小學(xué)奧數(shù)之第35講構(gòu)造與論證（一）

1、第35講 構(gòu)造與論證（一）內(nèi)容概述各種探討給定要求能否實(shí)現(xiàn)，設(shè)計(jì)最佳安排和選擇方案的組合問題這里的最佳通常指某個(gè)量達(dá)到最大或最小解題時(shí)，既要構(gòu)造出取得最值的具體實(shí)例，又要對(duì)此方案的最優(yōu)性進(jìn)行論證論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計(jì)典型問題2.有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析與解】 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，9

2、00，0)(950，900，950)(50，0，50)(25，25，50)(O，0，25)(2)因?yàn)椴僮骶蛢煞N，每堆取走同樣數(shù)目的小石子，將有偶數(shù)堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數(shù)要么減少3的倍數(shù)，要么不變現(xiàn)在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數(shù)，所以不能將3堆中所有石子都取走4.在某市舉行的一次乒乓球邀請(qǐng)賽上，有3名專業(yè)選手與3名業(yè)余選手參加.比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說每兩名選手都要比賽一場為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負(fù)者扣分，每勝專業(yè)選手一場加2分，每勝業(yè)余選手一場加1分；專業(yè)選手每負(fù)一場扣2分，業(yè)余選手每

3、負(fù)一場扣1分問：一位業(yè)余選手最少要?jiǎng)賻讏觯拍艽_保他的得分比某位專業(yè)選手高?【分析與解】 當(dāng)一位業(yè)余選手勝2場時(shí)，如果只勝了另兩位業(yè)余選手，那么他得10+2-3=9(分)此時(shí)，如果專業(yè)選手間的比賽均為一勝一負(fù)，而專業(yè)選手與業(yè)余選手比賽全勝，那么每位專業(yè)選手的得分都是10+2-2+3=13(分)所以，一位業(yè)余選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業(yè)選手高當(dāng)一位業(yè)余選手勝3場時(shí)，得分最少時(shí)是勝兩位業(yè)余選手，勝一位專業(yè)選手，得10+2+2-2=12(分)此時(shí)，三位專業(yè)選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業(yè)選手之間的三場比賽共得0分，專業(yè)選手與業(yè)余選手的比賽最多共得4分.由三個(gè)人得34分，34&

4、#247;3=11，推知，必有人得分不超過11分. 也就是說，一位業(yè)余選手勝3場，能確保他的得分比某位專業(yè)選手高.6.如圖35-1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個(gè)整數(shù)M.求M的最小值并完成你的填圖. 【分析與解】 要使M最小，就要盡量平均的填寫，因?yàn)槿绻械倪B續(xù)5個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)特別小，有的特別大，那么M就只能大于等于特別大的數(shù)，不能達(dá)到盡量小的目的 因?yàn)槊總€(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都用了5次，所以10次的和為5×(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整數(shù)M大于28下

5、面來驗(yàn)證M=28時(shí)是否成立，注意到圓圈內(nèi)全部數(shù)的總和是55，所以肯定是一邊五個(gè)的和是28，一邊是27因?yàn)閿?shù)字都不一樣，所以和28肯定是相間排列，和27也是相問排列，也就是說數(shù)組每隔4個(gè)差值為l，這樣從1填起，容易排出適當(dāng)?shù)奶顖D.8.1998名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼依次為1至1998的自然數(shù)現(xiàn)在要從中選出若干名運(yùn)動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，使得剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼等于另外兩人的號(hào)碼的乘積那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員最少有多少人?【分析與解】 我們很自然的想到把用得比較多的乘數(shù)去掉，因?yàn)樗鼈儏⑴c的乘式比較多，把它們?nèi)サ粲兄谑故Ｏ碌臉?gòu)不成乘式，比較小的數(shù)肯定是用得最多的，因?yàn)樗鼈兊谋稊?shù)最多，所以考慮先把它們?nèi)サ簦?/p>

6、但關(guān)鍵是除到何處?考慮到44的平方為1936，所以去到44就夠了，因?yàn)槿绻Ｏ碌臉?gòu)成了乘式，那么乘式中最小的數(shù)一定小于等于44，所以可以保證剩下的構(gòu)不成乘式因?yàn)閷?duì)結(jié)果沒有影響，所以可以將1保留，于是去掉2，3，4，44這43個(gè)數(shù)但是，是不是去掉43個(gè)數(shù)為最小的方法呢?構(gòu)造2×97，3×96，4×95，44×45，發(fā)現(xiàn)這43組數(shù)全不相同而且結(jié)果都比1998小，所以要去掉這些乘式就至少要去掉43個(gè)數(shù)，所以43位最小值，即為所求.10.在10×19方格表的每個(gè)方格內(nèi)，寫上0或1，然后算出每行及每列的各數(shù)之和問最多能得到多少個(gè)不同的和數(shù)?【分析與解】

7、首先每列的和最少為0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，18，19這20個(gè)下面我們說明如果0出現(xiàn)，那么必然有另外一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)如果0出現(xiàn)在行的和中，說明有1行全是0，意味著列的和中至多出現(xiàn)0到9，加上行的和至多出現(xiàn)10個(gè)數(shù)字，所以少了一種可能 如果0出現(xiàn)在列的和中，說明在行的和中19不可能出現(xiàn)，所以0出現(xiàn)就意味著另一個(gè)數(shù)字不能出現(xiàn)，所以至多是19，下面給出一種排出方法.12在1000×1000的方格表中任意選取n個(gè)方格染為紅色，都存在3個(gè)紅色方格，它們的中心構(gòu)成一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)求n的最小值 【分析與解】 首先確定1998不行反例如下：其次1999可能是可以的，因?yàn)槭紫葟男锌矗?999個(gè)紅點(diǎn)分布在1000行中，肯定有一些行含有2個(gè)或者以上的紅點(diǎn)，因?yàn)楹?或1個(gè)紅點(diǎn)的行最多999個(gè)，所以其他行含有紅點(diǎn)肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根據(jù)抽屜原理，肯定有兩個(gè)這樣紅點(diǎn)在一列，那么就會(huì)出現(xiàn)紅色三角形；如果是等于1000而沒有這樣的2個(gè)紅點(diǎn)在一列，說明有999行只含有1個(gè)紅點(diǎn)，而剩下的一行全是紅點(diǎn)，那也肯定已經(jīng)出現(xiàn)直角三角形了，所以n的最小值為199