k52006年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：13.3函數(shù)的極限

1、知識(shí)就是力量本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考13.3 函數(shù)的極限知識(shí)梳理1.函數(shù)極限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就說當(dāng)x趨向于無窮大時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當(dāng)x時(shí)，f（x）a.（2）一般地，當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但x不等于x0）時(shí)，如果函數(shù)f（x）無限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說當(dāng)x趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當(dāng)xx0時(shí)，f（x）a.（3）一般地，如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0左側(cè)（即xx0）無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點(diǎn)x=

2、x0右側(cè)（即xx0）無限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f （x）無限趨近于常數(shù)a,就說a是函數(shù) f （x）在點(diǎn)x0處的右極限，記作f（x）=a.2.極限的四則運(yùn)算法則：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）±g（x）=a±b; f（x）·g（x）=a·b; =（b0）.特別提示（1）上述法則對(duì)x的情況仍成立；（2）Cf（x）=Cf（x）（C為常數(shù)）;（3）f（x）n=f（x）n（nN *）.點(diǎn)擊雙基1.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0處存在極限的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C2.f（x）=下列結(jié)論正確

3、的是A.=f（x）B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在D.f （x）f （x）答案:D3.函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)是f（x）在點(diǎn)x0處有極限的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A4.（2005年西城區(qū)抽樣測(cè)試） =_.解析: =3.答案:35.若=2,則a=_.解析: =2,=2.a=4.答案:4典例剖析【例1】求下列各極限：（1） （；（2）（x）；（3） ；（4） 剖析:若f （x）在x0處連續(xù)，則應(yīng)有f （x）=f （x0）,故求f （x）在連續(xù)點(diǎn)x0處的極限時(shí)，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0處不連續(xù)，可通過變形，消去xx0

4、因式，轉(zhuǎn)化成可直接求f（x0）的式子.解:（1）原式=.（2）原式=a+b.（3）因?yàn)?1,而=1，,所以不存在（4）原式=（cos+sin）.思考討論 數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別與聯(lián)系是什么？【例2】 （1）設(shè)f（x）=;（2）f （x）為多項(xiàng)式,且=1,=5,求f（x）的表達(dá)式.解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí), f （x）= f （x）,故b=2時(shí),原極限存在.（2）由于f（x）是多項(xiàng)式,且=1,可設(shè)f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b為待定系數(shù)）.又=5,即（4x2+x+a+）=5,a=5,b=0,即f （x）=4x3+x2

5、+5x.評(píng)述:（1）函數(shù)在某點(diǎn)處有極限,與其在該點(diǎn)處是否連續(xù)不同.（2）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值,也就是對(duì)初等函數(shù)而言,求極限就是求函數(shù)值,使極限運(yùn)算大大簡(jiǎn)化.【例3】 討論函數(shù)f （x）= ·x （0x+）的連續(xù)性，并作出函數(shù)圖象.部析:應(yīng)先求出f （x）的解析式，再判斷連續(xù)性.解:當(dāng)0x1時(shí)，f （x）= x=x;當(dāng)x1時(shí)，f （x）= ·x=·x=x;當(dāng)x=1時(shí)，f （x）=0.f （x）=f（x）=（x）=1,f（x）= x=1,f（x）不存在.f （x）在x=1處不連續(xù)，f （x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù).圖象如下圖所示.評(píng)述

6、:分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.已知函數(shù)f （x）是偶函數(shù),且f （x）=a,則下列結(jié)論一定正確的是A. f (x)=a B. f （x）=aC. f (x)=|a| D. f（x）=|a|解析：f （x）是偶函數(shù),f （x）=f（x）.又f （x）=a,f（x）=a,f （x）=f （x）,f（x）= f （x）=a.答案：B2.（2004年全國，理2）等于A. B.1 C. D.解析:=.答案:A3.已知函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處存在極限,且f （x）=a22,f （x）=2a+1,則函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處的極限

7、是_.解析:y=f（x）在x=x0處存在極限,f（x）=f（x）,即a22=2a+1.a=1或a=3.f （x）=2a+1=1或7.答案:1或74.若f （x）=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f （0）=_.解析:f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案:5.已知函數(shù)f （x）=，試求:（1）f （x）的定義域，并畫出圖象；（2）求f （x）、f （x）,并指出f （x）是否存在.解:（1）當(dāng)|x|2時(shí)，=1;當(dāng)|x|2時(shí)，=1;當(dāng)x=2時(shí)，=0;當(dāng)x=2時(shí)，不存在.f （x）=f （x）的定義域?yàn)閤|x2或x=2或x2.如下圖:（2）f （x）=1,f （x）=1.

8、f （x）不存在.6.設(shè)函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),且f （x）=0,f （x）=3,求出這一函數(shù)最大值.解:f （x）=ax2+bx+c是一偶函數(shù),f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）max=f（0）=1.f （x）的最大值為1.培養(yǎng)能力7.在一個(gè)以AB為弦的弓形中,C為的中點(diǎn),自A、B分別作弧AB的切線,交于D點(diǎn),設(shè)x為弦AB所對(duì)的圓心角,求.解：設(shè)所在圓圓心為O,則C、D、O都在AB的中垂線

9、上,AOD=BOD=.設(shè)OA=r.SABC=S四邊形AOBCSAOB=r2sinr2sinx=r2sin（1cos）,SABD=S四邊形AOBDSAOB=r2tanr2sinx=r2.=.8.當(dāng)a0時(shí),求.解:原式= =探究創(chuàng)新9.設(shè)f（x）是x的三次多項(xiàng)式，已知=1.試求的值（a為非零常數(shù)）.解:由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）與（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.這里A、C均為待定的常數(shù).由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=

10、1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=·a·（a）=.思悟小結(jié)1. f（x）=Af（x）= f（x）=A,f（x）=Af（x）=f（x）=A.2.函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足三個(gè)條件：（1）函數(shù)f（x）在x=x0處及其附近有定義；（2）f（x）存在；（3） f（x）=f（x0）.3.會(huì)熟練應(yīng)用常見技巧求一些函數(shù)的極限.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.在講解過程中，要講清函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別，借助于函數(shù)圖象講清連續(xù)性的意義.2.函數(shù)極限比數(shù)列極限復(fù)雜之處在于它有左、右極限，并有趨近于無窮大和趨近于常數(shù)兩類，需給予關(guān)注.3.在求函數(shù)極限時(shí)，需觀察，對(duì)不能直接求