第4講直線圓上

1、第二講拋物線、橢圓和雙曲線的定義滿分晉級圓錐曲線 3 級圓錐曲線問題中的圓錐曲線 4 級圓錐曲線問題的圓錐曲線 2 級拋物線、橢圓和雙曲線的定義拋物線的定義例1求到定點 A æ 0 , p ö 和定直線 l ： y = - p 距離相等的點的軌跡方程çè2 ÷ø21第 2 講 拋物線、橢圓和雙曲線的定義學(xué)生版知識點睛拋物線1、定義到定點與到定直線距離相等的點的軌跡稱為拋物線2、標(biāo)準(zhǔn)方程x2 = 2 py 和 y2 = 2 px ，其中 p 表示定點到定直線的距離3、基本量焦點、準(zhǔn)線、頂點4、簡單幾何特征范圍；對稱性例題精講例2例3（2

2、010 年陜西）已知拋物線 y2 = 2 px （ p > 0 ）的準(zhǔn)線與圓 x2 + y2 - 6x - 7 = 0 相切，則 p 的值為（）A 1B1C2D42（2010 年全國卷）已知拋物線 y 2 = 2px （ p > 0 ）的準(zhǔn)線為l ，過 M (1 , 0) 且斜率為 3 的直線與l 相交于點 A ，與C 的一個交點為 B 若 AM = MB ，則 p =uuru r2第 2 講拋物線、橢圓和雙曲線的定義 學(xué)生版已知平面的一條定直線 l 和O ，求與直線 l 和圓 O 都相切的圓的圓心 C 的軌跡拋物線、橢圓和雙曲線的定義拋物線、橢圓和雙曲線的定義例4x 2y 2a2

3、 證明：橢圓+= 1（ a > b > 0 ）上的點到左焦點(-c , 0 ) 與到直線l ： x = -的距離之a(chǎn)2b2c比為常數(shù)；x2y2a2 證明：雙曲線-= 1 上的點到左焦點(c , 0) 與到直線 l ： x = -的距離之比為常數(shù)a2b2c 根據(jù)拋物線的定義以及題、的結(jié)論，試給出拋物線、橢圓和雙曲線的統(tǒng)一定義知識點睛拋物線、橢圓和雙曲線的定義拋物線 x2 = 2 py 的焦點為æ 0 , p ö ，準(zhǔn)線為 y = - p ；çè2 ÷ø2拋物線 y2 = 2 px 的焦點為æ p , 0ö

4、 ，準(zhǔn)線為x = - p ；çè 2÷ø2x2y2a2a2橢圓+= 1（ a > b > 0 ）的左焦點對應(yīng)的左準(zhǔn)線為x = -，右焦點對應(yīng)的右準(zhǔn)線為 x =；a2b2ccx2y2a2a2雙曲線-= 1 的左焦點對應(yīng)的左準(zhǔn)線為 x = -，右焦點對應(yīng)的右準(zhǔn)線為 x =a2b2cc圓錐曲線上的點到焦點距離與到準(zhǔn)線距離的比為常數(shù)，且該常數(shù)即為離心率e 如下圖所示：3第 2 講 拋物線、橢圓和雙曲線的定義學(xué)生版例題精講uru r例5（2010 重慶高考）已知以 F 為焦點的拋物線 y2 = 4x 上的兩點 A 、B 滿足 AF = 3FB ，則弦

5、AB的中點到準(zhǔn)線的距離為；（2012 年通州高三期末）已知拋物線 x2 = 2 py （ p > 0 ）的焦點為 F ，過 F 的直線交拋物線于 A 、B 兩點，若 AF = 3FB ，則直線的斜率k =；uuruuurx2y2（2011 年四中高二期中）已知橢圓C ：+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦點為 F1 (-c , 0) 過22ab點 F 且傾斜角為 的直線與橢圓相交所得的弦被 F 分為 2 :1 的兩段，則橢圓C 的離心率113為圓錐曲線的極坐標(biāo)方程知識點睛圓錐曲線的統(tǒng)一方程根據(jù)拋物線、橢圓和雙曲線的定義，過焦點作準(zhǔn)線的垂線，以焦點為極點，垂足到焦點的方向

6、為極軸正方向建立極坐標(biāo)系，則= e ，其中 p 表示焦點到準(zhǔn)線的距離，e 表示離心率p + cos 此方程即 =ep，為拋物線、橢圓和雙曲線的統(tǒng)一方程1- e cos由此方程還可以得到拋物線、橢圓和雙曲線的一個性質(zhì)：過焦點的弦被焦點分成的兩部分的長4第 2 講拋物線、橢圓和雙曲線的定義 學(xué)生版度 、 滿足 1 + 1 = 2 ，也即 ep 是 和 的調(diào)和平均數(shù)12ep1212圓錐曲線定義的由來如 下 左 圖 ， 一 方 面 截 線 上 的 點 P 到 上 下 兩 球 與 截 面 的 切 點 F1 、 F2 的 距 離PF1 + PF2 = PK1 + PK2 = AD 為定值，因此截面曲線為橢

7、圓，如下右圖，類似的可以通過第一定義證PF1= PK1 = cos ( - l - ) 為定值，從而可以得明橢圓可以由平面截圓錐面得到；另一方面，d ( P , l )PQ11到橢圓的定義的，如下三圖，可以由定義證明橢圓、雙曲線、拋物線都可以由平面截圓錐面得到，而當(dāng)截面與圓錐面的軸線垂直且不通過母線與軸線的交點時，截面是圓；當(dāng)截面通過圓錐面的軸線時， 截面是兩條相交直線，因此圓、橢圓、雙曲線、拋物線和兩條相交直線統(tǒng)稱為圓錐曲線5第 2 講 拋物線、橢圓和雙曲線的定義學(xué)生版例題精講例6x2y2已知橢圓+= 1（ a > b > 0 ）上有 n（ n 3 ）個點 P （ i = 1 ,

8、 2 , 3 , L , n ）， F 、l 分別為a2b2橢圓的左焦點和左準(zhǔn)線若ÐPFP = 2 （ i = 1 , 2 , 3 , L , n - 1 ），點 P 到 l 的距離記為 dii +1in（ i = 1 , 2 , 3 , L , n ），求證： 1 + 1 +L + 1 為常數(shù)（與P 的位置無關(guān)）1ddd12n6第 2 講拋物線、橢圓和雙曲線的定義 學(xué)生版拋物線、橢圓和雙曲線的焦點弦長知識點睛通過焦點的直線 l 被圓錐曲線 E 所截得的線段 AB 的長度稱為焦點弦長（注意對于雙曲線， A 、B 可以在雙曲線的不同支上）利用統(tǒng)一極坐標(biāo)方程可以方便的推導(dǎo)出焦點弦長公式（

9、其中 表示直線的傾斜角）：x2y22ab2b2 + c2 sin2 對于橢圓 E :+= 1，有=AB；a2b2x2y22ab2對于雙曲線 E :-= 1，有 ABa2b2=； 2 p 對于拋物線 E : y 2 = 2 px ，有 AB=sin2 2、過圓錐曲線的焦點且與準(zhǔn)線平行的的弦稱為圓錐曲線的是表征圓錐曲線形狀的一個重要的量圓錐曲線的和離心率一樣都2b2對于橢圓和雙曲線，長度為；a對于拋物線，長度為2 p （過焦點最短的弦）（過焦點最短的弦）（ 過焦點最短的弦）例題精講7第 2 講 拋物線、橢圓和雙曲線的定義學(xué)生版b2 - c2 sin 2 例7（2009 年福建高考）過拋物線 y 2

10、 = 2 px （ p > 0 ）的焦點 F 作傾斜角為45°的直線交拋物線于 A ，B 兩點，若線段 AB 的長為8 ，則 p =_x2y2（2010 年豐臺一模）橢圓+= 1的焦點為 F1 ， F2 ，過 F2 垂直于 x 軸的直線交橢圓于一2516的值是點 P ，那么PF1 過雙曲線C ： 2x2 - y2 = 2 的右焦點的直線交雙曲線于 A 、 B 兩點，若| AB |= 4 ，則這樣的直線有_條華山論劍8第 2 講拋物線、橢圓和雙曲線的定義 學(xué)生版（2009 年湖南）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點 P 到點 F (3 , 0 ) 的距離的4 倍與它到直線 x =

11、2 的距離的3 倍之和記為d ，當(dāng)點 P時， d 恒等于點 P 的橫坐標(biāo)與18 之和 求點 P 的軌跡C ； 設(shè)過點F 的直線l 與軌跡C 相交于 M 、N 兩點，求線段MN 長度的最大值實戰(zhàn)演練P 是拋物線 y2 = 2 px （ p > 0 ）上的點， F 是拋物線的焦點，則以 PF練為直徑的圓與 y 軸位置相交為（）相離相切不確定）過拋物線 y2 = 2 px （ p > 0 ）的焦點F 的直線與拋物線相交于 M 、N 兩點，練習(xí)2（2009 年自 M 、N 向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M1 、 N1 求證： AM 1 AN1 yM1MOFxN1N我們在初中的學(xué)習(xí)中了解到

12、二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的圖象是拋物線試?yán)脪佄锞€的定義證明二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的圖象是拋物線練習(xí)3x2y2定點 N (1 , 0) ，動點 A 、B 分別在拋物線 y2 = 4x 及橢圓+= 1 所圍成的部分上練習(xí)4，43且 AB x 軸，則NAB 的周長l 的取值范圍是x2y2）已知雙曲線C ：-= 1（ a , b > 0 ）的離心率為 3 ，右準(zhǔn)線方程為a2b2練習(xí)5（2009 年x = 3 則雙曲線的方程為3（2010 年四川）已知 F (2 , 0) ，定直線l ： x =

13、 1 ，動點 P 與點 F 的距離是它到直線 l 的2距離的 2 倍則點 P 的軌跡為9第 2 講 拋物線、橢圓和雙曲線的定義學(xué)生版（2009 年）已知橢圓C ： x + y = 1（ a > b > 0 ）的左、右焦點分別為 F 、F F1122a2b2= 5 則C 的也是拋物線C : y2 = 4x 的焦點，點 M 為 C 與C 在第一象限的交點，且MF212213方程為x2y2已知 A 、 B 為過橢圓+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦點 F 的直線與橢圓的交點，練習(xí)6a2b211+是否為定值，并說明理由yBOFxAx2y2 橢圓+= 1 上的點 M 與橢圓右焦點F 的連線 MF 與 x 軸垂直，且OM 與橢圓的右a2b222頂點 A 和上頂點 B 的連線平行，則橢圓的離心率為；練習(xí)7x2y2（2