等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式習(xí)題(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上【例1】 等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為 奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第6項(xiàng)解 依題意，得解得a1=113，d=22 其通項(xiàng)公式為an=113(n1)·(22)=22n135a6=22×61353【例2】 在兩個(gè)等差數(shù)列2，5，8，197與2，7，12，197中，求它們相同項(xiàng)的和解 由已知，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為an3n1；第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為bN=5N3若ambN，則有3n15N3若滿足n為正整數(shù)，必須有N3k1(k為非負(fù)整數(shù))又25N3197，即1N40，所以N1，4，7，40 n=1，6，11，66 兩數(shù)列相同項(xiàng)的和為21732197=

2、1393【例3】 選擇題：實(shí)數(shù)a，b，5a，7，3b，c組成等差數(shù)列，且ab5a73bc2500，則a，b，c的值分別為 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9又 145a3b， a1，b3首項(xiàng)為1，公差為2a50=c=1(501)·2=99 a1，b3，c99【例4】 在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半部分的和之比為913，求插入的數(shù)的個(gè)數(shù)解 依題意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10個(gè)數(shù)【例5】 已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=24，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn解方程組得：d2，a19an9

3、(n1)(n2)2n11其余各項(xiàng)為負(fù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為：當(dāng)n5時(shí)，Tnn210n當(dāng)n6時(shí)，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50說(shuō)明 根據(jù)數(shù)列an中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可求|an|的前n項(xiàng)和【例6】 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項(xiàng)之和解法一 由a6a9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=5×34=170由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17S20170【例7】 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3·a7=12，a4a6

4、=4，求它的前20項(xiàng)的和S20的值解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20180解法二 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3·a7=12，由韋達(dá)定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是遞增數(shù)列a36，a7=2【例8】 等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199【例9】 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與8

5、9中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值分析與解答a9=a6(96)d=173×(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它們的下標(biāo)有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，當(dāng)n=10或n=11時(shí)，Sn取最大值165【例10】 求證：前n項(xiàng)和為4n23n的數(shù)列是等差數(shù)列證 設(shè)這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn當(dāng)n2

6、時(shí)，anSnSn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=43=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù)n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1)8這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為7，公差為8的等差數(shù)列【例11】 在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75，各偶數(shù)項(xiàng)之和為90，末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27，則n之值是多少？解 S偶項(xiàng)S奇項(xiàng)=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例12】 在等差數(shù)列an中，已知a125，S9S17，問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2當(dāng)n=13時(shí)，Sn最大，最大值S13169解法二 因?yàn)閍1=250，d20，所以數(shù)列an是遞減等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13項(xiàng)和最大，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17尋找相鄰項(xiàng)的關(guān)系由題意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14 a130，a140S13