求通項(xiàng)數(shù)列公式的常見(jiàn)題型與解題方法

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與解題方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法數(shù)列這一章的主要章節(jié)結(jié)構(gòu)為：近幾年來(lái)，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面：（ 1）數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中

2、有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式（ 2）數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合（ 3）數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，其中主要是以增長(zhǎng)率問(wèn)題為主試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大我僅對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)公式這一部分內(nèi)容做一個(gè)淺顯的分析與提煉題型 1已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式在我們的教材中，有這樣的題目：0為奇數(shù) 數(shù)列 0, 2,0,2L 的通項(xiàng)nan1為偶數(shù)2n學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2數(shù)列1,1,1,1L的通項(xiàng) an（n1233 41）n(n12451)3數(shù)列

3、11,13,15,17L的通項(xiàng) an1+ （n1 2n 122422821）(2 n)26此題主要通過(guò)學(xué)生觀察、試驗(yàn)、合情推理等活動(dòng)，且在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過(guò)比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力相對(duì)于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進(jìn)行猜想即可；對(duì)于解答題，往往還需要我們進(jìn)一步加以證明例如（ 2003 年全國(guó)高考）已知數(shù)列a 滿(mǎn)足 a1 1,an 3n 1an 1(n 2) n( )求： a2 ,a3 ；( )證明： an3n12分析： 問(wèn)題（）主要滲透一般化特殊化，利用已知的遞推公式求具體問(wèn)題（）與問(wèn)題（）緊密相連，可以從特殊入手，歸納論證相結(jié)合，求一般當(dāng)然還可

4、用后面介紹的方法即注意到進(jìn)行anan 13n 1 (n 2) ，由特殊化歸為等比數(shù)列等加以證明本題貫穿特殊化與一般化的思維方法，實(shí)質(zhì)上是歸納中的綜合課堂中我們還可以設(shè)計(jì)如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能例 1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4 項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1) 221, 321,421, 521; an(n 1)212345n1113 ,11n1(2)12, 234 ,45.an( 1)n(n1)例 2.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，寫(xiě)出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1,7,13,19,L; an(1)n (6 n5)(2)7,77,777,7777,77 777,L ; an7 (10

5、n 1)9(3)5,0,5,0,5,0,5,0,L.an5sin n練習(xí) : 寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： 2(1)1,3,1,3,1,3,L; an1( 1)n2(2) 3 , 1 , 5 , 3 , 7 ,L .ann 223456n52117173n 2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載練習(xí)在某報(bào)自測(cè)健康狀況的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)年齡（歲）3035404550556065收縮壓（水銀柱毫米）110115120125130135 （ 140） 145舒張壓（水銀柱毫米）707375788083（85） 88練習(xí)根據(jù)下列5 個(gè)圖形及

6、相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第n 個(gè)圖中有 _n2-n+1 _個(gè)點(diǎn)。 。 。 。（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）相關(guān)的高考試題有：（ 2004 年全國(guó)卷） 已知數(shù)列 an ，滿(mǎn)足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+ +( n 1)an 1(n 2)，則 an的通項(xiàng)an1n1，_n2分析：由已知， a2a11 由 ana12a23a3(n1)an 1生成an 1a12a2 3a3(n 2) an 2兩式相減得： anan 1(n1)an 1 ，即annan1為商型的，用累乘法可得ananan 1La3ann (n 1)4 3,an 1an 2a2a2即 ann2（ 2006 年廣東卷

7、） 在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48 屆世乒賽期間， 某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1 堆只有1 層，就一個(gè)球；第2,3,4,L 堆最底層（第一層）分別按圖4 所示方式固定擺放，從第二層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上， 第 n 堆第 n 層就放一個(gè)乒乓球，以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球總數(shù)，則f (3)_10 _ ； f ( n)_ 1 n( n 1)( n2) _6（答案用 n 表示） .題型 2由an 與 n 的關(guān)系求通項(xiàng)公式S在我們的教材中，有這樣的題目：學(xué)習(xí)好資料歡迎下載已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn1(n2n) ，則 ann2已知數(shù)列 a

8、n 的前n項(xiàng)和 S32n ，則an5n1，n2n 1n2，這類(lèi)題目主要注意sn 與 an 之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化即：S1(n=1)nan =Sn 1(n2)an = a1(akak 1 ) Snk2一般已知條件中含an 與 Sn 的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式例如：（ 04 年浙江）設(shè)數(shù)列 an 的前項(xiàng)的和n1 （ anN ) S =3-1） (n() 求 a1；a2；( )求證數(shù)列 an 為等比數(shù)列解 :() 由 S11 (a11) , 得 a11 (a11) a11又 S21 (a2 1) , 即3323a1a21 ( a21) ,得 a21 .341 (an1 (a n 1( )當(dāng) n>

9、1 時(shí), anSnSn11)1),33an1 , 所以 an是首項(xiàng)1,公比為1的等比數(shù)列得an 1222課堂中我們還可以設(shè)計(jì)如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能例 3.數(shù)列a 項(xiàng)和S=3·2 -3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 .an3 2n 的前 nnnn1aS =2n +3n+2a練習(xí) 1：設(shè)數(shù)列 n 的前 n 項(xiàng)和為n2，求通項(xiàng)n 的表達(dá)式， 并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列 .an7n1，4n1 n2，練習(xí) 2：已知數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a1 2， 且 nan+1=Sn+n(n+1) ，求 an相關(guān)的高考試題有：an2nn(2004 全國(guó)卷 )已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 S

10、n 滿(mǎn)足： Sn=2an +(-1) ,n1（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（）證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4，有 11L17.a4a5am8.解：當(dāng) n=1 時(shí) ,有： S1=a1=2a1+(-1)a1=1；當(dāng) n=2 時(shí) ,有： S2=a1+a2=2a2+(-1) 2a2=0 ；當(dāng) n=3 時(shí) ,有： S312 3333；=a +a +a =2a +(-1)a =2綜上可知 a1=1,a2=0,a3=2 ；由已知得： anSnSn 12an( 1)n2an 1( 1)n 1化簡(jiǎn)得： an 2an12( 1)n 1上式可化為： an2 (1)n2an 12 (1)n 1 33

11、故數(shù)列 an2(1)n 是以 a12(1)1 為首項(xiàng) , 公比為2 的等比數(shù)列 .33故 an2 ( 1)n1 2n 1 an1g2n 12 ( 1)n2 2 n 2( 1)n 33333數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為： an2 2 n 2(1)n .311L1311L1m 由已知得：a4a5am232m 22 21 2 1( 1)311111L1m 391533632m 2(21)1 11111L235112111111L1351020211145(12m 5 )1 4 22g12553112 32m52131g( 1 )m 5 131041057.1552151201208學(xué)習(xí)好資料歡迎下載故

12、11L17( m>4).a4a5am8（ 2006年 湖 北 卷 ） 已 知 二 次 函 數(shù) yf ( x) 的 圖 像 經(jīng) 過(guò) 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ， 其 導(dǎo) 函 數(shù) 為f ' ( x)6x2 ，數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，點(diǎn) (n, Sn )(nN ) 均在函數(shù)yf (x) 的圖像上（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（）設(shè)1mbn，Tn是數(shù)列n的前 n 項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有 nN 都成立an an 1 b 20的最小正整數(shù)m點(diǎn)評(píng)： 本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題的能力和推理能力解：（ ）設(shè)這二次函數(shù) f(x) ax2

13、+bx (a 0) ,則 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以f(x) 3x2 2x.又因?yàn)辄c(diǎn) (n, S )( nN ) 均在函數(shù)yf ( x)的圖像上，所以Sn3n22n.n當(dāng) n2 時(shí) ，an n n 1（ 3n22n） 31) 22(n1)6n5.S S（ n當(dāng) n1 時(shí)， a1 12 2 6×1 5，所以， an 6n 5 （ nN ）.S 3×1（ 2006 年安徽卷）數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 a11, Snn2ann n1 , n1,2,2（）寫(xiě)出 Sn 與 Sn1 的遞推關(guān)系式n2，并求 Sn 關(guān)于

14、n 的表達(dá)式；（）設(shè) fnxSn xn 1 ,bnfn/ppR，求數(shù)列bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn n解：由 Snn2ann n1n2 得： Snn2 (SnSn 1 )n n1 ，即學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(n21)Snn2Sn 1n n1 ，所以 n1SnnSn 1 1 ，對(duì) n2 成立nn1由 n1 SnnSn11 ，n1Sn 1n1 Sn21， ， 3 S22 S1 1相加得：nn1nn2n221n 1，又1，當(dāng) n 1 時(shí)，也成立Sn 2S1S1a1，所以Snnn 12n1Sn xn 1n（）由 fnxxn 1 ，得 bnfn/pnpn nn 1而 Tnp 2 p23 p3 L (n 1)

15、p n 1npn ，pTnp22 p33 p4 L (n 1) pnnp n 1 ，(1 P)Tnp p23pn 1pnnpn 1p(1pn )npn1p L1p題型 3 已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式在我們的教材中，還有這樣的類(lèi)型題：1 已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11，且 anan13(n2) ，則 an3n-22已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11 ，且 an2an13(n2) ，則 an43n 133已知數(shù)列 an 的 a11，a22 且 an1 (an1an2 )(n3) ，則 liman12xan 14 已知數(shù)列 an 的 a11， a22 且 an22an1an ,則 ann這類(lèi)問(wèn)題是通過(guò)題

16、目中給定的初始值和遞推公式，在熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生的一系列變式我們應(yīng)清楚的意識(shí)到：1 證明數(shù)列an 是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明an 1 an an an 1an 1an(n 2)而得(n 2) 或an 1an2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解3. 等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式涉及的迭代、累加、累乘、構(gòu)造等方法我們具體進(jìn)行如下分析：一、由等差，等比演化而來(lái)的“差型” ，“商型”遞推關(guān)系題組一：學(xué)習(xí)好資料歡迎下載數(shù)列 an 中， a11,a

17、n1an2 ，求 an 的通項(xiàng)公式 an2n1變式 1：數(shù)列 a中， a1,aan ，求 a 的通項(xiàng)公式121nn 1nannn 11n22變式 2：數(shù)列 an 中， a11,an1an3n1 ，求 an 的通項(xiàng)公式 an3n 112變式 3：已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a11，111 ，求 an an1an 1ann變式 4：數(shù)列 an 中， a11,an12an ，求 an 的通項(xiàng)公式 ann21an2分析：等差數(shù)列：an1and生成： a2a1d ， a3a2d ， an 1an 2d ， anan 1d累加： an(anan 1 )(an1an2 )(a2a1 )a1 = (n1)da1由此

18、推廣成差型遞推關(guān)系：anan1f (n) ( n2)n累加： an(anan 1 )(an1an2 )(a2a1 )a1 =2f (n)a1，于是只要f (n) 可以求和就行題組二、已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11，且 an3an 1 (n 2) ，則 an3n 1變式 1：已知數(shù)列 an 的首項(xiàng) a11，且 ann1 an1 (n2) ，則 an1nn變式 2：數(shù)列 an 中， a12, an 13an2 ，求 an 的通項(xiàng)公式 an3n 1變式 3：數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且 (n 1)an21 nan2an1an0,( n1,2,3,L ) ，求 an 的通項(xiàng)公式 an1an

19、anqn分析：等比數(shù)列：1生成： a2a1q ， a3a2q ， an 1an2q ， anan1q累乘： ananan1a2a1 = qn 1a1an1an2a1an由此推廣成商型遞推關(guān)系：g (n)an 1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載anan1a2n累乘： ana1g(n)a1an 1an2a12為了提高，我們還可以引用下列例題：例 1、若數(shù)列 an滿(mǎn)足： a12(2n1)2) 2, annan 1 , (nC 2nn ；求證： an an 是偶數(shù) 證明：由已知可得：an2(2n1)ann1又ananan 1a2a12n 3 5( 2n 1)an 1ana1=n!2而 C 2nn(2n)!2 4 6

20、 ( 2n2)2n1 35(2n 1)= 2n 3 5(2n1)n! n!n! n!n!所以 anC 2nn ，而 anC2nn2C 2nn 1 為偶數(shù)例 2 、 已 知 數(shù) 列 an 中 a11 ， 且 a2ka2k 1( 1) k ,a2 k 1a2k 3k其 中k=1,2,3,.（ I ）求 a3 , a5 ；（ II ）求 a n 的通項(xiàng)公式 .解（）（略） a33, a5 13(II)a2k 1a2k3ka2 k 1( 1) k3k所以 a2 k 1a2k13k(1) k，為差型故 a2 k 1( a2k1a2 k 1 )(a2k 1a2k 3 )( a3a1 ) a1(3k3k 1

21、3)( 1) k(1)k 1( 1)1k 1= 31 ( 1)k 122a2ka2k 1 ( 1) k 3k1 ( 1) k 1( 1) k13k1 ( 1)k1 2222所以 a 的通項(xiàng)公式為：nn 2n 13 21當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，(1) 2an1 ；22nn3 21當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，(1) 21 an22anan 1f (n), 和 an an 1 g( n)二 由差型，商型類(lèi)比出來(lái)的和型，積型：即例如：數(shù)列 an中相鄰兩項(xiàng) an ，an 1 是方程 x 23nxbn 0 的兩根， 已知 a1017 ，求 b51 的值學(xué)習(xí)好資料歡迎下載分析：由題意： an + an 13n生成：an 1

22、 + an 23( n 1)： an 2an3 所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等差，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等差其基本思路是，生成，相減；與“差型”的生成，相加的思路剛好相呼應(yīng)到這里本題的解決就不在話(huà)下了特別的，若an + an 1c ，則 an 2an 即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等若 an an 12n則 an 1 an 22n 1÷： an 22 an所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)成等比，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等比其基本思路是，生成，相除；與“商型”的生成，相乘的思路剛好相呼應(yīng)特別地，若 an an 1c ，則 an2an 即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項(xiàng)均相等，所有的偶數(shù)項(xiàng)也相等三可以一次變

23、形后轉(zhuǎn)化為差型，商型的1 anpa n 1f (n)例如：設(shè) a0 是常數(shù)，且 an2an 13n1 ，（ nN*）證明： an( 2)n 1 a03n(1)n12n5分析：這道題目是證明型的，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然要數(shù)數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)在我們考慮用推導(dǎo)的方法來(lái)處理an2an13n 1 的三種方法：方法（ 1）：構(gòu)造公比為2 的等比數(shù)列an3n，用待定系數(shù)法可知15方法（ 2）：構(gòu)造差型數(shù)列(an，即兩邊同時(shí)除以( 2) n得：2) nanan 11(3) n ，從而可以用累加的方法處理( 2)n( 2) n 132方法（ 3）：直接用迭代的方法處理：an2an 13n 12( 2an 23n 2 )3

24、n 1( 2) 2 an 2( 2)3n 23n 1( 2) 2 ( 2an 33n 3 ) ( 2)2 3n 23n 1( 2)3 an 3( 2) 2 3n 3( 2) 3n 23n 1( 2)n a0( 2) n 1 30( 2) n 2 31( 2) n 3 32( 2) 2 3n 3( 2) 3n 23n 1( 2)n a03n( 1)n 1 2n5學(xué)習(xí)好資料歡迎下載說(shuō)明：當(dāng)當(dāng)f (n)c或 f ( n)anb 時(shí)，上述三種方法都可以用；f (n)n 2 時(shí)，若用方法1，構(gòu)造的等比數(shù)列應(yīng)該是anpn 2qnr而用其他兩種方法做則都比較難用迭代法關(guān)鍵是找出規(guī)律，除含a1 外的其它式子，

25、常常是一個(gè)等比數(shù)列的求和問(wèn)題2 anp(an 1 ) q 型例如：已知 an1 (an 1 ) 2 ，首項(xiàng)為 a1 ，求 an （ 2003 年江蘇卷22 題改編）alg an2 lg an 1lg a ，方法 1：兩端取常用對(duì)數(shù)，得令 bnlg an ，則 bn2bn 1lg a ，轉(zhuǎn)化如上面類(lèi)型的特別的， a=1，則轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列方法 2：直接用迭代法：121 12211 22 211 2 L 2n 2 2n 1a12n 1anaan 1a( a an 2 )(a )a( a)a1a( a)四 f (Sn ,an )0 型的利用 anSnSn1 ,(n2) 轉(zhuǎn)化為 g(an , an1

26、 )0 型，或 h(Sn , Sn 1 )0 型即混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的例如：已知數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿(mǎn)足 Sn2an(1)n , n1( ) 寫(xiě)出數(shù)列an的前 3項(xiàng) a1 ,a 2 , a3 ;( ) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式分析： S2an( 1) n , n1.- n由 a1S12a11, 得 a11.- 由 n2 得， a1a22a21，得 a20 - 由 n3 得， a1a2a32a31，得 a32 - 用 n 1 代 n 得 Sn 12an 1( 1) n 1- ： anSnSn12an2an12(1)n即 an2an 12(1) n-an 2an 12(1) n2 2an

27、 22(1)n12(1)n22 an222 ( 1) n12( 1) n2n 1 a12 n 1 ( 1) 2n 2 ( 1) 22( 1) n22n 2( 1)n 1- 3n2 Sn ( n又如：數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和記為 Sn ，已知 a11, an11,2,3).n證明：數(shù)列 Sn 是等比數(shù)列 nn2方法 1 an 1Sn 1Sn , an 1nSn ,學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 (n2)Snn( Sn 1Sn ), 整理得nSn 1 2(n1)Sn ,所以Sn12 Sn .故 Sn 是以 2 為公比的等比數(shù)列 .n1nnSn2n，為一個(gè)商型的遞推關(guān)系，方法 2：事實(shí)上，我們也可以轉(zhuǎn)化為Sn 1n1由 snsnsn 1s2s1 = 2n 1 nn 1n 22a1 na1 2n 1