原子物理學(xué)習(xí)題解答

1、原子物理學(xué)習(xí)題解答1.1 電子和光子各具有波長0.20nm,它們的動量和總能量各是多少?解：由德布羅意公式,得：1.2 銫的逸出功為1.9eV,試求: (1)銫的光電效應(yīng)閾頻率及閾值波長;(2)如果要得到能量為1.5eV的光電子,必須使用多大波長的光照射?解：(1) 由愛因斯坦光電效應(yīng)公式知,銫的光電效應(yīng)閾頻率為:閾值波長: (2) 故: 1.3 室溫(300K)下的中子稱為熱中子.求熱中子的德布羅意波長?解：中子與周圍處于熱平衡時,平均動能為:其方均根速率: 由德布羅意公式得：1.4 若一個電子的動能等于它的靜止能量,試求：(1)該電子的速度為多大?(2)其相應(yīng)的德布羅意波長是多少?解：（1

2、）由題意知，所以 （2）由德布羅意公式得： 1.5 (1)試證明: 一個粒子的康普頓波長與其德布羅意波長之比等于,式中和分別是粒子的靜止能量和運動粒子的總能量. (2)當(dāng)電子的動能為何值時,它的德布羅意波長等于它的康普頓波長?(1)證明：粒子的康普頓波長:德布羅意波長: 所以, (2)解：當(dāng)時，有，即：故電子的動能為：1.6 一原子的激發(fā)態(tài)發(fā)射波長為600nm的光譜線,測得波長的精度為,試問該原子態(tài)的壽命為多長?解： 由海森伯不確定關(guān)系得：1.7 一個光子的波長為300nm,如果測定此波長精確度為.試求此光子位置的不確定量.解： ，或：由海森伯不確定關(guān)系得：2.1 按湯姆遜的原子模型，正電荷以

3、均勻密度分布在半徑為R的球體內(nèi)。(1) 設(shè)原子內(nèi)僅有一個電子,試證該電子(電量為-e)在球體內(nèi)的運動是以球心為平衡位置的簡諧振動; (2) 設(shè)正電荷的總量等于一個電子的電量,且m,試求電子振動頻率及由此輻射出的光子的波長.解：(1) 電子所受庫侖引力為: ,由于 ， 所以 由此可知, 電子的運動是以球心為平衡位置的簡諧振動.(2) 當(dāng)Z=1, m時, 振動頻率 輻射出的光子波長: 2.2 當(dāng)一束能量為4.8MeV的粒子垂直入射到厚度為cm的金箔上時,探測器沿20°方向每秒紀錄到個粒子.試求: (1)僅改變探測器安置方位,沿60°方向每秒可紀錄到多少個粒子?(2)若粒子能量減

4、少一半,則沿20°方向每秒可測得多少個粒子?(3) 粒子能量仍為4.8MeV,而將金箔換成厚度相同的鋁箔, 則沿20°方向每秒可紀錄到多少個粒子?(金和鋁的密度分別為19.3g/cm3和2.7g/cm3,原子量分別為197和27,原子序數(shù)分別為79和13.忽略核的反沖).解：由公式, (1) 當(dāng)時, 每秒可紀錄到的粒子滿足:故 (個)(2) 由于,所以 (個)(3) 由于,故這時:(個)2.3 動能為40MeV的粒子和靜止的鉛核(Z=82)作對心碰撞時的最小距離是多少?解：由公式: , 當(dāng)對心碰撞時,則2.4 動能為0.87MeV的質(zhì)子接近靜止的汞核(Z=80),當(dāng)散射角時

5、,它們之間的最小距離是多少?解：最小距離為: 2.5 試證明粒子散射中粒子與原子核對心碰撞時兩者間的最小距離是散射角為90°時相對應(yīng)的瞄準距離的兩倍。證明：由庫侖散射公式：，當(dāng)時，這時而對心碰撞的最小距離： 證畢。2.6 已知氫的賴曼系、巴爾末系和帕邢系的第一條譜線的波長分別為：121.6nm,656.3nm和1875.1nm.由此還可以求出哪些系的哪幾條譜線來?它們的波長各為多少?解: 由題意知: (1) (2) (3)由(1)+(2)式得: 由(1)+(2)+(3)式得: 由(2)+(3)式得: 其中,和分別是賴曼系第二、三條譜線; 是巴爾末系第二條譜線.2.7 試由氫原子里德伯

6、常數(shù)計算基態(tài)氫原子的電離電勢和第一激發(fā)電勢.解: 電子經(jīng)電勢差為U的電場加速后,若它得到的動能全部被原子吸收恰能使處于基態(tài)的原子電離,則U稱為該原子的電離電勢; 若它得到的動能全部被原子吸收恰能使處于基態(tài)的原子激發(fā)到第一激發(fā)態(tài),則U稱為該原子的第一激發(fā)電勢.由 , ，對于基態(tài)氫原子, Z=1, 由 得電離電勢為13.64V由 得第一激發(fā)電勢為10.23V.2.8 對于氫原子、一次電離的氦離子He+和兩次電離的鋰離子Li2+，分別計算它們的：（1）第一、第二玻爾軌道半徑及電子在這些軌道上的速度；（2）電子在基態(tài)的結(jié)合能；（3）第一激發(fā)電勢及共振線的波長。解：（1）He+：(m/s)(m/s)Li

7、2+：(m/s)(m/s)（2）電子在基態(tài)的結(jié)合能等于把電子從基態(tài)電離所需要的能量：對于He+有：(eV)對于Li2+有：(eV)（3）對于He+有：(eV)所以He+的第一激發(fā)電勢為40.8V對于Li2+有：(eV)所以Li2+的第一激發(fā)電勢為91.8V.共振線波長:2.9 能量為12.6eV的電子射入氫原子氣體中，氣體將發(fā)出哪些波長的輻射？解： 由，得，而，但，所以氣體將發(fā)出以下三種波長的輻射：2.11 一次電離的氦離子He+從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時所輻射的光子，能使處于基態(tài)的氫原子電離，從而放出電子，試求該電子的速度。解：He+所輻射的光子能量：氫原子電離所需要的能量為，所以，放出的電子

8、動能為，速度為： m/s2.12 已知動能為91.8eV的電子恰好使某類氫離子由基態(tài)激發(fā)至第一激發(fā)態(tài)，試問該類氫離子是什么?現(xiàn)以動能為110eV的電子激發(fā)該基態(tài)離子,試問可得到幾條譜線?這些譜線的波長各為多少?(不考慮精細結(jié)構(gòu))解: 由,得：所以該類氫離子是Li2+. 由于和,所以動能為110eV的電子能將Li2+激發(fā)至n=3的激發(fā)態(tài),可得三條譜線,波長分別為:2.13 子是一種基本粒子,除靜止質(zhì)量為電子質(zhì)量的207倍外,其余性質(zhì)與電子一樣.當(dāng)它運動速度較慢時,被質(zhì)子俘獲形成子原子.試計算: (1) 子原子的第一玻爾軌道半徑;(2) 子原子的最低能量;(3) 子原子賴曼線系中的最短波長.解:

9、由于折和質(zhì)量(1) (2) (3)賴曼線系中的最短波長為: 2.14 已知氫和重氫的里德伯常數(shù)之比為0.999728,而它們的核質(zhì)量之比為mH/mD=0.50020.計算質(zhì)子質(zhì)量與電子質(zhì)量之比.解: 由和知:解得: 2.15 當(dāng)靜止的氫原子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷放出一個光子時,(1)試求這個氫原子所獲得的反沖速度是多大?(2)試估計氫原子的反沖能量與所發(fā)光子能量之比.解: (1) 放出的光子的動量: 由動量守恒定律得氫原子的反沖速度為: (2) 反沖能量 顯然 可見反沖能量是可以忽略不計的.2.16 試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納整數(shù)個電子的德布羅意波波長,不論這穩(wěn)定軌道是圓形還是橢圓形的.

10、證明: 軌道量子化條件是：對氫原子圓軌道來說，所以有：所以,氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個電子的德布羅意波長。橢圓軌道的量子化條件是：其中而 3.2 一粒子在一維無限深勢井中運動，已給，求歸一化常數(shù)A；又若，A=？，粒子在何處幾率最大？解：由歸一化條件，在粒子可能出現(xiàn)的空間發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率等于1，因此：得: .同理，若，由歸一化條件可得：則 ， .粒子出現(xiàn)幾率最大處對應(yīng):,有 易求得 (由波函數(shù)的連續(xù)性，x=0,或x=a兩個解舍去)所以, 粒子在處出現(xiàn)的幾率最大.4.1已知鋰原子光譜主線系最長波長，輔線系系限波長，求鋰原子第一激發(fā)電勢和電離電勢。解：主線系最長波長的譜線對應(yīng)躍遷為2pg2s

11、，有：而輔線系系限對應(yīng)，所以得：第一激發(fā)電勢為電離電勢為4.2 鈉原子基態(tài)為3s，已知其主線系第一條線（共振線）波長為589.6nm，漫線系第一條線的波長為819.3nm，基線系第一條線的波長為1845.9nm，主線系的系限波長為241.3nm，試求3S,3P,3D,4F各譜項的項值。解：由題意知：由 得： 由 得： 又由 得： 4.3 鉀原子共振線波長為766.5nm，主線系系線波長為285.8nm，已知鉀原子基態(tài)為4s，試求4S，4P譜項的量子數(shù)虧損、各為多少？解：由 得：又由得：4.4 處于3D激發(fā)態(tài)的鋰原子，向低能級躍遷時可產(chǎn)生哪些光譜線？在能級圖上表示出來：（1）不考慮精細結(jié)構(gòu)；（2

12、）考慮精細結(jié)構(gòu)。解：（1）不考慮精細結(jié)構(gòu)時，如圖（a）所示。32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/2（2）考慮精細結(jié)構(gòu)時，如圖（b）所示。2S2P3S3P3D(圖a) （圖b）4.5 為什么S譜項的精細結(jié)構(gòu)總是單層的?試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律性和從電子自旋與軌道相互作用的物理概念兩方面分別說明之.答: (1) 從堿金屬光譜雙線的規(guī)律性(課本p.117.圖4.3.1)來看,第二輔線系的每一條線中二成分的間隔既然相同,那就必然是由于同一原因.我們知道這個線系是諸S能級到最低能級的躍遷產(chǎn)生的,所以,最低P能級是這線系中諸線共同有關(guān)的.如果我

13、們設(shè)想這個P能級是雙層的,而S能級都是單層的,就會得到與第二輔線系雙線規(guī)律性一致的結(jié)論.再看主線系的每條線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少,足見不是一個來源.我們知道,主線系是諸P能級躍遷到最低S能級的結(jié)果,從第二輔線系的情況已推得S能級是單層的,最低P能級是雙層的,那么是否可以推想所有P能級都是雙層的,而且這雙層的間隔隨量子數(shù)n的增加而逐漸縮小,這個推論完全符合主線系的情況.這樣我們從堿金屬光譜雙線的規(guī)律性直接推得S譜項的精細結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu).(2) 從電子自旋與軌道相互作用來看,由于S態(tài)的電子軌道角動量為0,總角動量就等于電子的自旋角動量,能級不分裂,故譜項S項的精細結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)

14、.4.6 鈉原子共振線的雙線波長分別為589.0nm和589.6nm，試求3P能級精細結(jié)構(gòu)的裂距。解：4.7 鈉原子光譜主線系短波限的波長為241.3nm，主線系最長波長為589.6nm，求鈉原子基態(tài)能量和輔線系短波限。解：由題意知 , 則：基態(tài)能量 輔線系短波限 n=2n=112S1/2l=0l=122S1/222P1/222P3/2III 得：4.8試計算氫原子賴曼線系第一條譜線的精細結(jié)構(gòu)分裂的波長差。解：如右圖示，賴曼線系第一條譜線的兩條分線為 ， 由能級公式 （，）Å4.9已知斯特恩蓋拉赫實驗中，如基態(tài)氫原子在磁場中速度v=104m/s，磁場縱向范圍L=10cm。見課本圖4.

15、4.3,求裂距S.解:.*從堿金屬原子光譜可知，自旋與軌道角動量相互作用，合成總角動量量子數(shù)j取值為：j=l+s,l+s-1,|l-s|.共2s+1個值.由于能級是雙層的,所以2s+1=2,即s=1/2.電子自旋角動量的值應(yīng)為:.雙層能級反過來說明了(電子)自旋量子數(shù)應(yīng)為1/2.另外還可以從周期表的排布規(guī)律說明電子自旋量子數(shù)是1/2.*例: 假定電子的自旋不是1/2而是3/2,問元素周期表第二周期將有幾個元素?該周期中惰性氣體的原子序數(shù)為多少?它的基態(tài)譜項符號是什么?解: 第一殼層中電子的運動狀態(tài)為n=1,l=0,ml=0,ms=3/2,1/2,-1/2,-3/2.因此第一殼層有四個運動狀態(tài),

16、可容納四個電子.第二殼層中電子的運動狀態(tài)有: l=0, ml=0, ms=3/2, 1/2, -1/2, -3/2. n=2 1, ms=3/2, 1/2, -1/2, -3/2.l=1, ml= 0, ms=3/2, 1/2, -1/2, -3/2.-1, ms=3/2, 1/2, -1/2, -3/2.可見,第二殼層有16個運動狀態(tài),最多可容納16個電子,即第二周期將有16種元素,其惰性氣體是最后一種元素,原子序數(shù)Z=20.由于各支殼層都被填滿,所以L=0,S=0,J=0,基態(tài)譜項符號為1S0.討論: 電子自旋s=3/2是一種假想情況,結(jié)果導(dǎo)致第二周期有16種元素及惰性氣體的原子序數(shù)為20

17、,這結(jié)果與事實相矛盾,比實際的數(shù)字超過了一倍.這就間接證明了電子自旋是1/2而不可能是3/2或其它數(shù)值.5.1某原子含有若干封閉殼層和封閉次殼層,當(dāng)未滿次殼層內(nèi)有同科電子p5(或p4)時,試證明按L-S耦合,可能的原子態(tài)和單個p電子(或p2)可能形成的原子態(tài)相同.同樣可推知,原子中未滿次殼層同科電子d9與d電子、(d8與d2電子) 可能形成的原子態(tài)相同.證明: 若未滿次殼層的情況能容納的電子總數(shù)為N=2(2l+1).未滿殼時的電子數(shù)為x,則(nl)x與(nl)N-x的角動量L和自旋角動量S相等,這是由于滿殼層時有, ; , 于是(nl)x的總角動量對應(yīng)的與(nl)N-x的總角動量對應(yīng)的等值反號

18、,它們對應(yīng)的角動量大小L是相同的.類似地, 與也是等值反號,對應(yīng)的自旋角動量大小S相同.這樣,對l=1的p次殼層,由于最多可容納6個電子,所以p5與p1或者p4與p2的電子組態(tài)具有相同的角量子數(shù)L和自旋量子數(shù)S,因此可能形成的原子態(tài)相同.同樣,對于同科d電子,由于滿殼層時有10個電子,所以d9與d或d8與d2電子的各角量子數(shù)分別相等,可能形成的原子態(tài)也相同.5.2已知氦原子的2p3d 組態(tài)所構(gòu)成的光譜項之一為3D,問這兩個電子的軌道角動量L1和L2之間的夾角,自旋角動量S1和S2之間的夾角分別是多少?解: 對組態(tài)為2p3d的兩個電子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.

19、軌道角動量大小為 , 它們構(gòu)成的光譜項3D對應(yīng)的 l = 2 , s = 1即它們總的軌道角動量L的大小為 它們總的自旋角動量S的大小為 由L = L1 + L2 ,如右圖所示,可得軌道角動量L1和L2之間的夾角則: , .類似地自旋角動量S1和S2的大小為 則自旋角動量S1和S2之間的夾角得: , .5.3按L-S耦合寫出下列組態(tài)所組成的全部原子態(tài),并寫出原子態(tài)符號.(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1) , , ® , .構(gòu)成1S0,3S1.(2) , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(2).(3) , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(3).(4)

20、 , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(4).(5) , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(5).S=0S=1L=11P13P2,1,0(2) S=0S=1L=21D23D3,2,1(3)S=0S=1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2(4) S=0S=1L=01S03S1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2L=41G43G5,4,3(5)3s1S04s1S03p1P14s3S13p3P23p3P13p3P0(5.4題圖)5.4已知Mg原子(Z=12)的光譜項的各多重態(tài)(原子態(tài))

21、屬于L-S耦合,則該原子由3s4s組態(tài)向3s3s組態(tài)躍遷時,將出現(xiàn)哪些譜線?畫出能級躍遷圖.(提示:中間有3s3p組態(tài),三重態(tài)為正常次序)解: 3s3s構(gòu)成基態(tài)1S0；3s3p構(gòu)成3p1P1和3p3P2,1,0; 3s4s構(gòu)成4s1S0和4s3S1。出現(xiàn)的譜線如圖所示：5.5.Ca原子的能級是單層和三重結(jié)構(gòu), 三重結(jié)構(gòu)中J大的能級高,其銳線系的三重線的頻率,其頻率間隔為, ,試求其頻率間隔值.1S01P13S13P13P03P24s5s5s4p4p(5.5題圖)解: Ca原子(Z=20)基態(tài)的電子組態(tài)為 1s22s22p63s23p64s2, 基態(tài)譜項 4s2 1S0 ; 激發(fā)態(tài)電子組態(tài)4s4

22、p構(gòu)成的原子態(tài)為1P1和3P2,1,0; 電子組態(tài)4s5s構(gòu)成原子態(tài)1S0和3S1.銳線系三重線對應(yīng)電子躍遷情況如圖所示,由朗得間隔定則,得:.5.6 已知He原子的一個電子被激發(fā)到2p軌道,而另一個電子還在1s軌道,試作出能級躍遷圖來說明可能出現(xiàn)哪些光譜線的躍遷.1S01P13S13P13P03P21s2s2p2p2s(5.6題圖)解: 原子基態(tài)為1s1s1S0;激發(fā)態(tài)1s2p構(gòu)成原子態(tài)1s2p1P1和1s2p3P2,1,0.激發(fā)態(tài)1s2s構(gòu)成原子態(tài)1s2s1S0和1s2s3S1. 可能出現(xiàn)的光譜線的躍遷如圖所示.5.7 Pb原子基態(tài)的兩個價電子都在6p軌道,若其中一個價電子被激發(fā)到7s軌道

23、,而其價電子間相互作用屬于j-j耦合.問此時Pb原子可能有哪些狀態(tài).解: 鉛原子的基態(tài)為6p6p3P0(6p6p構(gòu)成的原子態(tài)有1S0;3P2,1,0;1D2);激發(fā)態(tài)6p7s的兩個電子量子數(shù) ,s1=1/2; l2=0,s2=1/2 由j-j耦合可得: j1=3/2,1/2 ;j2=1/2.由j1=1/2, j2=1/2 得j=1,0 構(gòu)成(1/2,1/2)1,(1/2,1/2)0兩個原子態(tài);j1=3/2, j2=1/2 得j=2,1 構(gòu)成(3/2,1/2)2,(3/2,1/2)1兩個原子態(tài).可見,共有4個不同的原子態(tài).1S01P13S13P13P03P22s3s3p3p3s(5.8題圖)2p

24、2p5.8鈹原子基態(tài)的電子組態(tài)是2s2,若其中有一個電子被激發(fā)到3p態(tài),按L-S耦合可構(gòu)成哪些原子態(tài)?寫出有關(guān)的原子態(tài)符號,從這些原子態(tài)向低能態(tài)躍遷時,可以產(chǎn)生幾條光譜線?解: 鈹原子(Z=4)基態(tài)為2s21S0,對于激發(fā)態(tài)2s3p, , , , 所以, 構(gòu)成的原子態(tài)有:1P1,3P2,1,0四個原子態(tài);2s3s組態(tài)有1S0,3S1兩個譜項,2s2p組態(tài)有1P1,3P2,1,0,可以產(chǎn)生的光譜線如圖所示.5.9 求出第二周期個原子基態(tài)光譜項,并與表5.1.3相比較.解: Li(鋰)原子,Z=3,基態(tài)電子組態(tài)1s,譜項:2S1/2. (l=0,s=1/2)Be(鈹)原子,Z=4,基態(tài)電子組態(tài)2s2,譜項:1S0. (l=0,s=0)B(硼)原子,Z=5,基態(tài)電子組態(tài)2p,譜項:2P1/2. (l=1,s=1/2)C(碳)原子,Z=6,基態(tài)電子組態(tài)2p2.l1=l2=1,s1=s2=1/2,按照泡利原理,ml=(1,0,-1), ,(ml1,ms1)與(ml2,ms2)中至少應(yīng)有一個不相同.依據(jù)洪特定則,S最大取1,這時L最大為1.又由于這時兩個電子少于半滿電子數(shù),為正序,故基態(tài)譜項為3P0.N(氮)原子,Z=7,基態(tài)電子組態(tài)2p3.l1=l2=l3=1,s1=s2=1/2,ml=(1,0,-1),ms=±