數(shù)學(xué)建模之層次分析法模型

1、第八章第八章 離散模型離散模型層次分析模型層次分析模型y離散模型離散模型 離散模型：差分方程（第離散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整數(shù)規(guī)劃（第整數(shù)規(guī)劃（第4 4章）、圖論、對策論、章）、圖論、對策論、網(wǎng)絡(luò)流、網(wǎng)絡(luò)流、 分析社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具分析社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具 只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識的知識8.1 層次分析模型層次分析模型背背景景 日常工作、生活中的決策問題日常工作、生活中的決策問題 涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素涉及經(jīng)濟(jì)、社會等方面的因素 作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化的作用

2、，各因素的重要性難以量化 Saaty于于1970年代提出層次分析法年代提出層次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一種一種定性與定量相結(jié)合的、定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化系統(tǒng)化、層次化的分析方法的分析方法目標(biāo)層目標(biāo)層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費(fèi)用費(fèi)用C4飲食飲食C5旅途旅途一一. . 層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇費(fèi)用、居住條件等因

3、素選擇. .“選擇旅游地選擇旅游地”思維過程的歸思維過程的歸納納 將決策問題分為將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層，準(zhǔn)則層C，方案層方案層P；每層有若干元素，；每層有若干元素， 各層元素間的關(guān)系各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。用相連的直線表示。 通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。 將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量

4、結(jié)果。成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟成對比較陣成對比較陣和權(quán)向量和權(quán)向量 元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度 設(shè)要比較各準(zhǔn)則設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對目標(biāo)對目標(biāo)O的重要性的重要性ijjiaCC:A成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權(quán)向量的權(quán)向量選選擇擇旅旅游游地地nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221

5、21211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況nwwwW,) 1(21jiijwwa/令權(quán)向量),(21Tnwwww成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致

6、陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應(yīng)于的任一列向量是對應(yīng)于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內(nèi)但在允許范圍內(nèi)) )的成對的成對比較陣比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根，建議用對應(yīng)于最大特征根 的特征向量作為權(quán)向量的特征向量作為權(quán)向量w ，即，即一致陣一致陣性質(zhì)性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較陣和權(quán)向量2 4 6 8比較尺度比較尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2, , 9及其互反數(shù)及其互反數(shù)1,1/2, , 1/9尺度尺

7、度 1 3 5 7 9 ija相同相同 稍強(qiáng)稍強(qiáng) 強(qiáng)強(qiáng) 明顯強(qiáng)明顯強(qiáng) 絕對強(qiáng)絕對強(qiáng)的重要性jiCC :jiCC :aij = 1,1/2, ,1/9的重要性與上面相反的重要性與上面相反 心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個個 用用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較種比較尺度對若干實(shí)例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)，陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)。尺度較優(yōu)。 便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量成對比較

8、陣和權(quán)向量一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍已知：已知：n 階一致陣的唯一非零特征根為階一致陣的唯一非零特征根為n可證：可證：n 階正互反陣最大特征根階正互反陣最大特征根 n, 且且 =n時為一致陣時為一致陣1nnCI定義一致性指標(biāo)定義一致性指標(biāo):CI 越大，不一致越嚴(yán)重越大，不一致越嚴(yán)重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI隨機(jī)模隨機(jī)模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即

9、得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當(dāng)當(dāng)CR0.1時，通過一致性檢驗(yàn)時，通過一致性檢驗(yàn)Saaty的結(jié)果如下的結(jié)果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)向量及一致性檢驗(yàn)1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準(zhǔn)則層對目標(biāo)的準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權(quán)向量權(quán)向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標(biāo)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1

10、.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致通過一致性檢驗(yàn)性檢驗(yàn)組合權(quán)向量組合權(quán)向量記第記第2層（準(zhǔn)則）對第層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）層（目標(biāo)）的權(quán)向量為的權(quán)向量為Tnwww),()2()2(1)2(同樣求第同樣求第3層層(方案方案)對第對第2層每一元素層每一元素(準(zhǔn)則準(zhǔn)則)的權(quán)向量的權(quán)向量12/15/1212/15211B方案層對方案層對C1(景色景色)的成對比較陣的成對比較陣1383/1138/13/112B方案層對方案層對C2(費(fèi)用費(fèi)用)的成對比較陣的成對比較陣CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 權(quán)向量權(quán)向量 w1(3) w2(3)

11、wn(3) 第第3層對第層對第2層的計算結(jié)果層的計算結(jié)果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量組合權(quán)向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通過一致性檢驗(yàn)均可通過一致性檢驗(yàn) w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595 0.263+ =0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量

12、為 (0.300, 0.246, 0.456)T組合一致性檢驗(yàn)Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw組合組合權(quán)向量權(quán)向量第第1層層O第第2層層C1,Cn第第3層層P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2層對第層對第1層的權(quán)向量層的權(quán)向量第第3層對第層對第2層各元素的權(quán)向量層各元素的權(quán)向量,)3()3(1)3(nwwW構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣則第則第3層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s層對第層對第1層的組合權(quán)向量層的組合權(quán)向量其中其中W(p)是由第是由第p層對第層對第p-1層權(quán)向量組成

13、的矩陣層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)準(zhǔn)則或指標(biāo)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造成對比較陣）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)和組合一致性檢驗(yàn)）計算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)和組合一致性檢驗(yàn)對每一成對比較陣計算最

14、大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)）計算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。二二. . 層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法的廣泛應(yīng)用 應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計劃和管理，能源政策和分配，應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。 處理問題類型

15、：決策、評價、分析、預(yù)測等。處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。 建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。策層參與。 構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。斷力強(qiáng)的專家給出。國家綜合實(shí)力國家綜合實(shí)力國民國民收入收入軍事軍事力量力量科技科技水平水平社會社會穩(wěn)定穩(wěn)定對外對外貿(mào)易貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國美、俄、中、日、德等大國工作選擇工作選擇貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)收收入入發(fā)發(fā)展展聲聲譽(yù)譽(yù)關(guān)關(guān)系系位位置置供選擇的崗位供選擇的崗位例例1 國家國家實(shí)力分析實(shí)力分析例例2 工作選擇工作選擇過河的效

16、益過河的效益 A經(jīng)濟(jì)效益經(jīng)濟(jì)效益B1社會效益社會效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時時間間C1收收入入C2岸岸間間商商業(yè)業(yè)C3當(dāng)當(dāng)?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C4建建筑筑就就業(yè)業(yè)C5安安全全可可靠靠C6交交往往溝溝通通C7自自豪豪感感C8舒舒適適C9進(jìn)進(jìn)出出方方便便C10美美化化C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)）過河效益層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇過河的代價過河的代價 A經(jīng)濟(jì)代價經(jīng)濟(jì)代價 B1環(huán)境代價環(huán)境代價B3社會代價社會代價B2投投入入資資金金C1操操作作維維護(hù)護(hù)C2沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)C3沖沖擊擊生生活活方方式式C4交交通通擁擁擠擠C

17、5居居民民搬搬遷遷C6汽汽車車排排放放物物C7對對水水的的污污染染C8對對生生態(tài)態(tài)的的破破壞壞C9橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)）過河代價層次結(jié)構(gòu)例例3 橫渡橫渡江河、海峽江河、海峽方案的抉擇方案的抉擇待評價的科技成果待評價的科技成果直接直接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C11間接間接經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)效益效益 C12社會社會效益效益 C13學(xué)識學(xué)識水平水平 C21學(xué)術(shù)學(xué)術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C22技術(shù)技術(shù)水平水平 C23技術(shù)技術(shù)創(chuàng)新創(chuàng)新 C24效益效益C1水平水平C2規(guī)模規(guī)模C3科技成果評價科技成果評價例例4 科技成果科技成果的綜合評價的綜合評價三三. 層次分析法的若干問題層次分析法的若干問題

18、正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？近一致陣的程度？ 怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？怎樣簡化計算正互反陣的最大特征根和特征向量？ 為什么用特征向量作為權(quán)向量？為什么用特征向量作為權(quán)向量？ 當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對比較陣有空缺時怎樣用層次分析法？層次分析法？1. 正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理定理1 1 正矩陣正矩陣A 的的最大特征根最大特征根 是正單根，

19、對應(yīng)是正單根，對應(yīng)正特征向量正特征向量w，且，且TkTkkeweAeeA) 1 , 1 , 1 (,lim正互反陣的最大特征根是正數(shù)，正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。特征向量是正向量。一致性指標(biāo)一致性指標(biāo) 定義合理定義合理1nnCI定理定理2 2 n階正互反陣階正互反陣A的最大特征根的最大特征根 n , = n是是A為一致陣的充要條件。為一致陣的充要條件。 2. 正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算 精確計算的復(fù)雜和不必要精確計算的復(fù)雜和不必要 簡化計算的思路簡化計算的思路一致陣的任一列向量都是特征向量，一致陣的任一列向量都是特征向量，一致

20、性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。其某種意義下的平均。和法和法取列向量的算術(shù)平均取列向量的算術(shù)平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 0286. 0974. 0769. 1Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量歸一化歸一化算術(shù)算術(shù)平均平均wAw精確結(jié)果精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T

21、, =3.010根法根法取列向量的幾何平均取列向量的幾何平均冪法冪法迭代算法迭代算法1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，設(shè)置精度，設(shè)置精度 )()1(kkAww2) 計算計算nikikkwww1)1()1()1(/3）歸一化）歸一化nikikiwwn1)()1(15) 計算計算簡化簡化計算計算4）若）若 ，停止；，停止；否則，否則，k:=k+1, 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2)()1(maxkikiiww3. 特征向量作為權(quán)向量特征向量作為權(quán)向量成對比較的多步累積效應(yīng)成對比較的多步累積效應(yīng)問題問題一致陣一致陣A, 權(quán)向量權(quán)向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wjA不一致不一致, 應(yīng)選權(quán)向量應(yīng)選

22、權(quán)向量w使使wi/wj與與 aij相差相差盡量小（對所有盡量?。▽λ衖,j)。211),1(min ninjjiijniwwwai用擬合方法確定用擬合方法確定w非線性非線性最小二乘最小二乘211),1(lnlnmin ninjjiijniwwwai線性化線性化對數(shù)最小二乘對數(shù)最小二乘結(jié)果與根法相同結(jié)果與根法相同 按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對比較成對比較Ci:Cj (直接比較）直接比較） aij 1 1步強(qiáng)度步強(qiáng)度)()2(2ijaA sjnsisijaaa1)2(aisasj Ci通過通過Cs 與與Cj的比較的比較aij

23、(2) 2步強(qiáng)度步強(qiáng)度更能反映更能反映Ci對對Cj 的強(qiáng)度的強(qiáng)度步強(qiáng)度kaaAkijkijk),()()(多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)體現(xiàn)體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)), 1,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理定理1 1weAeeAkTkklim特征向量體現(xiàn)特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)多步累積效應(yīng)當(dāng)當(dāng)k足夠大足夠大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的權(quán)重的權(quán)重求求Ak的行和的行和4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)不完全層

24、次結(jié)構(gòu)設(shè)第設(shè)第2層對第層對第1層權(quán)向量層權(quán)向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定第第3層對第層對第2層權(quán)向量層權(quán)向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得討論由討論由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)計算第計算第3層對第層對第1層權(quán)向量層權(quán)向量w(3）的方法的方法貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)O教學(xué)教學(xué)C1科研科研C2P2 P1P3P4例例: 評價教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)評價教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué)只作教學(xué), P4只作科研只作科研, P3兼作教學(xué)、科研。兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等支配元素的

25、數(shù)目不等)/(),()2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT 不考慮支配元素數(shù)目不等的影響不考慮支配元素數(shù)目不等的影響)2()3()3(wWw 仍用仍用 計算計算 支配元素越多權(quán)重越大支配元素越多權(quán)重越大用支配元素數(shù)目用支配元素數(shù)目n1,n2對對w(2)加權(quán)修正加權(quán)修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的評價應(yīng)為：公正的評價應(yīng)為： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 計算計算)2()3()3(wWww(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn) 5/2 , 5/ 3 (, 2, 3)2(21 支配元素越多權(quán)重越小支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研任務(wù)由上級安排