《面角求法大全》word版

1、二面角求法之面面觀求解二面角是立體幾何中最基本、最重要的題型，也是各地高考中的“熱點(diǎn)”問(wèn)題，雖然對(duì)此可說(shuō)是“千錘百煉”，但我們必須面對(duì)新的情境、新的變化，如何以基本方法的“不變”去應(yīng)對(duì)題目中的“萬(wàn)變”就是我們研究的中心話題.總的來(lái)說(shuō)，求解二面角的大體步驟為：“作、證、求”.其中“作、證”是關(guān)鍵也是難點(diǎn)，“求”依靠的計(jì)算，也決不能忽視，否則因小失大，功虧一簣，也是十分遺憾之事.1 定義法即在二面角的棱上找一點(diǎn)，在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的射線即得二面角的平面角.定義法是“眾法之源”，萬(wàn)變不離其宗，“樹(shù)高千尺，葉落歸根”，求二面角的一切方法蓋源出定義這個(gè)“根”！.DB1圖1AOA1CBD1C1O1

2、例1 正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值為 .分析與略解：“小題”不必“大做”，由圖1知所求二面角為二面角C-BD-C1的“補(bǔ)角”.教材中根本就沒(méi)有“二面角的補(bǔ)角”這個(gè)概念，但通過(guò)幾何直觀又很容易理解其意義，這就叫做直覺(jué)思維，在立體幾何中必須發(fā)展這種重要的思維能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=。將題目略作變化，二面角A1-BD-C1的余弦值為 .在圖1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，用余弦定理易求得MAFA1QPBCECBPEF圖2(2)圖2(1)QcosA1OC1=例2(2006年江蘇試題)如

3、圖2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC上的點(diǎn)，滿足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如圖2(2)，將AEF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連接A1B、A1P.()與()略；()求二面角B-A1P-F的余弦值。分析與略解：在例1中，圖形的對(duì)稱(chēng)和諧狀態(tài)對(duì)解題產(chǎn)生了很好的啟迪作用，在這里更離不開(kāi)圖形的這種對(duì)稱(chēng)和諧性.若取BP的中點(diǎn)Q，連接EQ，則在正三角形ABC中，很容易證得BEQPEQPEFAEF，那么在圖2(2)中，有A1Q=A1F.作FMA1P于M，連接QH、QF，則易得A1QPA1FP，QMPFMP，所以PMQ=PMF=90o，QM

4、F為二面角B-A1P-F的平面角，使題解取得了突破性的進(jìn)展.設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在QMF中，由余弦定理得cosQMF=。練習(xí)：2011廣東高考理18.(本小題滿分13分) 如圖5.在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，且DAB=60，,PB=2, E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).PABCDFGPABCDFE(1) 證明：AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2) 由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.2 三垂線法這是最典型也是最常用的方法，當(dāng)然此法仍扎“根”于二面角平面角的定義.A圖3PBl此法最基本的一個(gè)模型

5、為：如圖3，設(shè)銳二面角，過(guò)面內(nèi)一點(diǎn)P作PA于A，作ABl于B，連接PB，由三垂線定理得PBl，則PBA為二面角的平面角，故稱(chēng)此法為三垂線法.最重要的是在“變形(形狀改變)”和“變位(位置變化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在該角所在的三角形(最好是直角三角形，如圖3中的RtPAB)中求解.對(duì)于鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補(bǔ)角不就是鈍角嗎？圖4B1AA1BlEF例3(2006年陜西試題)如圖4，平面平面，=l，A，B，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的正弦值.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不

6、像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對(duì)本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，則可證A1E平面AB1B.過(guò)E作EFAB交AB于F，連接A1F，則得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，則在RtA1EF中，sinA1FE=.與圖3中的RtPAB比較，這里的RtA1EF就發(fā)生了“變形”和“變位”，所以要有應(yīng)對(duì)各種變化，乃至更復(fù)雜變化的思想準(zhǔn)備.3 垂面法P圖5lCBA事實(shí)上，圖1中的平面COC1、圖2(2)中的平面QMF、圖3中的平面PAB、圖4中的平面A1FE都是相關(guān)二面角棱的垂面，這種通過(guò)作二面

7、角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情況下用這種方法可取得良好的效果.例4空間的點(diǎn)P到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.分析與略解：如圖5，分別作PA于A，PB于B，則易知l平面PAB，設(shè)l平面PAB=C，連接PC，則lPC.分別在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，則AC=，BC=.因?yàn)镻、A、C、B四點(diǎn)共圓，且PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角的大小為.分別在PAB、ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，則可解得cos=，=120o，

8、二面角的大小為120o.4 面積法如圖1，設(shè)二面角C-BD-C1的大小為，則在RtCOC1中，cos，在某些情況下用此法特別方便.例5 如圖6，平面外的A1B1C1在內(nèi)的射影是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面與平面所成銳二面角的余弦值分析與略解：?jiǎn)栴}的情境很容易使人想到用面積法，分別在BB1、CC1取BD=CE=AA1，DAM圖6ECBC1A1B1HG則A1B1C1A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰A1B1C1的面積為，又正ABC的面積為.設(shè)所求二面角的大小為，則cos=.5 變式二面角的求法以上列舉了求解二面角的

9、四種基本方法，但在現(xiàn)實(shí)中，問(wèn)題往往不是那么簡(jiǎn)單與單純，而是有諸多的變化，“源于基本方法，適應(yīng)各種變化”就是我們總的策略.5.1 “無(wú)棱”二面角的求法嚴(yán)格地說(shuō)，任何二面角都是有棱的，“無(wú)棱”其實(shí)是指二面角的棱處于隱含的狀態(tài).對(duì)于這樣的問(wèn)題，有兩種處理辦法：(1)用面積法，見(jiàn)例5；(2)找出隱含的棱，此法可稱(chēng)為“找棱法”.在例5中，延長(zhǎng)C1B1和C1A1分別交CB和CA的延長(zhǎng)線于G、H，連GH.作CMGH于M，連C1M，C1MGH，則CMC1是所求二面角的平面角.由平幾知識(shí)得CG=4，CH=2，則CGH的面積為，又CGH的面積為CH·CM.又由余弦定理得GH=，所以CM=2，則在RtCM

10、C1中，cos=.在原圖中，面A1B1C1與的公共點(diǎn)都不知道，所以必須找出它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，才能找到二面角的棱；而在另一些問(wèn)題中，知道兩個(gè)面的一個(gè)公共點(diǎn)，那么只須再找出另一個(gè)公共點(diǎn)就可以了.面積法比找棱法似乎要簡(jiǎn)單些，但看問(wèn)題不能簡(jiǎn)單化，例5的第二種解法是非常重要的一種方法，其中蘊(yùn)涵的知識(shí)和技能的“營(yíng)養(yǎng)”對(duì)于滋補(bǔ)人大大腦是十分有價(jià)值的，所以決不要忽視找棱法.5.2 有關(guān)二面角的最值問(wèn)題求最值是代數(shù)、三角、解幾的“熱點(diǎn)”問(wèn)題，殊不知立體幾何中也有引人入勝的最值問(wèn)題.圖7EDCBAl例6 二面角-l-的大小是變量，點(diǎn)B、C在l上，A、D分別在面、內(nèi)，且ADBC，AD與面成角，若ABC的面積為定值S，求BCD面積Q的最大值.分析與略解