第二章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

1、 測(cè) 量 平 差 太原理工大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)系第二章第二章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理 1 測(cè)量平差概述 2 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型 3 函數(shù)模型的線性化 4 最小二乘原理 2-1 2-1 測(cè)量平差概述測(cè)量平差概述 在測(cè)量工作中，為了確定待定點(diǎn)的高程，需要建立水準(zhǔn)網(wǎng)，為了確定待定點(diǎn)的平面坐標(biāo)，需要建立平面控制網(wǎng)（包括測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)），我們常把這些網(wǎng)稱為幾何模型。每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準(zhǔn)網(wǎng)中包括點(diǎn)的高程、點(diǎn)間的高差，平面網(wǎng)中包含角度、邊長(zhǎng)、邊的坐標(biāo)方位角以及點(diǎn)的二維或三維坐標(biāo)等元素。這些元素都被稱為幾何量。測(cè)量平差概述在諸多幾何量中，有的可以直接測(cè)量

2、，但更多的是通過測(cè)定其它一些量來間接求出。如根據(jù)一點(diǎn)的坐標(biāo)，通過直接測(cè)定的角度和距離求定另一些點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)一點(diǎn)的高程，通過直接測(cè)定的高差求定另一些點(diǎn)的高程等等。這也充分說明要確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關(guān)系式稱為函數(shù)模型。 測(cè)量平差概述在測(cè)量工作中，并不是對(duì)模型中的所有量都進(jìn)行觀測(cè)。假設(shè)對(duì)模型中的幾何量總共觀測(cè)n個(gè)，當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)小于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，即n t ， 設(shè) ： r=n-t 式中n是觀測(cè)值個(gè)數(shù)，t是必要觀測(cè)個(gè)數(shù)，r稱為多余觀測(cè)個(gè)數(shù)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也叫自由度。 測(cè)量平差

3、概述有了多余觀測(cè)，觀測(cè)值之間必然不能滿足理論上的條件方程，即觀測(cè)值產(chǎn)生了矛盾，從而使觀測(cè)值不能完全吻合于幾何模型。為了消除矛盾，通常用另一組被稱為“觀測(cè)值估值（又叫平差值、最或是值、最或然值）來代替觀測(cè)值。任何一個(gè)觀測(cè)值估值都可以看作是一個(gè)改正了的觀測(cè)值，是由觀測(cè)值加上改正數(shù)而得到，觀測(cè)值的改正數(shù)，它們必須在計(jì)算之前被計(jì)算出來。但這種改正數(shù)有無數(shù)多組（如：對(duì)三角形閉合差的分配），但從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度講，只有一組改正數(shù)能得到最優(yōu)解。為求唯一的一組最優(yōu)改正數(shù)，必須附加一定的約束條件，我們把按照某一準(zhǔn)則求得觀測(cè)值新的一組最優(yōu)估值的計(jì)算過程叫平差。 2-2 測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型 在測(cè)量工作中

4、，涉及的是通過觀測(cè)量確定某些幾何量的大小等有關(guān)數(shù)量問題，因此，常考慮如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及如何解算這些模型。由于測(cè)量觀測(cè)值是一種隨機(jī)變量，所以，平差的數(shù)學(xué)模型與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)上的模型不同，它不僅要考慮描述已知量與待求量之間的函數(shù)模型，還要考慮隨機(jī)模型，在研究任何平差方法時(shí)，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須同時(shí)予以考慮。 函函 數(shù)數(shù) 模模 型型 1. 條件平差法條件平差法 2. 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法 3. 間接平差法間接平差法(參數(shù)平差法參數(shù)平差法) 4. 附有限制條件的間接平差附有限制條件的間接平差 5. 附有條件的條件平差（綜合平差模型）附有條件的條件平差（綜合平差模型） 1. 條件平

5、差法條件平差法一般而言，如果有n個(gè)觀測(cè)值，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程，即 如果條件方程為線性形式，則可以直接寫為 將 代入，并令 則上式即為條件平差的函數(shù)模型。以此模型為基礎(chǔ)的平差計(jì)算稱為條件平差法。0)(LF 11010rrnnrALA LL)(0AALW0WA2. 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法在平差問題中，設(shè)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，則可以列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)又增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為未知參數(shù)，且0 ut,每增加一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程，因此，共需列出r+u個(gè)條件方程，以含有參數(shù)的條件方程為平差函數(shù)模型的平差方法，稱為附有參數(shù)的條件平差法。 2

6、. 附有參數(shù)的條件平差法附有參數(shù)的條件平差法一般而言，在某一平差問題中,觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)為t，多余觀測(cè)個(gè)數(shù)為r=n-t，再增選u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，0 ut個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的s=u- t個(gè)參數(shù)必定是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式。方程的總數(shù)c=r+u=r+t+s=n+s個(gè)，建立模型時(shí)，除了列立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加參數(shù)之間滿足的s個(gè)條件方程，以此作為平差函數(shù)模型的平差方法稱為附有條件的間接平差。 4. 附有限制條件的間接平差附有限制條件的間接平差其函數(shù)模型的一般形式為 線性形式的函數(shù)模型為 將 代入，并令 則 這就是附有條件的間接平差的函數(shù)模

7、型 )(1XFLn0)(1XS111nuunndXBL011suusWXC LLdLl111nuunnlXB011suusWXC5.附有條件的條件平差（綜合平差模型）附有條件的條件平差（綜合平差模型）附有條件的條件平差的基本思想是：對(duì)于一個(gè)平差問題，若增選了u個(gè)參數(shù)，不論ut，也不論參數(shù)是否獨(dú)立，每增加一個(gè)參數(shù)則肯定相應(yīng)地增加1個(gè)方程，故方程的總數(shù)為r+u個(gè)。如果在u個(gè)參數(shù)中有s個(gè)是不獨(dú)立的，或者說在這u個(gè)參數(shù)中存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)系式，則應(yīng)列出s個(gè)的限制條件方程，除此之外再列出 c=r+u-s 個(gè)一般條件方程，形成函數(shù)模型 。5.附有條件的條件平差（綜合平差模型）附有條件的條件平差（綜合平差模型

8、）函數(shù)模型如下 若為線性形式，則為 考慮到 ，則這就是附有條件的條件平差的函數(shù)模型。0),(1XLFc0)(1XS01011cuucnncAXBLA011suusWXC LL0111cuucnncWXBA011suusWXC平差的隨機(jī)模型平差的隨機(jī)模型 進(jìn)行平差時(shí)除建立其函數(shù)模型外，還要同時(shí)考慮到它的隨機(jī)模型，亦即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣： 式中D為L(zhǎng)的協(xié)方差陣，Q為L(zhǎng)的協(xié)因數(shù)陣，P為L(zhǎng)的權(quán)陣， 為單位權(quán)方差。函數(shù)模型連同隨機(jī)模型，就稱為平差的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行平差計(jì)算前，函數(shù)模型和隨機(jī)模型必須首先被確定，前者按上面介紹的方法建立，后者須知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介紹的方法進(jìn)行平差前經(jīng)驗(yàn)定

9、權(quán)。可以通過平差計(jì)算求出其估值，然后根據(jù)公式 求得D的估值。nnnnnnPQD1202020QD202-3 2-3 函數(shù)模型的線性化函數(shù)模型的線性化 設(shè)有函數(shù)按臺(tái)勞級(jí)數(shù)在近似值處展開，略去二次和二次以上各項(xiàng)，于是有 若令 則函數(shù)的線性形式為),(111uncXLFFxXFLFXLFxXLFFXLXL()(0000，），00,212221212111,XLncccnnXLncLFLFLFLFLFLFLFLFLFLFA00,212221212111,XLucccuuXLucxFXFXFXFXFXFXFXFXFXFBxBAXLFF),(0條件平差法線性化后的形式條件平差法線性化后的形式 對(duì)照線性化一

10、般形式，則有 令 有 上式即為條件平差的線性函數(shù)模型。 0)(LFF0)( ALF)(LFW0WA附有參數(shù)的條件平差線性化后的形式附有參數(shù)的條件平差線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有 令 有 上式即為附有參數(shù)的條件平差的線性函數(shù)模型。0),(1XLFFc0),(0 xBAXLFF),(0XLFW0111cuucnncWxBA間接平差法線性化后的形式間接平差法線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有 令 有 上式即為間接平差法平差的線性函數(shù)模型。)(1XFLnxBXFL)(0)(0XFLl111nttnnlxB附有條件的間接平差線性化后的形式附有條件的間接平差線性化后的形式因?yàn)榱顒t線性化后的模

11、型為 )(1XFLn0)(1XSxXXXX)()(00)(0XWX111nttnnlxB011suusWxC附有條件的條件平差線性化后的形式附有條件的條件平差線性化后的形式對(duì)照線性化一般形式，則有附有條件的條件平差的線性函數(shù)模型。0),(1XLFc0)(1XS0111cuucnncWxBA011suusWxC2-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理 如果只對(duì)幾何模型中的必要元素進(jìn)行觀測(cè)，而沒有多余觀測(cè)，則在觀測(cè)值之間不可能產(chǎn)生任何函數(shù)關(guān)系式，也不存在平差問題。只有在有了多余觀測(cè)的情況下，才會(huì)產(chǎn)生平差問題。例如為確定一個(gè)三角形的大小和形狀，必要觀測(cè)數(shù)為t=3，如果實(shí)際觀測(cè)了一邊三角（n=4）,則

12、存在一個(gè)多余觀測(cè)（r=n-t=1）?，F(xiàn)以一邊和其中任意兩個(gè)角作為一個(gè)組合來確定三角形的大小和形狀，則有三種組合，由于觀測(cè)值不可避免地含有偶然誤差，三種組合所計(jì)算的結(jié)果將出現(xiàn)微小差別，這說明在具有多余觀測(cè)的情況下，將無法唯一的確定模型的解。 2-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理從函數(shù)模型來考慮，由于存在一個(gè)多余觀測(cè)，三個(gè)內(nèi)角真值之間就存在一個(gè)條件方程，即：考慮到 ，代入上式得 式中 稱為條件方程的閉合差或常數(shù)項(xiàng)，它是可以根據(jù)觀測(cè)值計(jì)算出來的。由于觀測(cè)值的真值不知道，所以真誤差是未知量。要確定真誤差的值，顯然其解是不唯一的。要確定滿足函數(shù)模型的唯一的一組解，如果不另外附加一定的約束條件，那是不

13、可能的。到底應(yīng)該采用什么樣的約束條件，才能使模型得到一組具有最佳性質(zhì)的解呢？0180321LLL LL0321W)180(321LLLW2-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理 在測(cè)量工作及其它科學(xué)工程領(lǐng)域，應(yīng)用最早也最廣泛的就是所謂的“最小二乘準(zhǔn)則”： 在滿足最小二乘準(zhǔn)則下求得的真誤差稱為估值，用表示，測(cè)量工作中習(xí)慣上用符號(hào)代替，因此最小二乘準(zhǔn)則常表達(dá)為： 由于根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則可以求得真誤差估值，也就可以求得觀測(cè)值的估值，其計(jì)算公式為 式中 稱為觀測(cè)值的改正數(shù)， 稱為觀測(cè)值 的估值，或平差值、最或然值。 minPTminPVVTVVLLLL2-4 2-4 最小二乘原理最小二乘原理當(dāng) 為非對(duì)角陣，表示觀測(cè)值相關(guān)，按 進(jìn)行的平差稱為相關(guān)觀測(cè)平差。當(dāng) 為對(duì)角陣，表示觀測(cè)值不相關(guān)，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)則可表示為純量形式，即： 特別地，當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān)且等精度時(shí)，權(quán)陣為單位陣，此時(shí)最小二乘準(zhǔn)則可表示為 估計(jì)的準(zhǔn)則有許多種，最小二乘準(zhǔn)則是其中的一種，還有一種常用的估計(jì)叫做最大似然估計(jì)，這種估計(jì)要求事先知道觀測(cè)量的概率分布函數(shù)。一般認(rèn)為測(cè)量觀測(cè)值向量是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其概率分布密度函數(shù)為PPminPVVTmin2222211nnT