信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)計(jì)算方法習(xí)題參考解答(教師用)

1、第一章 緒論姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：有效數(shù)字的計(jì)算、計(jì)算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計(jì)算。1. 若誤差限為0.5105，那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）2. ，具有4，5位有效數(shù)字的近似值分別是多少？（有效數(shù)字的計(jì)算）3. 已知是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值，問有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計(jì)算）4. 設(shè)，的相對(duì)誤差為，求的誤差和相對(duì)誤差？（誤差的計(jì)算）5測(cè)得某圓柱體高度的值為，底面半徑的值為，已知，求圓柱體體積的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限。（誤差限的計(jì)算）5. 設(shè)，求的相對(duì)誤差與的相對(duì)誤差的關(guān)系。設(shè)的相對(duì)誤差為,求的相對(duì)誤差.（函數(shù)誤差的計(jì)算）6. 計(jì)算球的體

2、積，為了使體積的相對(duì)誤差限為1%，問度量半徑時(shí)允許的相對(duì)誤差限為多大何？（函數(shù)誤差的計(jì)算）7. 設(shè)求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步增大；反向遞推計(jì)算時(shí)誤差逐步減小。（計(jì)算方法的比較選擇）第二章 插值法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：拉格朗日插值法的構(gòu)造，均差的計(jì)算，牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造，插值余項(xiàng)的計(jì)算和應(yīng)用。1. 求一個(gè)次數(shù)小于等于三次多項(xiàng)式，滿足如下插值條件：， （插值多項(xiàng)式的構(gòu)造）2. 已知：，求的Lagrange插值多項(xiàng)式。（拉格朗日插值）3. 已知y=，=4，=9，用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）4. 若為互異節(jié)點(diǎn)，且有5. 證明 （拉格朗日

3、插值基函數(shù)的性質(zhì)）6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用拋物線插值計(jì)算sin0.3367的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。（拉格朗日二次插值）7. 用余弦函數(shù)在三個(gè)節(jié)點(diǎn)處的值寫出二次Lagrange插值多項(xiàng)式函數(shù), 并近似計(jì)算及其絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差，且與誤差余項(xiàng)估計(jì)值比較。（拉格朗日二次插值）8. 已知函數(shù)值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f0,1,3,4,6和二階均差f4，1，3。（均差的計(jì)算）9. 設(shè)：求之值，.這里互異。（均差的計(jì)算）10. 依據(jù)如下函數(shù)值表012

4、419233建立不超過三次的牛頓插值多項(xiàng)式。（牛頓插值多項(xiàng)式的構(gòu)造）11. 作一個(gè)三次多項(xiàng)式使?jié)M足（埃爾米特插值）。12. 設(shè)(1)試求在上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H（x）使?jié)M足H（x）以升冪形式給出。(2)寫出余項(xiàng)的表達(dá)式。（埃爾米特插值及其余項(xiàng)的計(jì)算）。13. 證明若，f(a)=f(b)=0,則：（插值余項(xiàng)的應(yīng)用）14. 給出函數(shù)表： xi0 12F(xi)121F(xi)-115. 且已知F(x)在0，2上4階連續(xù)可導(dǎo)，求F(x)的3次Hermite插值多項(xiàng)式。（埃爾米特插值）。16. 設(shè)，求 使 ；又設(shè) ，則估計(jì)余項(xiàng) 的大小 。（插值余項(xiàng)的計(jì)算）第三章 函數(shù)逼近姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí)

5、習(xí)題主要考察點(diǎn)：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多項(xiàng)式的構(gòu)造。1. 設(shè)，求于上的線性最佳平方逼近多項(xiàng)式。（最佳平方逼近）2. 令，且設(shè)，求使得為于 上的最佳平方逼近多項(xiàng)式。（最佳平方逼近）3. 定義內(nèi)積試在中尋求對(duì)于的最佳平方逼近多項(xiàng)式. （最佳平方逼近）4. 證明：切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)正交。（正交多項(xiàng)式的證明）5. 求矛盾方程組：的最小二乘解。（最小二乘法）6. 已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù) 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59試用直線擬合這組數(shù)據(jù). (計(jì)算過程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）7. 用最小二乘原理求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式,使與下列數(shù)據(jù)相擬合.19 25 31 38 44

6、 19 32.3 49 73.3 97.8 （最小二乘二次逼近）第四章 數(shù)值積分姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：代數(shù)精度的計(jì)算，構(gòu)造插值型求積公式（梯形，Simpson公式），復(fù)化求積的計(jì)算，高斯公式的構(gòu)造。1. 求積公式，試確定系數(shù)及，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算）2. 已知高斯求積公式 將區(qū)間0,1二等分，用復(fù)化高斯求積法求定積分的近似值。（高斯公式）3. 試確定常數(shù)A，B，C和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算，高斯點(diǎn)的特征）4. 數(shù)值積分公

7、式，是否為插值型求積公式，為什么？又該公式的代數(shù)精確度為多少？（插值型求積公式特征）5. 給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。（代數(shù)精度的應(yīng)用和計(jì)算）6. 如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得到的結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。（梯形求積）7. 用的復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。（復(fù)化梯形求積）8. 設(shè)，則用復(fù)化Simpson公式計(jì)算，若有常數(shù)使 ，則估計(jì)復(fù)化Simpson公式的整體截?cái)嗾`差限。（復(fù)化Simpson公式）9. 驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，的牛頓-科茨公式是準(zhǔn)確的。（牛頓-科茨公式）10. 1）設(shè)是0,1區(qū)間上帶權(quán)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式系，求 2）構(gòu)造如下的Gauss型求積公式（高

8、斯求積）第五章 常微分方程數(shù)值解姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：歐拉方法的構(gòu)造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當(dāng)姆斯方法的構(gòu)造和討論。1. 對(duì)于初值問題，證明當(dāng)時(shí)，歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。（歐拉法穩(wěn)定性的討論）2. 證明：隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定。（穩(wěn)定性討論）3. 用龍格庫塔方法對(duì)方程取在區(qū)間上計(jì)算。（龍格庫塔方法的應(yīng)用）4. 用四階龍格庫塔法求解初值問題取h=0.2, 求x=0.2, 0.4時(shí)的數(shù)值解. 要求寫出由h,xk,yk直接計(jì)算yk+1的迭代公式，計(jì)算過程保留3位小數(shù)。（龍格庫塔方法的應(yīng)用）5. 設(shè)有常微分方程的初值問題試用Taylor展開原理構(gòu)造形如的方法，使具有二階精度

9、，并推導(dǎo)其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)。（積分余項(xiàng)的計(jì)算）6. 已知試求出Adams公式的局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng),并由此公式計(jì)算。（Adams公式的應(yīng)用）7. 用Adams方法對(duì)方程取在區(qū)間上計(jì)算。（Adams公式的應(yīng)用）第六章 非線性方程求根姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和穩(wěn)定性討論。1 用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。（二分法）2 說明方程 在區(qū)間1，2內(nèi)有惟一根，并選用適當(dāng)?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)），并說明所用的迭代格式是收斂的。（迭代法）3 設(shè)方程在 內(nèi)有實(shí)根，試寫出迭代公式使 。（迭代法構(gòu)造）4 設(shè)有解方程的迭代法(1)證明均

10、有（為方程的根）；(2) 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；(3)此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。（迭代法和收斂性討論）5 設(shè)證明 由 ，得到的序列收斂于 。 （收斂性證明）6 設(shè)有解方程在0,1內(nèi)的根為，若采用如下迭代公式證明均有為方程的根)；取，要迭代多少次能保證誤差？此迭代的收斂階是多少，證明你的結(jié)論。（迭代法和收斂性討論）7 方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價(jià)形式：（1），對(duì)應(yīng)迭代格式：（2），對(duì)應(yīng)迭代格式：（3），對(duì)應(yīng)迭代格式：判斷迭代格式在的收斂性，并估計(jì)收斂速度，選一種收斂格式計(jì)算出附近的根到4位有效數(shù)字，從出發(fā)，計(jì)算時(shí)保留5位有效數(shù)字。（收斂速

11、度的計(jì)算和比較）8 設(shè) （1） 寫出解 的Newton迭代格式；（2） 證明此迭代格式是線性收斂的。 （牛頓迭代的構(gòu)造）9 試述解非線性方程的Newton迭代法的計(jì)算格式，并設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算的Newton迭代法，且不用除法（其中）。（牛頓迭代法）10 用牛頓法求的近似值，取x=10或11為初始值，計(jì)算過程保留4位小數(shù)。（牛頓迭代的構(gòu)造）11 設(shè)是非線性方程的m重根，證明：用迭代法具有2階收斂速度。（收斂速度證明）12 設(shè)在附近有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證迭代法在附近是階收斂的。（收斂速度證明）13 設(shè)是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。（收斂速度證明）14 用弦截法求方程xsi

12、nx0.5=0在1.4，1.6之間的一個(gè)近似根，滿足，計(jì)算過程保留4位小數(shù)。（弦截法）第七章 線性方程組的直接解法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追趕法解線性方程組。1. 用高斯消去法解方程組。 （高斯消去法的應(yīng)用）2. 證明：（1）兩個(gè)下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣。（2）下三角矩陣的逆仍為下三角矩陣。（L,U矩陣的性質(zhì)）3. 用LU分解法求解線性方程組: 。（LU分解法的應(yīng)用）4. 設(shè)，求A的LU分解。（LU分解法的應(yīng)用）5. 用平方根法求解線性方程組。（平方根法的應(yīng)用）6. 試用“追趕法”解方程組，其中：， （追趕法的應(yīng)用）7. 設(shè)，求（條件數(shù)的計(jì)算）

13、8. 求證：（范數(shù)的性質(zhì)）9. 求證：（范數(shù)的性質(zhì)）10. 對(duì)矩陣 求，和。（范數(shù)，條件數(shù)的計(jì)算）11. 方程組，其中，A是對(duì)稱的且非奇異。設(shè)A有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明其中和分別為A的按模最大和最小的特征值。（范數(shù)的性質(zhì)，誤差的分析）12. 證明：如果是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則為非奇異陣。（嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)）13. 設(shè)是任意階矩陣，由的各次冪所組成的矩陣序列收斂于零矩陣，即的充分必要條件是 （譜半徑的性質(zhì)）第八章 線性方程組的迭代解法姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 習(xí)題主要考察點(diǎn)：Jacobi,Gauss-Seidel迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1. 用Jacobi,G

14、auss-Seidel迭代法解下列方程組是否收斂?為什么?若將方程組變?yōu)樵儆蒙鲜鰞煞N迭代法求解是否收斂?為什么?（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算和比較）2. 證明：迭代格式收斂，其中。（迭代法收斂性判斷）3. 證明解線性方程組AX=b的Jacobi迭代收斂，其中 A=。（Jacobi迭代收斂判斷）4. 已知方程組，其中(1)試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 若有迭代公式，試確定一個(gè)的取值范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)任取一個(gè)值均能使該迭代公式收斂。（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算和比較）5. 給出矩陣，（為實(shí)數(shù)）.試分別求出的取值范圍：1） 使得用Jacobi迭代法解方程組時(shí)收斂；2） 使得用Gauss-Seidel迭代法解方程組時(shí)收斂。（Jacobi,Gauss-Seidel迭代法的計(jì)算和比較）6. 設(shè)求1） 設(shè)是由 Jacobi 迭代求解方程組Ax=b所產(chǎn)生的迭代向量，寫出的精確表達(dá)式。2） 設(shè)是Ax=b的精確解，寫出誤差的精確表達(dá)式。3） 如構(gòu)造如下的迭代公式解方程組Ax=b，試 確定的范圍，使迭代收斂。（Jacobi迭代及其收斂判斷）7. 設(shè)給定線性方程組：（1）討論Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法的收