一維波動方程的Cauchy問題

1、第二章 波行法本章將利用行波法和球平均法分別求解一維和二維、三波動方程Cauchy問題的§1 一維波動方程的Cauchy問題一、 DAlembert 公式考慮初始位移為，初始速度為的無界弦的自由振動，該振動可以歸結(jié)為如下初值問題：（2.1）由第一章第三節(jié)弦振動方程可經(jīng)自變量變換簡化，作變換：由 代入方程(2.1)得由 ，有 先對積分,得其中是任意的函數(shù),再對積分,得到其中都是任意的函數(shù).把換成x,t的表示式,即得 (2.2)(2.2)給出的僅僅是泛定方程的解為了得到滿足(2.1)的解,考慮初值條件 (2.3)和 (2.4)將(2.4)兩端取從到積分： (2.5)其中.聯(lián)立(2.4)和

2、(2.5)，解得：將以上兩式代入(2.2)即得Cauchy問題(2.1)的解這叫做一維波動方程Cauchy問題的DAlembert公式.。(1) 可以證明，當(dāng)時(shí)，DAlembert公式一定滿足Cauchy問題，故該問題的解存在。(2) 得到DAlember公式一個解，故該問題的解是唯一的。(3) 穩(wěn)定性。 設(shè)有解，對，當(dāng)， 時(shí)，有取，則，故穩(wěn)定。結(jié)論：當(dāng)時(shí)，Cauchy問題是適定的。二、 解的討論（1）泛定方程解的物理意義令，得 是方程的解，當(dāng)取不同的值時(shí)，它表示相應(yīng)于不同時(shí)刻的振動狀態(tài)： 表示初始時(shí)刻振動狀態(tài)， 表示時(shí)刻振動狀態(tài)。在平面上，將向右平移距離即得到，隨著的增大, 將逐漸地往右平行

3、移動，故稱齊次波動方程形如的解為右行波。右行波在傳播過程中波形不變, 經(jīng)過時(shí)刻，波形移動了的距離，右行波的傳播速度為一個常數(shù)，速度不變。為左行波，它表示波形以速度向左傳播，且傳播過程中，波形也不變化。（2）DAlember公式的物理意義1）初始位移引起的振動由達(dá)朗貝爾公式 ，即初始位移分為兩半分別向左、右兩方以速度移動(圖2由下而上各圖的細(xì)線所描繪)，這兩個行波的和(圖2由下而上的粗線所描繪)給出各個時(shí)刻波形。x 圖1xut=0t1t2t3t4 圖2 物理現(xiàn)象為弦上各點(diǎn)，振動未傳播到時(shí)，處于平衡位置時(shí)，振動傳到時(shí)，相應(yīng)點(diǎn)將發(fā)生位移的變化，振動傳過后，該點(diǎn)仍回復(fù)到平衡位置。初始位移引起的振動有清

4、晰的波前和波后。 2）初始速度引起的振動： 設(shè)取，此時(shí) 是的一個原函數(shù)，xu圖3其圖形由圖3給出， 時(shí)，為與的疊加，為左行波和右行波疊加而成。uxt=0t=1/4t=1/2t=1圖4的波形見圖4，細(xì)線表示左、右行波，粗線表示兩者的疊加。隨著時(shí)間的推移，波形為上下底邊逐漸伸長的等腰梯形。弦上各點(diǎn)在未擾動前處于平衡狀態(tài)，對某固定點(diǎn)而言，一經(jīng)擾動，就不再回復(fù)到原來的位置，此種現(xiàn)象成為有持久后效。初始速度引起的振動有清晰的波前而無清晰的波后。三、 影響區(qū)域、依賴區(qū)間、決定區(qū)域（1）影響區(qū)域假定初值 討論在哪些點(diǎn)上的初始振動，在時(shí)刻的傳播范圍。由泛定方程解的物理意義知：由左、右行波疊加而得。上的初始振動

5、，在時(shí)刻，右行波傳到，左行波傳到，因此經(jīng)過時(shí)刻，初始振動傳播的范圍是：，稱區(qū)域Axt圖5為區(qū)間的影響區(qū)域，見圖5. x1 x2（2）依賴區(qū)間 依賴區(qū)域是討論時(shí)空平面上任一點(diǎn) 的將依賴于哪些點(diǎn)的初值問題。由DAlembert公式僅依賴于上的初值，稱區(qū)間為點(diǎn)的依賴區(qū)間(3) 決定區(qū)域xtB圖6在上給定了初值，則點(diǎn)的值也就被確定。點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)連線的斜率分別為, 因此過作斜率為的直線，過 作斜率為的直線,此兩條直線與圍成區(qū)域: , 見圖6，稱三角區(qū)域B為區(qū)間的決定區(qū)域。 x1 x2四、 齊次化原理（Duhamel原理）一條無界弦，初位移、初速度為0，受外力作用作強(qiáng)迫振動. (I) 其中齊次化原理 設(shè)是

6、齊次cauchy問題(II) 的解，其中是參數(shù)，則為非齊次方程cauchy問題(I)的解。沖量原理的物理意義： 由沖量原理 在時(shí)間段，外力F的作用相當(dāng)于在原有運(yùn)動速度的基礎(chǔ)上增加了 的速度，即可視為單位質(zhì)量物體在時(shí)刻獲得的初始速度，將各時(shí)間段的作用疊加起來即得外力在時(shí)間內(nèi)對弦的作用 利用齊次化原理給出非齊次方程Cauchy問題(I)的解。 令，則問題(II)變?yōu)?（III）由DAlembert公式有:所以問題(I)的解為:對一般非齊次一維波動方程Cauchy問題利用疊加原理 (i) (ii) 對于有界弦非齊次方程混合問題(I) 也有類似的齊次化原理: 若是(II) 的解, 則為非齊次方程混合問題(I)的解。對非齊