角形2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形3) 遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理（2）可以在角平分線上

4、的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6) 已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有

5、關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.解：延長(zhǎng)AD至E使AE2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長(zhǎng)中線,等腰三角形“三線合一”法)延長(zhǎng)FD至G使FG2EF，連BG，EG,顯然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三線合一知EGEF在BEG中，由三

6、角形性質(zhì)知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE. 解：延長(zhǎng)AE至G使AG2AE，連BG，DG,顯然DGAC， GDC=ACD由于DC=AC，故 ADC=DAC在ADB與ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE應(yīng)用：1、以 的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM與DE

7、的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由解：（1），；證明：延長(zhǎng)AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形，又再證：，延長(zhǎng)MN交DE于HE（2）結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF，在和中（SAS），又，且，二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC解：（截長(zhǎng)法）在AB上取中點(diǎn)F，連FDADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知DFAB，故AFD90°ADFADC（SAS）ACDAFD90°

8、即：CDA2、如圖，ADBC，EA,EB分別平分DAB,CBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAD+BC解：（截長(zhǎng)法）在AB上取點(diǎn)F，使AFAD，連FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180°AFE+BFE180°故ECBEFBFBECBE（AAS）故有BFBC從而;ABAD+BC3、如圖，已知在ABC內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：（補(bǔ)短法, 計(jì)算數(shù)值法）延長(zhǎng)AB至D，使BDBP，連DP在等腰BPD中，可得BDP40°從而B(niǎo)DP40°ACPADPACP（ASA）故ADAC又QBC

9、40°QCB 故 BQQCBDBP從而B(niǎo)Q+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)BA至F，使BFBC，連FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB ，F(xiàn)DDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD180°5、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至F，使AFAB，連PDABPAFP（SAS）故BPPF由三角形性質(zhì)知PBPCPFPC < CFAFACABAC應(yīng)用：分析：此題連接AC，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用已

10、知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過(guò)證明三角形全等解決它們的問(wèn)題。解：有連接AC，過(guò)E作并AC于F點(diǎn)則可證為等邊三角形即，又，又在與中，點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、平移變換例1 AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點(diǎn)，ABC周長(zhǎng)記為，EBC周長(zhǎng)記為.求證.解：（鏡面反射法）延長(zhǎng)BA至F，使AFAC，連FEAD為ABC的角平分線, MNAD知FAECAE故有FAECAE（SAS）故EFCE在BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例

11、2 如圖，在ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE。四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE =AC證明L(角平分線在三種添輔助線,

12、計(jì)算數(shù)值法)B=60度,則BAC+BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;OAE=OAF.則OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.則COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).

13、解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFC（HL）故有BECF。AB+AC2AEAE（a+b）/2BE=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不

14、變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。證法一：如圖1，在AC上截取，連結(jié)FG ，AF為公共邊， ，AD、CE分別是、的平分線及FC為公共邊證法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)F分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H ，AD、CE分別是、的平分線可得，F(xiàn)是的內(nèi)心，又 可證 五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于A

15、EG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接DC， D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CDAB，CDDACD平分BCA90°，ECDDCA45°由于DMDN，有EDN90°由于 CDAB，有CDA90°從而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有DE=DF（2）SABC=2, S四DECF= SACD=1例3 如圖，是

16、邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；解：(圖形補(bǔ)全法, “截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法) AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CEBMABC為等邊三角形，BCD為等腰三角形，且BDC=120°，MBD=MBC+DBC=60°+30°=90°，DCE=180°-ACD=180°-ABD=90°，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MD

17、N=120°-60°=60°，在DMN和DEN中，      DM=DE     MDN=EDN=60°     DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA和DEF中，      DM=DE     MDA=60°- MDB=60°- CDE=EDF (CDE=BDM)    DAM=DFE=30°DMNDEN (AAS)，MA=FE的周

18、長(zhǎng)為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：1、已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明解：（1），（SAS）；，為等邊三角形，（2）圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使，連接BK則，即圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng)

19、;(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.分析：（1）作輔助線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長(zhǎng)即為求的長(zhǎng)，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當(dāng)、P、

20、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時(shí)解：（1）如圖，作于點(diǎn)E中，在中，解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，；解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線交PB于G在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值中，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（如圖）此時(shí)，即的最大值為6此時(shí)3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系

21、及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）分析：（1）如果，因?yàn)?，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)?，根?jù)HL定理，兩三角形全等。那么，三角形NCD中，在三角形DNM中，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此，三角形AMN的周長(zhǎng)，三角形ABC的周長(zhǎng)，因此（2）如果，我們可通過(guò)

22、構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因?yàn)?，因此Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過(guò)D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的，我們做的角，因此兩三角形全等（ASA）那么，三角形MDN和NDH中，已知的條件有，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道，因?yàn)?，因此，因?yàn)?，那么，因此，這樣就構(gòu)成了兩

23、三角形全等的條件三角形MDN和DNH就全等了那么，三角形AMN的周長(zhǎng)因?yàn)?，因此三角形AMN的周長(zhǎng)解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系：；此時(shí)（2）猜想：結(jié)論仍然成立證明：如圖2，延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE，且又是等邊三角形在與中（SAS），在與中（SAS）故的周長(zhǎng)而等邊的周長(zhǎng)（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則（用x、L表示）點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)題中沒(méi)有明顯的全等三角形時(shí)，我們要根據(jù)條件通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形。D 【全等三角形經(jīng)典題型】4. 小明不慎將一塊三角形的玻璃

24、摔碎成如圖1所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（）A 第1塊 B第2塊 C第3塊 D第4塊 第4題圖 23.（8分）已知，在中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且。試探究?jī)蓷l線段之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由。 第23題圖24.（8分）用兩個(gè)全等的等邊三角形和拼成四邊形，把一個(gè)含角的三角尺與這個(gè)四邊形疊合，使三角尺的角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，兩邊分別與重合，將三角尺繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。（1） 當(dāng)三角尺的兩邊分別于四邊形的兩邊相較于點(diǎn)時(shí)（如圖），通過(guò)觀察或測(cè)量的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并說(shuō)明理由。（2） 當(dāng)三角尺的兩邊分別與四邊形的兩邊的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)時(shí)（如圖），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？并說(shuō)明理由。 25. （10分）（1）如圖（1），正方形中，為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，猜想與的數(shù)量關(guān)系為 。（說(shuō)明理由）（2） 如圖（2）在（1）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，觀察并猜想與的數(shù)量關(guān)系 。（不必說(shuō)明理由） 解決問(wèn)題：王師傅有一塊如圖所示的板材余料，其中，。王師傅想切下一刀后把它拼成正方形。請(qǐng)你幫王師傅在圖（3）中畫(huà)出剪拼得示意圖。王師傅現(xiàn)在有兩塊同樣大小的該余料，