土木工程測(cè)量第05章

1、第五章 測(cè)量誤差理論 測(cè)量與觀測(cè)值測(cè)量與觀測(cè)值 觀測(cè)觀測(cè)與觀測(cè)值的分類與觀測(cè)值的分類 觀測(cè)條件觀測(cè)條件 等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè) 直接觀測(cè)和間接觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè) 觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)第一節(jié) 觀測(cè)誤差一、測(cè)量誤差的來源1測(cè)量?jī)x器和工具2觀測(cè)者3外界條件的影響 由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。 由于觀測(cè)者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。 外界條件的變化所引起的誤差。觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。 觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)； 人、儀器和外界條件，通常稱為觀測(cè)條件。 在觀測(cè)結(jié)果中，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)

2、誤，稱之為粗差。 粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。二二、測(cè)量誤差的分類例：例： 誤差誤差 處理方法處理方法 鋼尺尺長(zhǎng)誤差鋼尺尺長(zhǎng)誤差 l ld d 計(jì)算改正計(jì)算改正 鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t 計(jì)算改正計(jì)算改正 水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng) I 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (前后視等距前后視等距) ) 經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C C 操作時(shí)抵消操作時(shí)抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) ) 2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按 規(guī)律性變化，具有規(guī)律性變化，具有積累性

3、積累性。 系統(tǒng)誤差可以消除或減弱系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。 ( (計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校) )測(cè)量誤差分為：測(cè)量誤差分為：粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差1.粗差粗差( (錯(cuò)誤錯(cuò)誤) )超限的誤差超限的誤差3.偶然誤差偶然誤差誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同， 表面看無規(guī)律性。表面看無規(guī)律性。 例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差， 導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差 。 準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異） 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） 測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定

4、精度）4.幾個(gè)概念幾個(gè)概念: : 精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）1系統(tǒng)誤差 在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。 （1）進(jìn)行計(jì)算改正 （2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法 （3）檢驗(yàn)校正儀器2偶然誤差 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。三、偶然誤差的特性 偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的

5、增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。 例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180。用X表示真值，則l與X的差值稱為真誤差（即偶然誤差），即Xl 現(xiàn)在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了217個(gè)三角形，計(jì)算出217個(gè)內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。再按絕對(duì)值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個(gè)數(shù)，列入表中。 偶然誤差的統(tǒng)計(jì)偶然誤差的統(tǒng)計(jì)* （1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多； （2）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等； （3）最大誤差不超過27。*舉例舉例: : 在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358個(gè)三角形的

6、內(nèi)個(gè)三角形的內(nèi) 角之和，得到角之和，得到358個(gè)三角形閉合差個(gè)三角形閉合差 i i( (偶然誤偶然誤 差，也即真誤差差，也即真誤差) ) ，然后對(duì)三角形閉合差，然后對(duì)三角形閉合差 i i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明，分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然 誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而而 且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。用用頻率直方圖頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近， 對(duì)稱于對(duì)稱于y軸

7、。軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū) 間的頻率間的頻率k/n，而所有條形的，而所有條形的總面積等于總面積等于1。各條形頂邊中點(diǎn)各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律然誤差的普遍規(guī)律 圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖 0lim nn n 21偶然誤差的四個(gè)特性：偶然誤差的四個(gè)特性： （1）在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零； (有界性有界性) （2）

8、絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；概率大； (趨向性趨向性) （3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同； (對(duì)對(duì)稱性稱性) （4）同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)值，隨著觀測(cè)次數(shù)n n的無限增大而趨于零，的無限增大而趨于零， (抵償性抵償性)即即式中式中 偶然誤差的代數(shù)和，偶然誤差的代數(shù)和，* 偶然誤差具有正態(tài)分布的特性偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無限增多無限增多(n)、誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 無限縮小無限縮小( (d

9、 d 0)0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為這條曲線稱為“正態(tài)分布曲正態(tài)分布曲線線”，又稱為，又稱為“高斯誤差分高斯誤差分布曲線布曲線”。所以偶然誤差所以偶然誤差具有具有正態(tài)分布正態(tài)分布的特性。的特性。圖圖6-1 誤差統(tǒng)計(jì)直方圖誤差統(tǒng)計(jì)直方圖第二節(jié)第二節(jié) 精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)精度評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn) 在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。量成果的精度。中誤差中誤差 相對(duì)中誤差相對(duì)中誤差 極限誤差極限誤差*一、中誤差一、中誤差 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)

10、，次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為其觀測(cè)值為l1，l2，ln，相應(yīng)的真誤差為相應(yīng)的真誤差為1，2，n。則觀測(cè)值的中誤差。則觀測(cè)值的中誤差m為：為： nm 式中式中 真誤差的平方和，真誤差的平方和， 22221n 例例5-1 設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：它們的真誤差分別為： 甲組：甲組：1,3,2,3,4,0 ,2,4,2,3 乙組：乙組：1,3,0 ,8,1,1,2,7,1,0 試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。解解: : 1013234024232222222222 甲甲m7 . 2 101308

11、1127102222222222 乙乙m6 . 3 中誤中誤差所代表差所代表的是某一的是某一組觀測(cè)值組觀測(cè)值的精度。的精度。 m1小于小于m2, ,說明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較說明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低： m1= 2.7 是第一組觀測(cè)值的中誤差；是第一組觀測(cè)值的中誤差； m2= 3.6 是第二組觀測(cè)值的中誤差。是第二組觀測(cè)值的中誤差。mDDmmK1 二、相對(duì)中誤差二、相對(duì)中誤差 相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)果相對(duì)中誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)

12、觀測(cè)結(jié)果之比，并化為分子為之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即的分?jǐn)?shù)，即 例例 丈量?jī)啥尉嚯x，丈量?jī)啥尉嚯x，D1=100m，m1=1cm和和D2=30m，m2=1cm， 試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。100001m100m01. 0111 DmmK30001m30m01. 0222 DmmK解解m2允m3允三、極限誤差三、極限誤差 在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。過的限值，稱為極限誤差，也稱限差或容許誤差。或或 如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了容許誤差，就如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了

13、容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測(cè)。測(cè)。 根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d 內(nèi)的概內(nèi)的概率為：率為：demdfPm22221)()(誤差出現(xiàn)在誤差出現(xiàn)在K倍倍中誤差區(qū)間內(nèi)的中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：概率為：kmkmmdemkmP22221)( 將將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率： P(| | m)=0.683=68.3 出現(xiàn)機(jī)會(huì)出現(xiàn)機(jī)會(huì)（ 31.7%

14、） P(| | 2m)=0.954=95.4 出現(xiàn)機(jī)會(huì)出現(xiàn)機(jī)會(huì)（4.6%） P(| | 3m)=0.997=99.7 出現(xiàn)機(jī)會(huì)出現(xiàn)機(jī)會(huì)（0.3%）測(cè)量中，測(cè)量中，一般取一般取兩倍中誤差兩倍中誤差(2m)作為作為容許誤差容許誤差，也稱為，也稱為限差：限差：| 容容|=2|m|或或 |=3|m|一一.一般函數(shù)的中誤差一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (c)式為：ixiixFf由于 和 是一個(gè)很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)設(shè)有函數(shù)：),(21nxxxFZ為獨(dú)立獨(dú)立觀測(cè)值

15、ix設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差ixixZ(a)第三節(jié)第三節(jié) 觀測(cè)值函數(shù)的中誤差觀測(cè)值函數(shù)的中誤差 （誤差傳播定律）（誤差傳播定律）)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnx

16、xffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122由偶然誤差的抵償性知：0limnxxjin(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：則：前面各項(xiàng)KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：，代入上式，得中誤差關(guān)系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式為上式為一般函數(shù)的中誤差公式一般

17、函數(shù)的中誤差公式，也稱為，也稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式；列出函數(shù)式； 2.對(duì)函數(shù)式求全微分；對(duì)函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度 =168.5mm0.2mm, 計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2

18、 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式二二 .幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差 2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxd

19、xdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得： 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算術(shù)平均值的中誤差式算術(shù)平均值的中誤差式 由于等精度觀測(cè)時(shí)， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了縮小了 倍。 對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均， 是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ

20、21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)： 上式可寫成：mmmmmn321nmmZ例：例：測(cè)定A、B間的高差 ，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmk

21、mnnnnnllllx12111nmmX 觀測(cè)值的算術(shù)平均值觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值) 用觀測(cè)值的改正數(shù)用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的計(jì)算觀測(cè)值的 中誤差中誤差 (即:白塞爾公式) 算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差 第四節(jié)第四節(jié) 等（同）精度直接觀測(cè)平差等（同）精度直接觀測(cè)平差 一一. .觀測(cè)值的觀測(cè)值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值) 證明算術(shù)平均值為該量的最或是值： 設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為 1= 1- X 2= 2- X n= n- X對(duì)某未知量未知量進(jìn)行了n 次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,n,則該量的算術(shù)平均值為：x= =1+2+nnn上式等號(hào)兩邊

22、分別相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 當(dāng)觀測(cè)無限多次時(shí)：nlXnnnlimlim得Xnlnlim兩邊除以n：由 lnX nlXn當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該 量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均 值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)二二. .觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值的改正數(shù)v ： 以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù) v ，符合vv=min 的“最小二乘原則”。Vi = L - i (i=1,2,n)特點(diǎn)特點(diǎn)1 改正數(shù)總和為零：改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以

23、代入：通常用于計(jì)算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點(diǎn)特點(diǎn)2 vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n精度評(píng)定 比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 與 中：精度評(píng)定精度評(píng)定用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差1nvvm一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：1nvvn證明如下：證明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真誤差：真誤差：改正數(shù)：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等XlXlXlnn2211nnlLvlLvlLv2211iiiivXLv對(duì)

24、上式取n項(xiàng)的平方和 vvvn22由上兩式得其中: 0lnLv證明兩式根號(hào)內(nèi)相等 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中誤差定義:nm白塞爾公式:1nvvm解：解：該水平角該水平角真值未知真值未知，可用，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)算術(shù)平均值的改正數(shù)V V計(jì)計(jì) 算其中誤差：算其中誤差：例：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表， 求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:98315601 .nVVm4715983 .nmM76 4245 1.74 例例5-2 某一段距離共丈量了六次，結(jié)果

25、如表下所示，求算術(shù)某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046 mm7 .24 )16(63046 mm1 .10 DMK m628.148m0101. 0 147161 返回返回距離丈量精度計(jì)算例算例算例3：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求對(duì)

26、某距離用精密量距方法丈量六次，求該距離的算術(shù)該距離的算術(shù) 平均值平均值 ； 觀測(cè)值的中誤差觀測(cè)值的中誤差 ； 算術(shù)平均值的中誤算術(shù)平均值的中誤 差差 ； 算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差 ：xxmMxM /凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。第五節(jié)第五節(jié) 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用 用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差 m m1515 。例例1：要求三角形最大閉合差m15 ，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由題意：2m= 15,則 m= 7.5每個(gè)角的測(cè)角中誤差：3

27、 . 435 . 7m測(cè)回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。 解:(1)測(cè)量水平距離的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距離中誤差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。 解: (2)測(cè)量

28、高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中誤差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長(zhǎng)為 求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.解: (1)周長(zhǎng) , lml (2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中: 求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面積 , 2lAlAlmm2 周長(zhǎng)的中誤差為 dldS4全微分:面積的中誤差為 全微分:ldld

29、A2解:(1)周長(zhǎng)和面積的中誤差分別為 例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中: 求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.iliml lllllmmmmmlllll43213321且lSmm4lAlmm2 (2)周長(zhǎng) ;周長(zhǎng)的中誤差為 lllllS44321 面積llllllSmmmmmmm24222224321 得周長(zhǎng)的中誤差為 2243214LllllA全微分:432141414141dldldldldL 但由于LdLdA2llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321第六節(jié)第六節(jié) 不等（同）精度直接觀測(cè)平差不等（同）精度直接觀測(cè)平差一、權(quán)的概念一、

30、權(quán)的概念 權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測(cè)量工作中權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測(cè)量工作中權(quán)是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果可靠程度的相對(duì)性指標(biāo)。權(quán)是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果可靠程度的相對(duì)性指標(biāo)。1 權(quán)的定義：權(quán)的定義：設(shè)一組不同精度的觀測(cè)值為設(shè)一組不同精度的觀測(cè)值為l i ,其中誤差為其中誤差為mi(I=1,2n)，選定任一大于零的常數(shù)選定任一大于零的常數(shù)，則定義權(quán)為則定義權(quán)為： 2iimP稱稱Pi為觀測(cè)值為觀測(cè)值l i 的權(quán)。的權(quán)。1 權(quán)的定義：權(quán)的定義：對(duì)于一組已知中誤差對(duì)于一組已知中誤差mi的觀測(cè)值而言，選定一個(gè)的觀測(cè)值而言，選定一個(gè)大于零的常數(shù)大于零的常數(shù)值，就有一組對(duì)應(yīng)的權(quán)；由此可值，就有一組對(duì)應(yīng)的

31、權(quán)；由此可得各觀測(cè)值權(quán)之間的比例關(guān)系：得各觀測(cè)值權(quán)之間的比例關(guān)系：2iimP2222122221211:1:1:nnimmmmmmPPP2 權(quán)的性質(zhì)權(quán)的性質(zhì)（1 1）權(quán)表示觀測(cè)值的相對(duì)精度；（）權(quán)表示觀測(cè)值的相對(duì)精度；（2 2）權(quán)與中誤差）權(quán)與中誤差的平方成反比，權(quán)始終大于零，權(quán)大則精度高；的平方成反比，權(quán)始終大于零，權(quán)大則精度高；（3 3）權(quán)的大小由選定的）權(quán)的大小由選定的值確定，但測(cè)值權(quán)之間值確定，但測(cè)值權(quán)之間權(quán)的比例關(guān)系不變，同一問題僅能選定一個(gè)權(quán)的比例關(guān)系不變，同一問題僅能選定一個(gè)值。值。二、測(cè)量中常用的定權(quán)方法二、測(cè)量中常用的定權(quán)方法1 同精度觀測(cè)值的權(quán)同精度觀測(cè)值的權(quán)對(duì)于一組同精度觀測(cè)值對(duì)于一組同精度觀測(cè)值l i ，一次觀測(cè)的中誤差為，一次觀測(cè)的中誤差為m，由權(quán)的定義，選定由權(quán)的定義，選定= m2，則一次觀測(cè)值的權(quán)為：，則一次觀測(cè)值的權(quán)為：1222mmmPn次同精度觀測(cè)值的次同精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值算術(shù)平均值的中