不定積分的概念與性質(zhì)

1、第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)0 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念0 基本積分表基本積分表0 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)第三章第三章 不定積分不定積分例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間),0( 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：Ix ，都有都有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xF就就稱稱為為)(xf或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念P182原函數(shù)存

2、在定理：原函數(shù)存在定理：設(shè)設(shè))(xf是是區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則存存在在可可導導函函數(shù)數(shù))(xF, ,連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). .注意：注意：(1) 原函數(shù)不唯一原函數(shù)不唯一;例例 xxcossin xCxcossin 使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .(2) 原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)之間的關(guān)系:CxfxF則對任意常數(shù)則對任意常數(shù)若若),()( CxF )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).若若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xF)(xG)(xf.)()(CxGxF 則則任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的

3、定義：在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) F(x)是是 f(x)的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則f(x)的全體原函數(shù)的全體原函數(shù) F(x)+C 稱為稱為 f(x)的的不定積分不定積分 dxxf)(例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方

4、程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy注注: 1) 求導數(shù)與求不定積分是互逆運算求導數(shù)與求不定積分是互逆運算CxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf )()(;)()()()(; )()(或或2) 同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同 CarcctgxdxxCarctgxdxx2211;11可用求導數(shù)的方法驗證正確性可用求導數(shù)的方法驗證正確性.函函數(shù)數(shù)

5、)(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.實例實例 xx 11.11Cxdxx 積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式求導公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;

6、arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax Cchxshxdx)14(Cshxchxdx)15(例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxx

7、f)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例6 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 解：原式解：

8、原式dxxx 24111dxxx)111(22 cxxx arctan33例：求例：求dxxx 241例例7 7 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.21Ctgx 有時有時, 被積函數(shù)需要進行恒等變形，才能使用基本積分表被積函數(shù)需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.例：例：求求dxxxx 22sincos2cosdxxxxx 2222sincossincos解：原式解：原式 dxxdxx22cos1sin1ctgxctgx 例例 8 8 已已知知一一曲曲線線)(xfy 在在點點)(,(xfx處處的的切切線線斜斜率率為為xxsinsec