使用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分

1、用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分一：教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）： 基本內(nèi)容：用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的幾種方法重點(diǎn)：用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的方法難點(diǎn)：定理的應(yīng)用二：教學(xué)目標(biāo)或要求：真正掌握用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的幾種方法三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：57 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分留數(shù)定理的一個(gè)重要應(yīng)用是計(jì)算某此實(shí)變函數(shù)的積分. 如，在研究阻尼振動(dòng)時(shí)計(jì)算積分，在研究光的衍射時(shí)，需要計(jì)算菲涅耳積分. 在熱學(xué)中將遇到積分(，b為任意實(shí)數(shù))如用實(shí)函數(shù)分析中的方法計(jì)算這些積分幾乎是不可能的，既使能計(jì)算，也相當(dāng)復(fù)雜.如果能把它們化為復(fù)積分，用哥西定理和留數(shù)定理，那就簡(jiǎn)單了.當(dāng)然最關(guān)鍵的是

2、設(shè)法把實(shí)變函數(shù)是積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來.把實(shí)變積分聯(lián)系于復(fù)變回路積分的要點(diǎn)如下：定積分的積分區(qū)間可以看作是復(fù)數(shù)平面上的實(shí)軸上的一段，于是，或者利用自變數(shù)的變換把變成某個(gè)新的復(fù)數(shù)平面上的回路，這樣就可以應(yīng)用留數(shù)定理了；或者另外補(bǔ)上一段曲線，使和合成回路l,l包圍著區(qū)域B，這樣左端可應(yīng)用留數(shù)定理，如果容易求出，則問題就解決了，下面具體介紹幾個(gè)類型的實(shí)變定積分.一 計(jì)算型積分令，則與均可用復(fù)變量表示出來，從而實(shí)現(xiàn)將變形為復(fù)變量的函數(shù)的愿望，此時(shí)有 同時(shí)，由于，所以，且當(dāng)由變到時(shí)，恰好在圓周上變動(dòng)一周。故使積分路徑也變成了所期望的圍線。至此，有 于是，計(jì)算積分的方法找到了，只需令即可。例 求。

3、解 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，令 ， 當(dāng) 時(shí)，在 內(nèi)， 僅以 為一級(jí)極點(diǎn)，在 上無奇點(diǎn)，故由留數(shù)定理當(dāng)時(shí),在內(nèi)僅以為一級(jí)極點(diǎn),在上無奇點(diǎn)， 例 計(jì)算積分 .解：令得： 先求的奇點(diǎn)及其留數(shù).令其分母為零得： 這就是的兩個(gè)單極點(diǎn).單極點(diǎn)的模為：所以極點(diǎn)在單位圓內(nèi).而單極點(diǎn)的模為:所以在單位圓外，在極點(diǎn)處.此積分在力學(xué)和量子力學(xué)中甚為重要，由它可以求出開普勒積分：之值.為此，在前例中，用代得：兩也對(duì)a求導(dǎo)得：令a=1得，即：例 求。解 為偶函數(shù)，故 ，令 ，則 在 內(nèi)部 僅有 為一級(jí)極點(diǎn)， ，故 ，比較實(shí)部得 ，故 。例 計(jì)算積分.解：若直接作變換，則積分復(fù)雜，若先考慮積分:作變換：，則:因?yàn)榈碾A極點(diǎn).所

4、以：故：比較兩邊的實(shí)部和虛部得：。一 計(jì)算型積分 由于，考慮添加輔助曲線與實(shí)軸上是區(qū)間 構(gòu)成圍線 ，則 ，其中為落在內(nèi)部的有限個(gè)奇點(diǎn)處的留數(shù)和，若能估計(jì)出的值，再取極限即得。引理6.1 設(shè)在圓弧充分大)上連續(xù),且在上一致成立(即與中的 無關(guān))，則 。證 ，由于 在 上一致成立，故 ， 定理6.7 設(shè)為有理分式，其中 ，為互質(zhì)多項(xiàng)式,且（1） ；（2）在實(shí)軸上 ，則 。證 由,存在,且 。作,與線段一起構(gòu)成圍線,取足夠大，使的內(nèi)部包含在上半平面內(nèi)的一切孤立奇 點(diǎn),由在實(shí)軸上知,在上沒有奇點(diǎn),由留數(shù)定理得 ，又 。由于當(dāng)時(shí),，由引理6.1， ，于是 。例設(shè)，計(jì)算解： 為偶函數(shù)，所以函數(shù)的奇點(diǎn)為故在

5、上半平面的奇點(diǎn)為：，而：例 計(jì)算積分。解 經(jīng)驗(yàn)證，此積分可用（7.11）式計(jì)算首先，求出在上半平面的全部奇點(diǎn)令 即 于是，在上半平面的全部奇點(diǎn)只有兩個(gè)： 與 且知道，與均為的一級(jí)極點(diǎn)其次，算留數(shù)，有最后，將所得留數(shù)代入（7.11）式得.二 積分 的計(jì)算 引理6.2(Jordan) 設(shè)在半圓周充分大)上連續(xù),且 在 上一致成立，則。證 ，由于 在 上一致成立，故 , Jordan不等式 。由于 ， 故 ，于是 。定理6.8 設(shè),其中及為互質(zhì)多項(xiàng)式,且（1） 的次數(shù)比 的次數(shù)高；（2）在實(shí)軸上 ；（3） ，則 ，特別地分開實(shí)、虛部就可以得到 與 的積分。證   略。例

6、 計(jì)算積分。解：為偶函數(shù)，有兩個(gè)單極點(diǎn) ，其中在上半平面，其留數(shù)為：例 計(jì)算積分解 經(jīng)驗(yàn)證，該積分可用（6.14）式計(jì)算首先，求出輔助函數(shù)在上半平面的全部奇點(diǎn)由解得與為的奇點(diǎn)，而，所以，在上半平面只有一個(gè)奇點(diǎn) ， 且為的一級(jí)極點(diǎn)其次，計(jì)算留數(shù)有最后，由（6.14）式得。例 計(jì)算積分 解 若令 則，即的實(shí)部為。因此，為了計(jì)算，只需求出積分 即可，而該積分可用（6.11）式計(jì)算。為用（6.11）式，先求出輔助函數(shù) 在上半平面的奇點(diǎn)只有點(diǎn)（另一個(gè)奇點(diǎn)為），于是，由（6.14）式得 而 故 從而有 于是 即 這里要指出的是，由所求積分的特征，計(jì)算所給積分也可直接利用（6.14）式進(jìn)

7、行。復(fù)變函數(shù)論 課程教案授課題目（教學(xué)章節(jié)或主題）：第二節(jié) 續(xù)授課類型 理論課授課時(shí)間第 15 周第12 節(jié)教學(xué)目標(biāo)或要求：掌握 積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算 典型例題教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）： 基本內(nèi)容：積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算 典型例題重點(diǎn)：積分路徑上有奇點(diǎn)的積分的計(jì)算難點(diǎn)： 典型例題教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)： 265 頁(yè)15參考資料（含參考書、文獻(xiàn)等）：?jiǎn)螐?fù)變函數(shù) J.B. 康威 著 呂以輦 張南岳 譯上?？茖W(xué)技術(shù)出版社 1985注：1、每項(xiàng)頁(yè)面大小可自行添減；2一次課為一個(gè)教案；3、“重點(diǎn)”、“難點(diǎn)”、“教學(xué)手段與方法”部分要盡量具體；4、授課類型指：理論課、討論課、實(shí)驗(yàn)或?qū)嵙?xí)課、練習(xí)或習(xí)題課等。4.計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分前面所講的三種類型都是 在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)的情況，如果 在實(shí)軸上有奇點(diǎn)。那么前述計(jì)算方法不完全適用。例如在實(shí)軸上有一個(gè)奇點(diǎn)(為實(shí)數(shù))，要計(jì)算 ，在作輔助線時(shí)，應(yīng)繞過奇點(diǎn)，具體辦法是在上半平面，作一個(gè)以為心，半徑為的半圓周，積分沿進(jìn)行，然后令取極限(如圖所示)令，上式左端用留數(shù)定理計(jì)算，再令 若滿足引理?xiàng)l件，主要的就是求積分.如果實(shí)軸上有n個(gè)奇點(diǎn)，那么分別以各奇點(diǎn)為心，為半徑作上半平面的半圓，經(jīng)過奇點(diǎn)即可，例 計(jì)算狄利克雷積分解：先將積分變換為對(duì)于第二個(gè)