中考數(shù)學(xué)壓軸題專項匯編專題等腰三角形的存在性

1、1 / 9專題21等腰三角形的存在性破解策略以線段AB為邊的等腰三角形構(gòu)造方法如圖1 所示：等腰三角形的另一個頂點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，或以A，B為圓心、AB長為半徑 的圓上(不與線段AB共線).解等腰三角形的存在性問題時，若沒有明確指出等腰三角形的底或腰，就需要進(jìn)行分類討論通常這類問題的解題策略有：(1) 幾何法：先分類討論，再畫出等腰三角形，后計算.如圖 2，若AB= AC過點(diǎn)A作ADL BC,垂足為D,貝U BD= CD/BAD=ZCAD從而利 用銳角三角函數(shù)、相似三角形等知識解決問題.(2) 代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論列方程，然后解方程并檢驗.有時候?qū)缀畏ê痛鷶?shù)法相結(jié)合，可

2、以使得解題又快又好.例題講解一例 1 如圖，正方形ABC啲邊長是 16,點(diǎn)E在AB邊上，AE=3,F是BC邊上不與B, C重 合的一個動點(diǎn)，把EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B處若CDB恰為等腰三角形，則DB解 16 或 4.51如圖 1，當(dāng)CB=CD時，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意，舍去；2如圖 2，當(dāng)DB=CD時，DB= 16;3如圖 3，當(dāng)DB=B C時，過點(diǎn)B作GH/ AD交AB于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H顯然G H分別為AB CD的中點(diǎn).由題意可得B E= 13，DH= BG=8,所以EG=5，從而 B G= . B E2- EG2= 12，B H= 4， 所以DB= VBH2-DH2= 4 75

3、.F2 / 9圖 1如圖 2 所示：當(dāng)DB=CD時，貝U DB= 16 （易知點(diǎn)F在BC上且不與點(diǎn)C B重合）1當(dāng)B C=B D時，AG= DH= DC= &2由AE=3,A*16,得BE=13. 由翻折的性質(zhì)，得B E=BE=13 . EG= AG- AE= 83=5, B1G= BE2EG212,B H=GHB G=16 12 = 4,- DB=BH2DH24i5例 2 如圖，在ABC中,ZAC= 90,AC=4cm,BC= 3cm.如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方 向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為 1cm/s.連C (F)DB FC如圖 3

4、所示：當(dāng)B D=B C時，過B點(diǎn)作GH/ AD則/B GG90圖 33 / 9解：如圖，過點(diǎn)P作PHLAC于H,/C=90,/ ACLBC PH/ BCAPHPABCPHAPBCAB /AC=4cmBC=3cm,/ AB=5cmPH=5t3tPH=3-3t,AH=4(5 t)5525= 5-t時，解得：t4= 0,t5=-40130vtv4,13= 5,14= 0 不合題意，舍去,當(dāng)t為5s或254025s或40s時，APQ是等腰三角形.21313fl8t218t25=t時，解得：t2=25,t3= 5;513當(dāng)PQ= AQ即9232pQ=.(45t)(35t)18t 25在厶APC中,當(dāng)AQ

5、= AP即t= 5 -t時，解得：ti=QC接PQ設(shè)運(yùn)動時間為t(s) (0vtv4),- QH=4當(dāng)PQ= AP即4 / 9例 3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC勺邊OA在y軸的正半軸上，0C在x軸的5正半軸上，OA=1,OC=2，點(diǎn)D在邊OC上且OD=4(1)求直線AC的解析式；(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,直線PD與矩形對角線AC交于點(diǎn)M使得DM(為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.5 / 95S0I)4主解： (1)設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b, 又OA=1,OC=2, A (0, 1),C(2, 0)代入函數(shù)解析式求得:1直線A

6、C的函數(shù)解析式：y=-x 12(2)若DC為底邊,M的橫坐標(biāo)為138則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(直線DM解析式為:1383)1615y= x -2858)；3若DM為底， 貝U CD= CM=3,4- AM=AN=(75+2)X+點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5- N (53,1),4),6 / 9綜上所述,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0 ,-),(0,-(廬+2), (0,-一八、2 r r832 . .例 4 已知拋物線y= x+mx n的對稱軸為x= 2,且與x軸只有一個交點(diǎn).(1 )求m n的值；(2) 把拋物線沿x軸翻折，再向右平移 2 個單位，向下平移 1 個單位，得到新的拋物線C,求新拋物線C的解析式；(3

7、)已知P是y軸上的一個動點(diǎn)， 定點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),問：在拋物線C上是否存在點(diǎn)D,使厶BPD為等邊三角形？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：(1 )拋物線的對稱軸為x= 2, mR 4.拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)，m 4n= 0. 從而n= 4.(2)原拋物線的表達(dá)式為y= x 4x 4 = (x+ 2) 所以拋物線C的表達(dá)式為y=x 1.(3)假設(shè)點(diǎn)D存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(d,d2 1).如圖，作DHLy軸于點(diǎn)H,則DH=d2,BH=(d2 2)解得d=3 或d=乙33D(J3, 2),D(胎,2) ,D3(醞,1),33例 5 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= lx

8、2 3x 8 與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與2y軸交于點(diǎn)C,直線I經(jīng)過原點(diǎn)O與拋物線的一個交點(diǎn)為D,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E(3 ,4),連結(jié)CE若P是y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為(0 ,m,直線PB與直線I交于點(diǎn)Q.試探究：當(dāng)m為何值時，OP(是等腰三角形.若厶BPD是等邊三角形， 則有Di h 3，即d2= 3 (d2 2)2BH所以滿足條件的點(diǎn)D存在，分別為7 / 9可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(一 2, 0), (8, 0) (0, 8).所以CG (30)2(4 8)2= 5=OE所以O(shè)EC是頂角為鈍角的等腰三角形，即/OEO90,OPQft等腰三角形有三種可能：1當(dāng)PO= PQ時，

9、即/OPC為頂角，顯然/PO(=ZCOE所以/OP(=ZOEC90,由題意可知這種可能性不存在；2當(dāng)OP= OQ時，則/OP=ZOQP如圖 1,過點(diǎn)E作PQ的平行線，分別交x軸，y軸于點(diǎn)F,G,2 2(x 8) (x+ 2)8 / 9則/OG=ZOP=ZOQ=ZOEG所以O(shè)G OE=5,即點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0, 5),所以直線GE的表達(dá)式為y=丄x 5,3所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5, 0).而 OP OB而OG OF所以二m8，即 m -；5153當(dāng)QO= QP時，則/QP=ZQ0匙/OCE所以CE/ PQ如圖 2,設(shè)直線CE與x軸交于點(diǎn)H.由C E兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線CE的表達(dá)式為，y=4x &

10、3所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（6, 0）.OC OHOP OB，所以_L6，即 m 32.m 83綜上可得，當(dāng)m的值為8或32時，OPQ!等腰三角形.33進(jìn)階訓(xùn)練1 如圖，在 RtABC中，/ACB=90 ,AC=6,BC=8,點(diǎn)D以每秒 1 個單位長度的速度 由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)即停止運(yùn)動，M N分別是AD CD的中點(diǎn)，連結(jié)MN設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時間為t，若DMN1等腰三角形，求t的值.【答案】t= 5, 6 或 時，DMN1等腰三角形.522. 設(shè)二次函數(shù)y=x2+ 2ax+ （av0）的圖象頂點(diǎn)為A,與x軸的交點(diǎn)為B,C.9 / 92（1 ）當(dāng)厶ABC為等邊三角形時，求a的值，（2）當(dāng)厶ABC

11、為等腰直角三角形時，求a的值.【答案】（1）a= 6 ； （ 2）a= 23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一 2, 0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0, 2）,E為線 段AB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），以E為頂點(diǎn)作/OFF45，射線ET交線段OB于點(diǎn)F,C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC= AB.拋物線y= . 2 x2+mx+ n經(jīng)過A,C兩點(diǎn).10 / 9(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求證：/BEFZAOE(3)當(dāng)厶EOF為等腰三 角形時，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo).【答案】(1)y=-*2x272x+2罷;(2)略；(3 )點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一 1, 1),(寸 2 ,22).【提示】(2)由Z

12、BAQZFEO=ZABQ45即可證；(3)分類討論：當(dāng)OE= OF寸，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意；點(diǎn)EO= EF時(如圖 1),易證AF3ABFE從而BE= AO2，再過點(diǎn)E作EHLy軸，即可求得點(diǎn)E(2 , 22 )；當(dāng)FE=FD時(如圖 2),此時BFE和OFE均為等腰直角三角形，求得點(diǎn)E( 1,1).24.如圖，拋物線y=ax 6x+c與x軸交于點(diǎn)A( 5, 0),B( 1, 0),與y軸交于點(diǎn)C, P是拋物線上的一個動點(diǎn)，連結(jié)PA過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)D,請問：APD能否為等腰三角形？若能，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.【答案】APD能為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一 2 , 3), ( 1 , 0),( 2 , 6 2 7),或(2 , 6 2 7).【提示】由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)可得拋物線的表達(dá)式為y=ax2 6x 5 .從而得到C(0, 5).所以直線AC y=x5.可設(shè)點(diǎn)P(mm 6n 5),則D (mm 5).APD為等腰三角形有三種情況，由ZADP=45或 135 .用代