巧用平移妙求面積

1、巧用平移妙求面積求解與長(zhǎng)方形有關(guān)的面積是日常生活、生產(chǎn)中常見的問題之一，解決這類問題有一種巧妙的方法那就是采用平移.通過平移，使分散、零碎的圖形得以集中，從而方便運(yùn)用整體思想進(jìn)行求解. 例1 如圖11是小明家一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，空白部分準(zhǔn)備用于種花，種草部分分別是一大一小的正方形.已知大正方形的面積為49平方米，小正方形的面積為9平方米.問種花的面積是多少平方米？析解：采用平移，將小正方形向上平移到邊緣，如圖12所以.由已知易得種花部分是長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為大正方形的邊長(zhǎng)減去小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，即7-3=4（米），寬恰好是小正方形的邊長(zhǎng)3米.因此，種花的面積為3×4=12（平方米）. 想一想：如果圖

2、形不加處理，解題思路又是怎樣的呢？例2 如圖21，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為AD=40米，寬為AB=26米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地ABCD上，修建三條寬都是2米的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草.問種草區(qū)域的面積是多少？析解：將圖21的小路分別沿BA，BC平移到如圖22所示的位置，則易知種草的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為40-2×2=36（米），寬為26-2=24（米），所以，種草區(qū)域的面積為36×24=864（平方米）.想一想：如果圖形不加處理，分別求出三條小路的面積，然后用場(chǎng)地的總面積減去三條小路的面積，求得種草區(qū)域的面積.與運(yùn)用平移來解，感覺怎樣？例3 如圖31所示，在一塊長(zhǎng)為

3、24米，寬為16米的草坪上有一條寬為2米的曲折小路，你能運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)求出這塊草坪的綠地面積嗎？圖3-（2）圖3-（1）析解：小路的面積只與小路的寬度和長(zhǎng)度有關(guān)，與其位置沒有關(guān)系.可以將路分解成向下和向右分別平移的兩部分，平移后如圖32所示.這時(shí)，綠地轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)22 米，寬18 米的長(zhǎng)方形，可求得綠地的面積為：22×18=396 （平方米）.想一想：直接求小路的面積是無法求解的，那么，本題中將曲折的小路進(jìn)行平移，意義何在？坐標(biāo)系中求圖形的面積圖形的面積可以利用相應(yīng)的面積公式求得，但是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的求面積問題，往往不直接給出邊或高之類的條件，而是給出一些點(diǎn)的坐標(biāo).現(xiàn)對(duì)這類題目的解

4、法舉例說明如下.一、計(jì)算三角形的面積xyBCAO11圖1例1 如圖1所示，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-4，-3），B（0，-3），C（-2，1）.求三角形ABC的面積.分析：觀察圖形，在坐標(biāo)系中讀取三角形ABC的一邊的長(zhǎng)度，和該邊上的高的長(zhǎng)度.因?yàn)锳Bx軸，所以AB可以作為底邊.解：因?yàn)锳B=0-（-4）=4，AB邊上的高為h=1-（-3）=4，所以三角形ABC的面積是：AB·h=×4×4=8.評(píng)注：當(dāng)兩點(diǎn)在平行于x軸的直線上時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值；當(dāng)兩點(diǎn)在平行于y軸的直線上時(shí)，兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值.如果三角形

5、中有一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行時(shí)，可以直接利用三角形的面積公式求解.例2 如圖2所示，在三角形AOB中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，2），（-3，1），（0，-1），求三角形AOB的面積.分析：三角形的三邊都不與坐標(biāo)軸平行，根據(jù)平面直角系的特點(diǎn)，可以將三角形的面積轉(zhuǎn)化為正方形EFCD的面積減去多余的直角三角形的面積，即可求出此三角形的面積. EFD圖2解：如圖2，作正方形EFCD，則該正方形的面積為EF·FC=3×3=9.因?yàn)槿切蜛EB的面積是：×AE·EB=×2×1=1，三角形BFC的面積是：BF·FC=

6、5;2×3=3，三角形ACD的面積是：×AC·AD=×3×1=，所以三角形ABC的面積是：9-1-3-=.點(diǎn)評(píng)：如果三角形的三邊中沒有任何一邊在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行時(shí)，則應(yīng)將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積和或差.二、計(jì)算四邊形的面積例3 如圖3，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，2），B（-3，-3），C（3，3），D（2，1），求四邊形ABCD的面積.分析：四邊形ABCD不是規(guī)則的四邊形，要求其面積，可將該四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)梯形的面積的和來計(jì)算.解：作AEBC于E，DFBC于F，則四邊形ABCD的面積=三角形ABE的面積+梯形AEFD的面積+三角形DFC的面積，因?yàn)槿切蜛BE的面積為：BE·AE=×1×5=，梯形AEFD的面積為：（DF+AE）·EF=×（4+5）×4=18，三角形DFC的面積為：FC·DF=×1&#