1987考研數(shù)學(xué)一二三真題答案無

1、1987 年全國(guó)研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題參考解答數(shù) 學(xué)（試卷）一、填空題（每小題 3 分，滿分 15 分. 只寫不寫解題過程）ìx = 1x +1y + 2z -1ï y = -1+ t=(1) 與兩直線及都平行，且過原點(diǎn)的平面方程是í121ï z = 2 + tîx - y + 5 = 0(2) 當(dāng) x = -1/ ln 2 ；時(shí)，函數(shù) y = x2x 取得極小值.(3) 由 y = ln x 與兩直線 y = (e +1) - x 及 y = 0 圍成圖形的面積= 3 / 2òx + y = 9，則曲線積分 (2xy - 2y)

2、dx + (x - 4x)dy 的值是222(4) 設(shè) L 為取正向的圓周L-18p.(5) 已知三維線性空間的一組基底 a1 = (1,1, 0), a2 = (1, 0,1), a3 = ( 0,1,1) ，則向量a ( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐標(biāo)是 ( 1 , 1 , -1 )二、（本題滿分 8 分）1t 2xòdt = 1 成立.求正的a 與b ，使式limbx - sin xx®00a + t 2解：假若b ¹ 1，則根據(jù)洛必達(dá)法則有1t 21x2xòdt = lim(×b - cos x) = 0 ¹ 1，

3、與題設(shè)a + x2，于是b = 1.limbx -sin xa + t2xx®00x®01t21x21x22× ) = lim(× ) =，此時(shí)lim1 x2a + x2a®022即1 =，因此a = 4 .a三、（本題滿分 7 分）(1) 設(shè)函數(shù) f , g 連續(xù)可微， u = f (x, xy), v = g(x + xy) ，求¶u , ¶v .¶x ¶x¶u解：¶¢ ¶x¶(xy) =f ¢+ y × f ¢ ； &#

4、182;v = g¢× ¶(x + xy) = (1+ y) × g¢ .¢12¶x¶x1987 年 第 1 頁é3011ù(2) 設(shè)矩陣 A 和 B 滿足 AB = A + 2B ，其中 A = ê10ú ，求矩陣 B .êêë0ú14úû解：因 AB = A + 2B ，故 AB - 2B = A ，即( A - 2E)B = A ，-2-2öæ 5故 B = (A- 2E)-1 A = &#

5、231; 4-3 -2÷ .ç÷ç -223 ÷è四、（本題滿分 8 分）ø求微分方程 y ¢ + 6y ¢ +(9 + a2)y¢ =1的通解.其中a > 0 .解：由特征方程r3 + 2r2 +(9 + a2)r = 0 ，知其特征根根為r = 0, r= -3± ai .12,3故對(duì)應(yīng)齊次方程的通%y = C + C e-3x cos x + C e-3x sin x ，其中C ,C ,C 為任意.1231231設(shè)原方程的特y*(x) = Ax ，代入原方程可得 A =.9

6、 + a21y(x) = %y + y* = C + C e-3x cos x + C e-3x sin x +x .因此，原方程的通1239 + a2五、選擇題（每小題 3 分，滿分 12 分）k + n¥設(shè)k > 0 ，則級(jí)數(shù)å(-1)n(1)（C）n2n=1(D) 收斂與發(fā)散與k 的值有關(guān).(A) 發(fā)散(B) 絕對(duì)收斂(C) 條件收斂s tòI = tf (tx)dx ，s > 0, t > 0 ，則 I 的值(B) 依賴于 s 、t 、 x設(shè) f (x) 為已知連續(xù)函數(shù)，(A) 依賴于 s 和t(2)（D）0依賴于t 和 x ,不依賴于

7、s依賴于 s ,不依賴于t(C)(D)f (x) -f (a) = -1，則在點(diǎn) x = a 處(3)(B)設(shè)lim(x - a)2x®a(A) f (x) 導(dǎo)數(shù), f ¢(a) ¹ 0(C) f (x) 取得極小值f (x) 取得極大值f (x) 的導(dǎo)數(shù)不(B)(D).= a ¹ 0,1/ a而 A* 是A 的伴隨矩陣，則A*A(4)設(shè)A 為n 階方陣,(A)a=(C)且an -1an(B)(C)(D)六、（本題滿分 10 分）¥1n2ån+1x的收斂域，并求其和函數(shù).求冪級(jí)數(shù)nn=11n2nxn+1(n +1)2n+1n2nu解：

8、記un =n+1x= lim×=，有l(wèi)im n+1，xnu2n®¥n®¥n1987 年 第 2 頁x令< 1，知原級(jí)數(shù)在開區(qū)間(-2, 2) 內(nèi)每一點(diǎn)都收斂.2¥¥又當(dāng) x = -2 時(shí)，原級(jí)數(shù)= å 1 (-2)n+1 = 2å(-1)n+1 1 ，故由判別法知其收斂；n=1 n2nnn=1¥而當(dāng) x = 2 時(shí)，原級(jí)數(shù)= å¥ 1 2n+1 = 2å(-1)n+1 1 ，顯然發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2,2) .n=1 n2nnn=1¥¥

9、;¥1 x1 xå( ) = xS1(x) ，其中 S1 (x) = å ( )nn又記 S(，n2n=1 n2n=1 n2n=1有 S (x) =( x)n-1 =1，于是 S (¥å¢) ，11- x / 21- x2n=1， x Î-2, 2) .因此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 S(七、（本題滿分 10 分）計(jì)算曲面積分 I = òòS x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4yzdxdy ，2ìz =y - 1其中 s 是曲線繞Y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，它的法向量與Y 軸(

10、1 £ y £ 3)íx = 0î正向的夾角恒大于p /2 解： S 的方程為 y = x2 + z2 +1，記 S ： y = 3, (x2 + z2) ，知 S + S 為封閉曲面，設(shè)其11方向取外側(cè)，所圍區(qū)域?yàn)閃 ，則由公式，有I = Òòò S +S x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4 yzdxdy -òò x(8y +1)dydz + 2(1- y )dzdx - 4yzdxdy221S13= òòò1× dv - 0 - &#

11、242;ò2(1- y )dydz + 0 =dydzdx -òòòòò2(1- 32 )dzdx2WS11DyDz x3ò16 ×p × 2 = 34p .=( y -1)dy +1八、（本題滿分 10 分）設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間0,1 上可微，對(duì)于0,1 上的每個(gè) x ，函數(shù)的值都在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，且 f ¢(x) ¹ 1.證明 在(0,1) 內(nèi)有且僅有一個(gè) x ，使 f (x) = x 證：令h(t) = f (t) - t ，知h(t) 在閉區(qū)間0,1 上連續(xù)，又由題

12、0 < f (x) < 1，于是有 h(0) = f (0) - 0 > 0, h(1) = f (1) -1 < 0 . 故由零點(diǎn)定理，在(0,1) 內(nèi)有 x ，使 f (x) = x .假若 f (x) 在開區(qū)間(0,1) 內(nèi)有兩個(gè)不同的點(diǎn) x1 和 x2 ，使得 f (x1 ) = x1 ， f (x2 ) = x2 ，不妨設(shè) x1 < x2 ，則易見 f (x) 在閉區(qū)間0,1 上連續(xù)，在(0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，故由定理知，1987 年 第 3 頁xf (x2 ) - f (x1 ) ，即$x Î(0,1) ，使得 f ¢(x ) =f &

13、#162;(x) =1 .此與 f ¢(x) ¹ 1！故在(0,1) 內(nèi)使x2 - x1f (x) = x 的 x 只能有一個(gè).九、（本題滿分 8 分）3 + x4 = 0ìï= 1，線性方程組ï問 a, b 為4有唯一解？無解？有無窮多解？í -x+ (a - 3)x - 2x = bïïî 32343 + ax4 = -1并求出無窮多的通解.解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，得æ 111-1 2ç 0A = ( A b) = ç°çç 3&

14、#232;1當(dāng) a ¹ 1 時(shí)，系數(shù)行列式A = (a -1)2 ¹ 0 ，故由法則，原方程組有唯一解；當(dāng) a = 1 ，且b ¹ -1時(shí)， r(°A) = 3, r(A) = 2 ， r(°A) ¹ r(A) ，故原方程組無解；23當(dāng) a = 1 ，且b = -1時(shí)，r(°A) = r(A) = 2 < 4，故原方程組有無窮的解.此時(shí)顯然有æ 111001200ç 0A = ( A b) ® ç°ç 0ç 0è： x = (-1,1,0,

15、0)T + c (1, -2,1,0)，其中c , c 為任意可見其通.112十、填空題（每小題 2 分，滿分 6 分）A 發(fā)生的概率為 p ，現(xiàn)進(jìn)行 n 次(1) 在一次試驗(yàn)中試驗(yàn)，則 A 至少發(fā)生一次的概率為 1 - (1 - p)n1 + (n -1) p(1 - p)n-1；而A 至多發(fā)生一次的概率為.(2) 三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有 4 個(gè)黑球 1 個(gè)，第二個(gè)箱子中有 3 個(gè)3 個(gè)黑球，第三個(gè)箱子中有 3 個(gè)黑球 5 五個(gè)，現(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再從這個(gè)箱子中取一個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榈母怕蕿?，已知取出的是，此球?qū)儆诘诙涞母怕适?0 / 53.53/1201987 年 第 4 頁12(3) 已

16、知連續(xù)隨量X 的密度為 f (x) =e-x +2x-1 ，則X 的數(shù)學(xué)期望為1；X 的p方差為 1 / 2.十一、（本題滿分 6 分）設(shè)隨量 X，Y 相互，其概率密度函數(shù)分別為0 £ x £ 1 ；ì1ìe- yy > 0 ，求隨y £ 0的概率密度函數(shù) f (z) .f X (x) = ífY ( y) = íî量 Z = 2 X + Yzî0其 它0ìe- y0 £ x £ 1, y > 0其 它解：由題設(shè)， ( X ,Y ) 的聯(lián)合密度為 f (x, y)

17、 = f X (x) fY ( y) = í，î 0òò故 Z 的分布函數(shù) Fz (z) = P(Z £ z) = P(2X + Y £ z) =f (x, y)dxdy ，2x+ y£z0dxdy = 0 ，此時(shí) fz (z) = 0¢ = 0；òò當(dāng) z < 0 時(shí)， Fz (z) =12 x+ y£zz- yz1zzzòò0òò當(dāng)0 £ z £ 2 時(shí)， F (z) =dye ydx =e- ydy -ye- yd

18、y ，此時(shí)-22z22000f (z) = F¢(z) = 1 z e- ydy = 1 (1- ez ) ；òzz2212x-z1-2- z(1- e)dx = 1-(e-1)e ，此時(shí)0z-2 xe- ydy =1當(dāng) z > 2 時(shí)， F (z) =dxòòò3z2000f (z) = F¢(z) = 1 (e2 -1)e-zzz2z < 00 £ z £ 2z > 2ì 0ï(1- e )- z綜上所述，Z = 2 X + Y 的概率密度函數(shù)為 f (z) =1í

19、; 2zïe (e-1)- z-21î 21987 年 第 5 頁數(shù) 學(xué)（ 試卷 ）一、（本題滿分 15 分）【 同數(shù)學(xué)、第一題 】二、（本題滿分 14 分）2ò|dx.(1)（6 分）計(jì)算定積分(|-2解：因 xe-|x| 是奇函數(shù)，| x | e-|x| 是偶函數(shù)，故(2)（8 分）【 同數(shù)學(xué)、第二題 】三、（本題滿分 7 分）-2 .原式= 2|00¶2 z設(shè)函數(shù) z = f (u, x, y),u = xe ，其中 有yf¶x¶y .連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求¶2z¶z解：= f1¢× ¶

20、u + f2= ( f ¢ × xey + f ¢)ey + ey × f ¢+ f ¢ × xey + f ¢ .¢ = f1¢× efy +¢，¶x¶y111312123¶x¶x四、（本題滿分 8 分）【 同數(shù)學(xué)、第四題 】五、（本題滿分 12 分）【六、（本題滿分 10 分）【七、（本題滿分 10 分）【八、（本題滿分 10 分）【同數(shù)學(xué)、第五題】同數(shù)學(xué)、第六題】同數(shù)學(xué)、第七題】同數(shù)學(xué)、第八題】九、（本題滿分 8 分）【 同數(shù)學(xué)、

21、第九題 】十、（本題滿分 6 分）設(shè)l1 , l2 為 n 階方陣 A 的特征值， l1 ¹x1 + x2 不是 A 的特征向量.證：假若 x1 + x2 是 A 的特征向量，設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征值為l3 ，則有 A(，而 x1 , x2 分別為對(duì)應(yīng)的特征向量，試證明：1 + x2 ) ，2 . 又由題設(shè)條件知 Ax1 = l1 x1 ， Ax2 = l2 x2 ，故有即 Ax1 + A(l1 - l3 )x1 +(l2 - l3 )x2 = 0 .因 x1, x2 是屬于不同特征值的特征向量，所以 x1, x2 線性無關(guān)，從而l1 = l3 ，且l1 = l3 ，此與l1 ¹！

22、因此 x1 + x2 不是 A 的特征向量.1987 年 第 6 頁數(shù) 學(xué)（ 試卷 ）一、填空題（每小題 2 分，滿分 10 分. 把填在題中橫線上）a 2a(1) 設(shè) y = ln(1 + ax) ,其中a 為非零，則 y¢ =, y =¢-. 1 + ax(1 + ax)2點(diǎn)處的切線方程是 y = 1 x + p - 2 ；(2) 曲線 y = arctg 在橫坐標(biāo)為 1y = -2x + (p + 8) / 4 .法線方程是24(3)積分中值定理的條件是f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，結(jié)論是bò$x Îa, b, 使得 f (x)dx = f (x

23、 )(b - a)alin (n - 2)n =e-3(4).n +1n®¥；f ¢(2x)dx 1f (2b) - 1 f (2a).2bò f ¢(x)dx =òf (x) + c(5)2 a二、（本題滿分 6 分）11求極限 l)-1x -111ex1= lim=.2解： l三、（本題滿分 7 分）ì x = 5(t - sin t)dy d 2 y,2 .設(shè)í，求y = 5(1- cost)dx dxîdydtdxdy（5 0+sin t)sin tdysin t= 5sin t,= 5 - 5c

24、os t ，=解：因，故，dx5(1-cos t） 1-cos tdx1- costdtsin tdtd 2 yd1且=() ×= -dx2dt 1- cos tdx5(1- cos t)2四、（本題滿分 8 分）1ò計(jì)算定積分x arcsin xdx .0x21- x21òdx ，解：22421- x20001987 年 第 7 頁p sin2 tpp1 ppx211òòò令 x = sin t ，有dx =cos tdt =，因此 x arcsin xdx =-×=.2cos t442 4801- x200五、（本題滿分

25、 8 分）設(shè)D 是曲線 y = sin x +1與三條直線 x = 0 , x = p , y = 0 圍成的轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.梯形.求D 繞 x 軸旋3p 2p解：V = p ò0 (sin x +1) dx = 4p +.22六、證明題（本題滿分 10 分）(1)（5 分）若 f (x) 在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù) f ¢( x) 恒大于零，則 f (x) 在(a, b) 內(nèi)單調(diào)增加. 證： "x1, x2 Î(a,b) ，不妨設(shè) x1 < x2 ，則 f (x) 在x1, x2 上連續(xù)，在(x1, x2 ) 內(nèi)可導(dǎo)，中值定理，

26、$x Î(x1, x2 ) Ì (a,b) ，使得 f (x2 ) - f (x1) = f ¢(x)(x2 - x1) .故由由于 f ¢( x) 在(a, b) 內(nèi)恒大于零，所以 f ¢(x ) > 0 ，又x2 - x1 > 0 ，因此 f (x2 ) - f (x1) > 0 ，即 f (x2 ) > f (x1) ，表明 f (x) 在(a, b) 內(nèi)單調(diào)增加.(2)（5 分）若 g(x) 在 x = c 處導(dǎo)數(shù)，且 g ¢(c) = 0 , g ¢ (c) < 0 ，則 g(c) 為

27、 g(x)的一個(gè)極大值.證：因 g¢¢(c) = lim g¢(x) - g¢(c) < 0，而 g ¢(c) = 0 ，故lim g¢(x) < 0.由極限的性，x - cx - cx®cx®c$d > 0 ，當(dāng) x Î(c - d , c) 時(shí)，有 g¢(x) < 0 ，即 g¢(x) > 0 ，從而 g(x) 在(c - d , c) 單增；x - c當(dāng) x Î(c, c + d ) 時(shí)，有 g¢(x) < 0 ，即 g&#

28、162;(x) < 0 ，從而 g(x) 在(c - d , c) 單減.x - c又由 g ¢(c) = 0 知， x = c 是 g(x) 的駐點(diǎn)，因此 g(c) 為 g(x) 的一個(gè)極大值.七、（本題滿分 10 分）òdx( 其中a, b 為不的非負(fù)數(shù) )計(jì)算不定積分a2 sin2 x + b2 cos2 x解： 當(dāng)a = 0 時(shí)，原式=sec2 xdx = 1 tan x + c ；1b2 òb211a2 ò 當(dāng)b = 0 時(shí)， 原式=cs c2 xdx = -cot x + c ；a2ad ( tan x) bsec2 xdx= 1 =

29、1 arctan( a tan x) + c .0 時(shí)，原式= ò a2 tan2 x + b2ab ò 當(dāng)ab ¹aabb( tan x)2 +1b1987 年 第 8 頁八、（本題滿分 15 分）(1)（7 分）求微分方程 x dy = x - y ，滿足條件 y |dx= 0 的解x= 211 1dy1-y = edx + c) =(x2 + c) .+ y = 1，故其通解：原方程即x 2dxxx - 1 .2x因 y |= 0 ，所以c = -1.于是所求初值問題的y =x= 2y¢ + 2y¢ + y = xex(2)（8 分）求微

30、分方程的通解.解：由特征方程r 2 + 2r +1 = 0 ，知其特征根根為r= -1.1,2%y = (C + C x)e-x ，其中C , C故對(duì)應(yīng)齊次方程的通為任意.1212y*(x) = ex (ax + b) ，代入原方程可得a = 1 ， b =- 1 .設(shè)原方程的特44因此，原方程的通y(x) = %y + y* = (C + C x)e-2x + 1 ( x -1)ex .124九、選擇題（每小題 4 分，滿分 16 分）ecosx ,-¥ < x < +¥(1). f (（A）有界函數(shù)是（D）（B）單調(diào)函數(shù)（C）周期函數(shù)（D）偶函數(shù)f (2).

31、 函數(shù)(D)（A）當(dāng) x ®¥時(shí)為無窮大（C）在(-¥,+¥) 內(nèi)有界（B）當(dāng) x ®¥時(shí)有極限（D）在(-¥,+¥) 內(nèi)f (a + x) - f (a - x)等于(3) 設(shè) f (x) 在 x = a 處可導(dǎo)，則lim(B)x（C）0x®0（B） 2 f ¢(a)f ¢(a)f ¢(2a)（A）（D）(4) 【 同數(shù)學(xué)、第五（2）題 】十、（本題滿分 10 分）在第一象限內(nèi)，求曲線 y = -x2 +1上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處切線與所給曲線及兩坐標(biāo)圍成的面積為最小，并求此最小

32、面積.解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a ，則切線方程為 y - (1- a2) = -2a(x - a) ，即 y = -2ax + a2 +1a +1231aa121. 令 s¢ = 0 得駐點(diǎn)a = 3 .òs =(a +1)-(-x +1)dx =+-22故所圍面積22a424a303> 0 ，故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為( 3 , 2) ，其最小值為 s33493 - 2 .3由于 s¢¢=a= 3 / 3a=3 / 31987 年 第 9 頁數(shù) 學(xué)（ 試卷 ）一、題（每小題答對(duì)得 2 分，答錯(cuò)得-1 分，不答得 0 分，全題最低 0 分）1(1) limex

33、=¥ （ ´）x®0pò(2)x4 sin xdx = 0（ ）-p¥¥¥若級(jí)數(shù)åan 與åbn 均發(fā)散，則級(jí)數(shù)å(an + bn ) 必發(fā)散´(3)（）n=1n=1n=1(4) 假設(shè) D 是矩陣 A 的 r 階子式，且含 D 的一切r +1 階子式都等于 0，那么矩陣 A 的一切r +1 階子式都等于 0（）(5)連續(xù)型隨量取任何給定實(shí)數(shù)值的概率都等于 0（）二、選擇題（每小題 2 分，滿分 10 分.）下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的是(1)(A)x £ 0x > 0x

34、¹ 0（B） f (x) = ìsin x（A） f (íîcos xì1x0ìx +1x < 0x = 0x > 0ïï（D） f (x) =íïî（C）f (x) = í 0ïx -1x = 0î若函數(shù) f(x)在區(qū)間(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，x1 , x2 是區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)，且 x1< x2 ，則至少存一點(diǎn)x ，(2)（C）使得(A) f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a), a < x <

35、b .f (b) - f (x1) = f ¢(x)(b - x1), x1 < x < b .(B)(C) f (x2 ) - f (x1) = f ¢( )(D) f (x2 ) - f (a) = f ¢(x)(x2 - a),(3) 下列廣義積分收斂的是1 < x < x2 .a < x < x2 .（C）+¥ ln xdxdxdx+¥+¥+¥（A） òedx（B） òe（C） òe（D） òex(ln x)2xx ln xx ln x(4)

36、 設(shè)A 是n 階方陣，其秩 r < n ， 那么在A 的n 個(gè)行向量中(A) 必有 r 個(gè)行向量線性無關(guān)(B) 任意 r 個(gè)行向量線性無關(guān)(A)1987 年 第 10 頁(C)(D)(5) 若二(A)(C)任意 r 個(gè)行向量都極大線性無關(guān)向量組任意一個(gè)行向量都可以由其它 r 個(gè)行向量線性表示A 和B 同時(shí)出現(xiàn)的概率P( A B ) = 0 , 則(C)A 和B 互不相容（互斥）AB 未必是不可能(B) AB 是不可能(D) P ( A ) = 0 或 P ( B ) = 0三、計(jì)算下列各題（每小題 4 分，滿分 16 分）1(1) 求極限 lim (1 + xex ) x .x®

37、;0ln(1+ xex )x1ln(1+ xex )解：因 (1+ xe xex（當(dāng) x ® 0 ），1，而xln(1+ xex )xex= lim= lim ex = 1， 從而lim(1+ xex )x = e .故 lim®0x®01 + x 2 -1求 y¢ .(2) 已知 y = ln，1 + x 2 + 12x2x2 1+ x22 1+ x22解： y = ln( 1+ x2 -1) -ln( 1+ x2 +1) ， y¢ =- ln=.1+ x2 -11+ x2 +1x 1 + x 2(3) 已知 z = arctg x + y

38、，求dz .x - yd ( x + y )(x - y)(dx + dy) - (x + y)(dx - dy) (x - y)2x - y- ydx + xdy解： dz =x + y x - yx + y x - yx2 + y21+ (1+ (22)(4) 求不定積分òe2 x-1 dx .解：令 2x -1 = t ，有òe 2x-1dx = òettdt = tet - òetdt = tet - et + c = ( 2x -1 -1)e四、（本題滿分 10 分）考慮函數(shù) y = sin x (0 £ x £ p / 2

39、) ，問：2x-1 + c，圖中陰影部分的面積 s1 與 s2 之和 s = s1 + s2 最??？， s = s1 + s2 最大？t(1) t 取(2 ) t 取òs = t sin t -sin xdx = t sin t + cos t -1解：因，101987 年 第 11 頁pppòs =sin xdx - (- t) sin t = cos t + t sin t -sin t ，2222tpp故 s = s1 + s2 = 2t sin t + 2cos t - 2 sin t -1, (0 £ t £ 2 ) .令 s¢ =

40、0 ，得 s 在(0, p ) 內(nèi)的駐點(diǎn)t = p . 而 s( ) =2 -1， s( ) =-1 ， s(0) = 1 ，ppp24422因此 t = p 時(shí)， s 最??； t = 0 時(shí)， s 最大.4五、（本題滿分 6 分）1f (x) =展成 x 的級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間.將函數(shù)x2 - 3x + 2f解：因，2n ， x Î(-2, 2) ， 1¥而= å1xn ， x Î(-1,1) ， 且1- x1-n=002¥¥¥= ån=0(1+ 1 )xn ，其收斂區(qū)間為(-1,1) .故 f (n2 n=0

41、2n2n+1n=1六、（本題滿分 5 分）計(jì)算二重積分òòD e dxdy ，其中D 是第一象限中由直線 y = x 和 y = x 圍成的封閉區(qū)域.x23解：聯(lián)立 y = x 和 y = x 3 ，可解得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x = 0 和 x = 1 ，于是213x2edy =(x - x )e dx =-1òòDò0òx3òe20七、（本題滿分 6 分）已知某商品的需求量 x 對(duì)價(jià)格P 的彈性為（），求需求函數(shù).h = -3p3 ，而市場(chǎng)對(duì)商品的最大需求量為 1px dp3 ，即2dp ，解：由彈性的定義，有x3于是有

42、x = ce- p ， c 為待定.3由題意 p = 0 時(shí)， x = 1 ，故c = 1，因此 x = e- p .1987 年 第 12 頁八、（本題滿分 8 分）2x1 -+-3x 4 =-4- x 4 =-3= 13æ x öæöæ -1ö3ï1ç÷【 xç -8÷ç2 ÷ ，k 為任意ï1x3解線性方程組】íïç 2 ÷ = ç÷ + k ç÷+ x +ç

43、x3 ÷0ç÷ç1 ÷2ç x ÷ç÷ç 0 ÷ï7=3î6è 4 øèøèø4解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，有-4 öæ131-3÷÷ ®L÷÷ø10113-3故原方程組與下方程組同解：ìx1 = 3 - x3ïx= -8 + 2x ，令 x = 0 ，可得原方程組的特解 b = (3, -8, 0

44、, 6)T .í233ïx= 6î 4又顯然原方程組的導(dǎo)出組與下方程組同解：ìx1 = -x3ïx= 2xí，令 x = 1，可得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系h = (-1, 2,1,0)T .233ïx= 0î 4, x ) = (3, -8,0,6)T +：(，其中k 為任意因此原方程組的通.34九、（本題滿分 7 分）é 42123ù設(shè)矩陣 A 和 B 滿足 AB = A + 2B ，求矩陣 B ，其中 A = ê 10ú .êêë-1解：因 AB =

45、 A + 2B ，故 AB - 2B = A ，即( A - 2E)B = A ，ú3úû-8-6öæ3故 B = (A- 2E)-1 A = ç-9 -6÷2ç÷ç-29 ÷12è十、（本題滿分 6 分）øé-3-1-1 02ù求矩陣 A = ê 04ú 的實(shí)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.êêë-1ú1úû1987 年 第 13 頁lE - A = 0 ，即(l -1)(

46、 l 2+4 l +5) 0=,可見矩陣 A 只有一個(gè)實(shí)特征值l = 1 .解：令易見，線性方程組(l E - A) X= 0 的基礎(chǔ)解系為(0, 2,1)T ，故 A 對(duì)應(yīng)特征值l = 1 的特征向量為k(0, 2,1)T ，（其中k 為非零任意十一、（每小題 4 分，滿分 8 分）.量 X 的概率分布為 P( X = 1) = 0.2, P( X = 2) = 0.3, P( X = 3) = 0.5 ，試寫(1) 已知隨出 X 的分布函數(shù) F (x) .x < 11 £ x < 22 £ x < 3x ³ 3ì0,ï0.

47、2,解： X 的分布函數(shù)為 F (x) =ï.í0.5,ïïî1,ìy 22a 2y ³ 0,y < 0-ï1 y (2) 已知隨量 Y 的概率密度為 f ( y) = í a 2ïî期望 EZ .e量 Z =的數(shù)學(xué)Y求隨0y 2y 22a 2 2p1+¥ 1+¥ 1y-1-+¥EZ = E( ) = ò-¥f ( y)dy = ò0× 2 edy =2p × ò0Yyy a2a 2dy =

48、e2p a2解：.2a十二、（本題滿分 8 分）設(shè)有兩箱同種零件.第一箱內(nèi)裝 50 件，其中 10 件一等品；第二箱內(nèi)裝有 30 件，其中18 件一等品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑出一箱，然后從該箱中先后隨機(jī)取出兩個(gè)零件（取出的零件均不放回），試求:(1) 先取出的零件是一等品的概率 p ；(2) 在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍然是一等品的條件概率q .= 取出的零件為第i 箱中的， Aj =第 j 次取出的是一等品， i, j = 1, 2 ，解：設(shè) Bi顯然 B1, B2 為正概完備組，故公式得B ) = 1 × 10 + 1 × 18 = 2 ；p = P(

49、A ) = P(B )P(AB ) + P(B )P(A(1)11112122 502 3051 10´91 18´17276(2) P(A1 A2 ) = P(B1)P(A1 A2B1) + P(B2 )P(A1 A2B2 ) =×+×=，2 50´ 492 30´ 291421A ) = P( A1 A2 ) = 690公式得q = q = P( A» 0.48557 .于是，由21P( A )142111987 年 第 14 頁數(shù) 學(xué)（ 試卷 ）一、題（每小題答對(duì)得 2 分，答錯(cuò)得-1 分，不答得 0 分，全題最低 0 分）(1)(2)【 同數(shù)學(xué) 第一（1）題 】【 同數(shù)學(xué) 第一（2）題 】若函數(shù) f (x) 在區(qū)間(a, b) 嚴(yán)格單增，則對(duì)區(qū)間(a, b) 內(nèi)任何一點(diǎn) x 有 f ¢(x) > 0 . （´ ）´ ）(3)(4)A 和 kA 為 A 和kA 的行列式，則 kA = k若 A 為 n 階方陣， k 為A .，而（(5)【 同數(shù)學(xué) 第一（5）題 】二、選擇題（每小題 2 分，滿分 10 分）(1)(2)(3)(4)【同數(shù)學(xué)第二（1）題第二（2）題第二（3）題第二