數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、編輯課件編輯課件1 1編輯課件編輯課件2 2數(shù)列求和基本方法：公式法分組求和法錯位相減法裂項相消法并項求合法編輯課件編輯課件3 3一.公式法：等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式：項和公式：等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項和公式項和公式 ： 11()(1)22nnn aan nSnadn即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq123n 2222123n3333123n1(1)(21)6n nn2(1)2n n1(1)2n n編輯課件編輯課件4 4例例1 1：求和：求和：1. 468+2n+2 （）2311112 12 222n .編輯課

2、件編輯課件5 5一、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其列，然后分別求和，再將其合并即可合并即可. .編輯課件編輯課件6 6 cn=an+bn(an、bn為等差或等比數(shù)列。）為等差或等比數(shù)列。）項的特征項的特征反思與小結(jié)：反思與小結(jié)：要善于從通項公式中看本質(zhì)：一個等差要善于從通項公式中看本質(zhì)：一個等差 n n 一個一個等比等比22n n ，另外要特別觀察通項公式，如果通項公式，另外要特別觀察通項公式，如果通

3、項公式?jīng)]給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)律沒給出，則有時我們需求出通項公式，這樣才能找規(guī)律解題解題. .分組求和法分組求和法編輯課件編輯課件7 7 , + n 11.求數(shù)列求數(shù)列 + 2 3 , + 的前的前n項和項和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解：解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分組求和法分組求和法編輯課件編輯課件8 8例例1 求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項和：項和：231, 7

4、1, 41, 1112 naaan， 解：設(shè)解：設(shè))231()71()41() 11 (12 naaaSnn將其每一項拆開再重新組合得將其每一項拆開再重新組合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分組）（分組） 2) 13(nnnSn2) 13(nn 當當a1時，時，（分組求和）（分組求和） 1a2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan當當時，時，編輯課件編輯課件9 9n n個個編輯課件編輯課件1010二、錯位相減法：二、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，此時求和對應(yīng)

5、項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法可采用錯位相減法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比編輯課件編輯課件11112錯位相減法錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求項和即可用此法來求.【錯位相減法錯位相減法】設(shè)設(shè) an的前的前n項和為項和為Sn，ann2n，則，則Sn編輯課件編輯課件1212 例例11 求數(shù)列 前n項的和 ,22,26,24,2232nn解：由題可知，解：由題可知， 的通項是等差數(shù)列的通項是等差數(shù)列2n的通項與等

6、比數(shù)列的通項與等比數(shù)列 的通項之積的通項之積nn22n21設(shè)設(shè) nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （設(shè)制錯位）（設(shè)制錯位）1432222222222222)211 ( nnnnS1122212nnn得得1224nnnS編輯課件編輯課件13132022-2-2213已知數(shù)列.,)109() 1(nnnnSnana項和的前求編輯課件編輯課件14142022-2-2214解解：第一步，寫出該數(shù)列求和的展開等式nnnnnS1091109.109410931092132第二步，上式左右兩邊乘以等比數(shù)列公比109nS10914321091109.109410931092

7、nnnn編輯課件編輯課件15152022-2-2215第三步，兩式進行錯位相減得：1321091109.1091091092101nnnnS化簡整理得:1109111099nnnS編輯課件編輯課件1616 1. 設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 滿足滿足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求數(shù)列求數(shù)列 的通項；的通項；(2)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列 的前的前n項和項和Sn.變式探究變式探究編輯課件編輯課件1717 1設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 滿足滿足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求數(shù)列求數(shù)列 的通項；的通項；(2)設(shè)設(shè)bn ，求數(shù)列，求數(shù)列 的前的前n項和項和Sn.解析解析：(1)a13a232a

8、33n1an ，編輯課件編輯課件1818(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1兩式相減，得2Sn332333nn3n1，編輯課件編輯課件19192022-2-2219項和。前求數(shù)列nnann.234 1、2、已知數(shù)列) 0() 12 ( ,5 ,3 , 112aanaan求該數(shù)列的前n項和。編輯課件編輯課件2020三、裂項求和法：三、裂項求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前于是前n

9、 n項的和變成首尾若干少數(shù)項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為分裂通項之和，這一求和方法稱為分裂通項法項法. .（見到分式型的要往這種方見到分式型的要往這種方法聯(lián)想法聯(lián)想） 編輯課件編輯課件2121常見的裂項公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa編輯課件編輯課件2222常見的裂項公式有：16.11nnnn221117.121212 2121nnnnn 編輯課件編輯課件2323例例1：求和：求和裂項法求和裂項法求和1

10、3)1311 (31)131231()7141()411(31) 13)(23(1741411nnnnnnn) 13)(23(1nn31)131231(nn提示：提示：) 13)(23(11071741411nn編輯課件編輯課件2424.11321211:3的的值值求求練練習習 nnSn11 nnan解：設(shè)解：設(shè)nn 11111321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n編輯課件編輯課件25251-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重組轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列局部重組轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列四、并項求和

11、四、并項求和編輯課件編輯課件2626練習：練習：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21編輯課件編輯課件2727五五.相間兩項成等差等比綜合相間兩項成等差等比綜合編輯課件編輯課件2828編輯課件編輯課件2929an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，an=1+(n- -1)=n1. 若若a1=1, 且且an+am=an+m(n,mN*),

12、 則則an=_解解: n=m=1時，時，a2 = a1+a1=2, 得得a1=1, a2=2m=1時時,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1- -an=1n2. 若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，則，則bn=_解：解：n=m=1時，時，b2=b1b1=4 , 即即b1=2，b2=4，m=1時時,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首項為是首項為b1=2 ，公比為，公比為q=2的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，bn=22n-1=2n 2n 練習練習編輯課件編輯課件3030編輯課件編輯課件3131編輯課件編輯課件3232編輯課件編輯課件3333解：解：(1)證明：由題意得證明：由題意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故數(shù)列故數(shù)列bn1是以是以1為首項，為首項，2為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列編輯課件編輯課件3434編輯課件編輯課件3535編輯課件編輯課件3636編輯課件編輯課件3737編輯課件編輯課件3838編輯課件編輯課件393