第4講直線(xiàn)圓上

1、第二講拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義滿(mǎn)分晉級(jí)圓錐曲線(xiàn) 3 級(jí)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中的圓錐曲線(xiàn) 4 級(jí)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的圓錐曲線(xiàn) 2 級(jí)拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義拋物線(xiàn)的定義例1求到定點(diǎn) A æ 0 , p ö 和定直線(xiàn) l ： y = - p 距離相等的點(diǎn)的軌跡方程çè2 ÷ø21第 2 講 拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義學(xué)生版知識(shí)點(diǎn)睛拋物線(xiàn)1、定義到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn)2、標(biāo)準(zhǔn)方程x2 = 2 py 和 y2 = 2 px ，其中 p 表示定點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離3、基本量焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)、頂點(diǎn)4、簡(jiǎn)單幾何特征范圍；對(duì)稱(chēng)性例題精講例2例3（2

2、010 年陜西）已知拋物線(xiàn) y2 = 2 px （ p > 0 ）的準(zhǔn)線(xiàn)與圓 x2 + y2 - 6x - 7 = 0 相切，則 p 的值為（）A 1B1C2D42（2010 年全國(guó)卷）已知拋物線(xiàn) y 2 = 2px （ p > 0 ）的準(zhǔn)線(xiàn)為l ，過(guò) M (1 , 0) 且斜率為 3 的直線(xiàn)與l 相交于點(diǎn) A ，與C 的一個(gè)交點(diǎn)為 B 若 AM = MB ，則 p =uuru r2第 2 講拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義 學(xué)生版已知平面的一條定直線(xiàn) l 和O ，求與直線(xiàn) l 和圓 O 都相切的圓的圓心 C 的軌跡拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義例4x 2y 2a2

3、 證明：橢圓+= 1（ a > b > 0 ）上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)(-c , 0 ) 與到直線(xiàn)l ： x = -的距離之a(chǎn)2b2c比為常數(shù)；x2y2a2 證明：雙曲線(xiàn)-= 1 上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)(c , 0) 與到直線(xiàn) l ： x = -的距離之比為常數(shù)a2b2c 根據(jù)拋物線(xiàn)的定義以及題、的結(jié)論，試給出拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義知識(shí)點(diǎn)睛拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義拋物線(xiàn) x2 = 2 py 的焦點(diǎn)為æ 0 , p ö ，準(zhǔn)線(xiàn)為 y = - p ；çè2 ÷ø2拋物線(xiàn) y2 = 2 px 的焦點(diǎn)為æ p , 0ö

4、 ，準(zhǔn)線(xiàn)為x = - p ；çè 2÷ø2x2y2a2a2橢圓+= 1（ a > b > 0 ）的左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的左準(zhǔn)線(xiàn)為x = -，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的右準(zhǔn)線(xiàn)為 x =；a2b2ccx2y2a2a2雙曲線(xiàn)-= 1 的左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的左準(zhǔn)線(xiàn)為 x = -，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的右準(zhǔn)線(xiàn)為 x =a2b2cc圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線(xiàn)距離的比為常數(shù)，且該常數(shù)即為離心率e 如下圖所示：3第 2 講 拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義學(xué)生版例題精講uru r例5（2010 重慶高考）已知以 F 為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn) y2 = 4x 上的兩點(diǎn) A 、B 滿(mǎn)足 AF = 3FB ，則弦

5、AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為；（2012 年通州高三期末）已知拋物線(xiàn) x2 = 2 py （ p > 0 ）的焦點(diǎn)為 F ，過(guò) F 的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A 、B 兩點(diǎn)，若 AF = 3FB ，則直線(xiàn)的斜率k =；uuruuurx2y2（2011 年四中高二期中）已知橢圓C ：+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦點(diǎn)為 F1 (-c , 0) 過(guò)22ab點(diǎn) F 且傾斜角為 的直線(xiàn)與橢圓相交所得的弦被 F 分為 2 :1 的兩段，則橢圓C 的離心率113為圓錐曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程知識(shí)點(diǎn)睛圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一方程根據(jù)拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，過(guò)焦點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，垂足到焦點(diǎn)的方向

6、為極軸正方向建立極坐標(biāo)系，則= e ，其中 p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，e 表示離心率p + cos 此方程即 =ep，為拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的統(tǒng)一方程1- e cos由此方程還可以得到拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩部分的長(zhǎng)4第 2 講拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義 學(xué)生版度 、 滿(mǎn)足 1 + 1 = 2 ，也即 ep 是 和 的調(diào)和平均數(shù)12ep1212圓錐曲線(xiàn)定義的由來(lái)如 下 左 圖 ， 一 方 面 截 線(xiàn) 上 的 點(diǎn) P 到 上 下 兩 球 與 截 面 的 切 點(diǎn) F1 、 F2 的 距 離PF1 + PF2 = PK1 + PK2 = AD 為定值，因此截面曲線(xiàn)為橢

7、圓，如下右圖，類(lèi)似的可以通過(guò)第一定義證PF1= PK1 = cos ( - l - ) 為定值，從而可以得明橢圓可以由平面截圓錐面得到；另一方面，d ( P , l )PQ11到橢圓的定義的，如下三圖，可以由定義證明橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)都可以由平面截圓錐面得到，而當(dāng)截面與圓錐面的軸線(xiàn)垂直且不通過(guò)母線(xiàn)與軸線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，截面是圓；當(dāng)截面通過(guò)圓錐面的軸線(xiàn)時(shí)， 截面是兩條相交直線(xiàn)，因此圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)和兩條相交直線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)5第 2 講 拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義學(xué)生版例題精講例6x2y2已知橢圓+= 1（ a > b > 0 ）上有 n（ n 3 ）個(gè)點(diǎn) P （ i = 1 ,

8、 2 , 3 , L , n ）， F 、l 分別為a2b2橢圓的左焦點(diǎn)和左準(zhǔn)線(xiàn)若ÐPFP = 2 （ i = 1 , 2 , 3 , L , n - 1 ），點(diǎn) P 到 l 的距離記為 dii +1in（ i = 1 , 2 , 3 , L , n ），求證： 1 + 1 +L + 1 為常數(shù)（與P 的位置無(wú)關(guān)）1ddd12n6第 2 講拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義 學(xué)生版拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)睛通過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn) l 被圓錐曲線(xiàn) E 所截得的線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)度稱(chēng)為焦點(diǎn)弦長(zhǎng)（注意對(duì)于雙曲線(xiàn)， A 、B 可以在雙曲線(xiàn)的不同支上）利用統(tǒng)一極坐標(biāo)方程可以方便的推導(dǎo)出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式（

9、其中 表示直線(xiàn)的傾斜角）：x2y22ab2b2 + c2 sin2 對(duì)于橢圓 E :+= 1，有=AB；a2b2x2y22ab2對(duì)于雙曲線(xiàn) E :-= 1，有 ABa2b2=； 2 p 對(duì)于拋物線(xiàn) E : y 2 = 2 px ，有 AB=sin2 2、過(guò)圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)且與準(zhǔn)線(xiàn)平行的的弦稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的是表征圓錐曲線(xiàn)形狀的一個(gè)重要的量圓錐曲線(xiàn)的和離心率一樣都2b2對(duì)于橢圓和雙曲線(xiàn)，長(zhǎng)度為；a對(duì)于拋物線(xiàn)，長(zhǎng)度為2 p （過(guò)焦點(diǎn)最短的弦）（過(guò)焦點(diǎn)最短的弦）（ 過(guò)焦點(diǎn)最短的弦）例題精講7第 2 講 拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義學(xué)生版b2 - c2 sin 2 例7（2009 年福建高考）過(guò)拋物線(xiàn) y 2

10、 = 2 px （ p > 0 ）的焦點(diǎn) F 作傾斜角為45°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A ，B 兩點(diǎn)，若線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)為8 ，則 p =_x2y2（2010 年豐臺(tái)一模）橢圓+= 1的焦點(diǎn)為 F1 ， F2 ，過(guò) F2 垂直于 x 軸的直線(xiàn)交橢圓于一2516的值是點(diǎn) P ，那么PF1 過(guò)雙曲線(xiàn)C ： 2x2 - y2 = 2 的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于 A 、 B 兩點(diǎn)，若| AB |= 4 ，則這樣的直線(xiàn)有_條華山論劍8第 2 講拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義 學(xué)生版（2009 年湖南）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P 到點(diǎn) F (3 , 0 ) 的距離的4 倍與它到直線(xiàn) x =

11、2 的距離的3 倍之和記為d ，當(dāng)點(diǎn) P時(shí)， d 恒等于點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)與18 之和 求點(diǎn) P 的軌跡C ； 設(shè)過(guò)點(diǎn)F 的直線(xiàn)l 與軌跡C 相交于 M 、N 兩點(diǎn)，求線(xiàn)段MN 長(zhǎng)度的最大值實(shí)戰(zhàn)演練P 是拋物線(xiàn) y2 = 2 px （ p > 0 ）上的點(diǎn)， F 是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則以 PF練為直徑的圓與 y 軸位置相交為（）相離相切不確定）過(guò)拋物線(xiàn) y2 = 2 px （ p > 0 ）的焦點(diǎn)F 的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于 M 、N 兩點(diǎn)，練習(xí)2（2009 年自 M 、N 向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為M1 、 N1 求證： AM 1 AN1 yM1MOFxN1N我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)中了解到

12、二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的圖象是拋物線(xiàn)試?yán)脪佄锞€(xiàn)的定義證明二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的圖象是拋物線(xiàn)練習(xí)3x2y2定點(diǎn) N (1 , 0) ，動(dòng)點(diǎn) A 、B 分別在拋物線(xiàn) y2 = 4x 及橢圓+= 1 所圍成的部分上練習(xí)4，43且 AB x 軸，則NAB 的周長(zhǎng)l 的取值范圍是x2y2）已知雙曲線(xiàn)C ：-= 1（ a , b > 0 ）的離心率為 3 ，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為a2b2練習(xí)5（2009 年x = 3 則雙曲線(xiàn)的方程為3（2010 年四川）已知 F (2 , 0) ，定直線(xiàn)l ： x =

13、 1 ，動(dòng)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 的距離是它到直線(xiàn) l 的2距離的 2 倍則點(diǎn) P 的軌跡為9第 2 講 拋物線(xiàn)、橢圓和雙曲線(xiàn)的定義學(xué)生版（2009 年）已知橢圓C ： x + y = 1（ a > b > 0 ）的左、右焦點(diǎn)分別為 F 、F F1122a2b2= 5 則C 的也是拋物線(xiàn)C : y2 = 4x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) M 為 C 與C 在第一象限的交點(diǎn)，且MF212213方程為x2y2已知 A 、 B 為過(guò)橢圓+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)，練習(xí)6a2b211+是否為定值，并說(shuō)明理由yBOFxAx2y2 橢圓+= 1 上的點(diǎn) M 與橢圓右焦點(diǎn)F 的連線(xiàn) MF 與 x 軸垂直，且OM 與橢圓的右a2b222頂點(diǎn) A 和上頂點(diǎn) B 的連線(xiàn)平行，則橢圓的離心率為；練習(xí)7x2y2（2